吉林省长春市第十一高中2020届高三下学期线上模拟考试数学(理)试题

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吉林省长春市第十一高中2020届高三下学期线上模拟考试数学(理)试题

长春市十一高中高三线上模拟考试 数学试题(理科)‎ 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,满分150分.考试时间为120分钟,其中第Ⅱ卷22题-24题为选考题,其它题为必考题.考试结束后,将试卷和答题卡一并交回.‎ 注意事项:‎ 1. 答题前,考生必须将自己的姓名、准考证号码填写清楚,将条形码准确粘贴在条形码区域内.‎ 2. 选择题必须用2B铅笔填涂;非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写,字体工整、笔迹清楚.‎ 3. 请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试题卷上答题无效.‎ 4. 保持卡面清洁,不要折叠、不要弄破、不准使用涂改液、刮纸刀.‎ 第Ⅰ卷(选择题,共60分)‎ 一、选择题:(本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 已知集合,则( )‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎2. 复数(为虚数单位)在复平面内对应点的坐标是( )‎ ‎ A. B. C. D.‎ ‎3. 已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎4. 等比数列的前题目要求的.)‎ ‎1.项和为,若,,则 ( ) ‎ ‎ A.31       B. 36         C. 42          D.48‎ ‎5. 设,其中实数满足,若的最大值为,则的最小值为( )‎ A.       B.         C.         D.‎ ‎6. 有6名优秀毕业生到母校的3个班去作学习经验交流,则每个班至少去一名的不同分派方法种数为( )‎ A.540 B.729 C.216 D.420 ‎ ‎7. 执行如图的程序框图,则输出的值为( )‎ A. 2016           B. 2 C.           D.‎ ‎8. 若的展开式中含有常数项,则的最小值等于( )‎ ‎ A. B. C. D.‎ ‎9. 已知函数的图象与轴交点的横坐标构成一个公差为的等差数列,把函数的图象沿轴向左平移个单位,得到函数的图象.关于函数,下列说法正确的是( )‎ A. 在上是增函数 B. 其图象关于直线对称 C. 函数是奇函数 D. 当时,函数的值域是 ‎10.设函数,的零点分别为,则( )‎ A. B.0<<1 C.1<<2 D.‎ ‎11. 在正三棱锥中,是的中点,且,底面边长,则正三棱锥的外接球的表面积为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎12. 过曲线的左焦点作曲线的切线,设切点为M,延长交曲线于点N,其中有一个共同的焦点,若,则曲线的离心率为 ( )‎ A. B. C. D.‎ 第Ⅱ卷(非选择题,共90分)‎ ‎  本卷包括必考题和选考题两部分,第13题-21题为必考题,每个试题考生都必须作答,第22题、23题为选考题,考生根据要求作答.‎ 二、填空题:(本大题共4小题,每小题5分)‎ ‎13. 已知,则____________.‎ ‎14. 设随机变量~,若,则____________.‎ ‎15. 函数,若方程恰有四个不相等的实数根,则实数的取值范围是____________.‎ ‎16. 设数列的前项和为,且,为等差数列,则 的通项公式____________.‎ 三、解答题(本大题6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤,并把解答写在答卷纸的相应位置上) ‎ ‎17. (本小题满分12分)‎ 在中,角A、B、C的对边分别为a、b、c,面积为S,已知 ‎ (1)求证:成等差数列;‎ ‎ (2)若 求.‎ ‎18. (本小题满分12分)‎ 如图,平面平面,四边形为矩形,.为的中点,.‎ ‎(1)求证:;‎ ‎(2)若时,求二面角的余弦值.‎ ‎19.(本小题满分12分)‎ 为增强市民交通规范意识,我市面向全市征召劝导员志愿者,分布于各候车亭或十字路口处.现从符合条件的500名志愿者中随机抽取100名志愿者,他们的年龄情况如下表所示.‎ ‎(1)频率分布表中的①、②位置应填什么数据?并在答题卡中补全频率分布直方图(如图),再根据频率分布直方图估计这500名志愿者中年龄在[30,35)岁的人数;‎ ‎(2)在抽出的100名志愿者中按年龄再采用分层抽样法抽取20人参加“规范摩的司机的交通意识”培训活动,从这20人中选取2名志愿者担任主要负责人,记这2名志愿者中“年龄低于30岁”的人数为X,求X的分布列及数学期望.‎ 分组(单位:岁)‎ 频数 频率 ‎[20,25)‎ ‎5‎ ‎0.05‎ ‎[25,30)‎ ‎①‎ ‎0.20‎ ‎[30,35)‎ ‎35‎ ‎②‎ ‎[35,40)‎ ‎30‎ ‎0.30‎ ‎[40,45]‎ ‎10‎ ‎0.10‎ 合计 ‎100‎ ‎1.00‎ ‎20. (本小题满分12分)‎ 椭圆的上顶点为是上的一点,以为直径的圆经过椭圆的右焦点.‎ ‎(1)求椭圆的方程;‎ ‎(2)动直线与椭圆有且只有一个公共点,问:在轴上是否存在两个定点,它们到直线的距离之积等于1?如果存在,求出这两个定点的坐标;如果不存在,说明理由.‎ ‎21. (本小题满分12分)‎ 函数,若曲线在点处的切线与直线垂直(其中为自然对数的底数).‎ ‎(1)若在上存在极值,求实数的取值范围;‎ ‎(2)求证:当时,.‎ 请考生在(22).(23)两题中任选一题作答,如果多答,则按做的第一题记分.作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号右侧的方框涂黑.‎ ‎22.(本小题满分10分)选修4一4:坐标系与参数方程 已知直线C1: ,(t为参数),曲线C2: ,(为参数).‎ ‎(Ⅰ)以原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系;当时,求C1与C2的交点的极 坐标(其中极径,极角);‎ ‎(Ⅱ)过坐标原点作C1的垂线,垂足为A,P为OA中点,当变化时,求P点轨迹的参数方程,并指出它是什么曲线.‎ ‎23.(本小题满分10分)选修4—5:不等式选讲 设. ‎ ‎(1)求的解集;‎ ‎(2)若不等式对任意实数恒成立,求实数的取值范围.‎ 线上考试参考答案 一、选择题(每小题5分,共60分)‎ ‎ 1-5: CABAA 6-10:ABCDB 11-12:BD 二、填空题(每小题5分,共20分)‎ ‎13. 14. 15. 16. ‎ 三、解答题:‎ ‎17.解:(1)由正弦定理得:‎ 即 ‎ ‎∴‎ 即 ‎ ‎∵ ‎ ‎ ∴ 即 ‎∴成等差数列。 ‎ ‎(2)∵ ∴ ‎ 又 由(1)得: ∴‎ ‎∴ 即 ‎ ‎18:解:(1)证明:连结OC,因AC=BC,O是AB的中点,故.‎ 又因平面ABC平面ABEF,故平面ABEF,‎ 于是.又,所以平面OEC,‎ 所以, ‎ 又因,故平面,所以. ‎ ‎(2)由(1),得,不妨设,,取EF的中点D,以O为原点,OC,OB,OD所在的直线分别为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,设,则,‎ 在的直线分别为轴,建立空间直角坐标系,‎ 则 从而设平面的法向量,由,‎ 得, ‎ 同理可求得平面的法向量,设的夹角为,则,由于二面角为钝二面角,则余弦值为 ‎ ‎19.(1)①处填20,②处填0.35;补全频率分布直方图如图所示.‎ 根据频率分布直方图估计这500名志愿者中年龄在[30,35)的人数为500×0.35=175.‎ ‎(2)用分层抽样的方法,从中选取20人,则其中“年龄低于30岁”的有5人,“年龄不低于30岁”的有15人.‎ 由题意知,X的可能取值为0,1,2,且 P(X=0)==,P(X=1)==,P(X=2)===.‎ ‎∴X的分布列为:‎ X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ P ‎∴E(X)=0×+1×+2×=.‎ ‎20.解:(1),由题设可知,得 ①,点P在椭圆C上, ② ③ …3分 ‎①③联立解得,…4分,故所求椭圆的方程为…5分 ‎(2)当直线的斜率存在时,设其方程为,代入椭圆方程,消去y,‎ 整理得 (a)‎ 方程(a)有且只有一个实根,又,所以得 -------8分 假设存在满足题设,则由 对任意的实数恒成立,所以, 解得,‎ 当直线的斜率不存在时,经检验符合题意. 综上所述,存在两个定点,使它们到直线的距离之积等1. …12分 ‎21.解:(1)∵ ‎ ‎ 由已知 ∴ 得 ………2分 ‎ ∴‎ ‎ 当为增函数;‎ ‎ 当时,,为减函数。‎ ‎ ∴是函数的极大值点…4分 又在上存在极值 ‎∴ 即 ‎ ‎ 故实数的取值范围是 ……5分 (2) ‎ ‎ ‎ 即为 ……6分 ‎ 令 ‎ ‎ 则 ‎ 再令 则 ‎ ∵ ∴ ∴ 在上是增函数 ‎ ‎ ∴ ∴ ∴在上是增函数 ‎ ‎ ∴时, 故 ………9分 令 则 ‎∵ ∴ ∴ 即上是减函数 ‎∴时, ………11分 所以, 即 ………12分 22. 解:(Ⅰ)当时,C1的普通方程为,‎ C2的普通方程为,------------1分 联立方程组,解得C1与C2的交点坐标为(1,0),.------------3分 所以两点的极坐标为,--------------5分 ‎(Ⅱ)C1的普通方程为,A点坐标为,‎ 故当变化时,P点轨迹的参数方程为(为参数)‎ P点轨迹的普通方程为.故P点轨迹是圆心为,半径为的圆.‎ ‎23.解: (1)由得:‎ 或或 解得 所以的解集为 ‎ ‎(2) ‎ 当且仅当时,取等号. ‎ 由不等式对任意实数恒成立,可得 解得:或. 故实数的取值范围是 ‎
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