2008年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷) 理科数学

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2008年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷) 理科数学

绝密 ★ 启用前 ‎2008年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)‎ 数学(理工类)‎ ‎ 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共150分,考试用时120分钟。第Ⅰ卷1至2页,第Ⅱ卷3至10页。考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。‎ ‎ 祝各位考生考试顺利!‎ 第Ⅰ卷 注意事项:‎ ‎1.答第Ⅰ卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、科目涂写在答题卡上,并在规定位置粘贴考试用条形码。‎ ‎2.每小题选出答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。答在试卷上的无效。‎ ‎3.本卷共10小题,每小题5分,共50分。‎ 参考公式:‎ ‎·如果时间A,B互斥,那么 ·球的表面积公式 ‎ P(A+B)=P(A)+P(B) .‎ ‎·如果事件A,B相互独立,那么 其中R表示球的半径.‎ ‎ P(A·B)=P(A)·P(B)‎ 一、选择题:在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.‎ ‎(1)是虚数单位,‎ ‎ (A) (B) 1 (C) (D) ‎ ‎(2)设变量满足约束条件,则目标函数的最大值为 ‎ (A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 5‎ ‎(3)设函数,则是 ‎ (A) 最小正周期为的奇函数 (B) 最小正周期为的偶函数 ‎ ‎(C) 最小正周期为的奇函数 (D) 最小正周期为的偶函数 ‎(4)设是两条直线,是两个平面,则的一个充分条件是 ‎(A) (B) ‎ ‎ (C) (D) ‎ ‎(5)设椭圆上一点P到其左焦点的距离为3,到右焦点的距离为1,则P点到右准线的距离为 ‎ (A) 6 (B) 2 (C) (D) ‎ ‎(6)设集合,则的取值范围是 ‎(A) (B) ‎ ‎(C) 或 (D) 或 ‎(7)设函数的反函数为,则 ‎(A) 在其定义域上是增函数且最大值为1 ‎ ‎(B) 在其定义域上是减函数且最小值为0 ‎ ‎(C) 在其定义域上是减函数且最大值为1‎ ‎(D) 在其定义域上是增函数且最小值为0 ‎ ‎(8)已知函数,则不等式的解集是 ‎(A) (B) ‎ ‎(C) (D) ‎ ‎(9)已知函数是R上的偶函数,且在区间上是增函数.令 ‎,则 ‎ (A) (B) (C) (D) ‎ ‎(10)有8张卡片分别标有数字1,2,3,4,5,6,7,8,从中取出6张卡片排成3行2列,要求3行中仅有中间行的两张卡片上的数字之和为5,则不同的排法共有 ‎ (A) 1344种 (B) 1248种 (C) 1056种 (D) 960种 第Ⅱ卷 注意事项:‎ ‎ 1.答卷前将密封线内的项目填写清楚。‎ ‎ 2.用钢笔或圆珠笔直接答在试卷上 ‎ 3.本卷共12小题,共100分。‎ 二、填空题(本大题共6个小题,每小题4分,共24分.把答案填在题中横线上.)‎ ‎(11)的二项展开式中,的系数是 (用数字作答).‎ ‎(12)一个正方体的各定点均在同一球的球面上,若该球的体积为,则该正方体的表面积为 .‎ ‎(13)已知圆C的圆心与抛物线的焦点关于直线对称.直线与圆C相交于两点,且,则圆C的方程为 .‎ ‎(14)如图,在平行四边形中,,‎ 则 .‎ ‎(15)已知数列中,,则 .‎ ‎(16)设,若仅有一个常数c使得对于任意的,都有满足方程,这时,的取值的集合为 .‎ 三、解答题(本题共6道大题,满分76分)‎ ‎(17)(本小题满分12分)‎ 已知.‎ ‎(Ⅰ)求的值;‎ ‎(Ⅱ)求的值.‎ ‎(18)(本小题满分12分)‎ 甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球,命中率分别为与,且乙投球2次均未命中的概率为.‎ ‎(Ⅰ)求乙投球的命中率;‎ ‎(Ⅱ)若甲投球1次,乙投球2次,两人共命中的次数记为,求的分布列和数学期望.‎ ‎(19)(本小题满分12分)‎ 如图,在四棱锥中,底面是矩形.‎ 已知.‎ ‎(Ⅰ)证明平面;‎ ‎(Ⅱ)求异面直线与所成的角的大小;‎ ‎(Ⅲ)求二面角的大小.‎ ‎(20)(本小题满分12分)‎ 已知函数,其中.‎ ‎(Ⅰ)若曲线在点处的切线方程为,求函数的解析式;‎ ‎(Ⅱ)讨论函数的单调性;‎ ‎(Ⅲ)若对于任意的,不等式在上恒成立,求的取值范围.‎ ‎(21)(本小题满分14分)‎ 已知中心在原点的双曲线C的一个焦点是,一条渐近线的方程是.‎ ‎(Ⅰ)求双曲线C的方程;‎ ‎(Ⅱ)若以为斜率的直线与双曲线C相交于两个不同的点M,N,线段MN的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为,求的取值范围.‎ ‎(22)(本小题满分14分)‎ 在数列与中,,数列的前项和满足 ‎,为与的等比中项,.‎ ‎(Ⅰ)求的值;‎ ‎(Ⅱ)求数列与的通项公式;‎ ‎(Ⅲ)设.证明.‎ 参考答案 一.选择题:‎ ‎(1) A (2) D (3) B (4) C (5) B ‎ ‎(6) A (7) D (8) C (9) A (10) B 二.填空题:‎ ‎(11) 40 (12) 24 (13) ‎ ‎(14) 3 (15) (16) ‎ 三.解答题:‎ ‎(17)‎ 解:(Ⅰ)因为,所以,于是 ‎(Ⅱ)因为,故 所以 ‎(18)‎ 解:‎ ‎(Ⅰ)设“甲投球一次命中”为事件A,“乙投球一次命中”为事件B 由题意得 解得或(舍去),所以乙投球的命中率为 ‎(Ⅱ)由题设和(Ⅰ)知 可能的取值为0,1,2,3,故 的分布列为 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ 的数学期望 ‎(19)‎ 解:(Ⅰ)证明:在中,由题设可得 于是.在矩形中,.又,‎ 所以平面.‎ ‎(Ⅱ)证明:由题设,,所以(或其补角)是异面直线与所成的角.‎ 在中,由余弦定理得 由(Ⅰ)知平面,平面,‎ 所以,因而,于是是直角三角形,故 所以异面直线与所成的角的大小为.‎ ‎(Ⅲ)解:过点P做于H,过点H做于E,连结PE 因为平面,平面,所以.又,‎ 因而平面,故HE为PE再平面ABCD内的射影.由三垂线定理可知,‎ ‎,从而是二面角的平面角。‎ 由题设可得,‎ 于是再中,‎ 所以二面角的大小为.‎ ‎(20)本小题主要考查导数的几何意义、利用导数研究函数的单调性、解不等式等基础知识,考查运算能力、综合分析和解决问题的能力.满分12分.‎ ‎(Ⅰ)解:,由导数的几何意义得,于是.‎ 由切点在直线上可得,解得.‎ 所以函数的解析式为.‎ ‎(Ⅱ)解:.‎ 当时,显然().这时在,上内是增函数.‎ 当时,令,解得.‎ 当变化时,,的变化情况如下表:‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎-‎ ‎-‎ ‎0‎ ‎+‎ ‎↗‎ 极大值 ‎↘‎ ‎↘‎ 极小值 ‎↗‎ 所以在,内是增函数,在,内是减函数.‎ ‎(Ⅲ)解:由(Ⅱ)知,在上的最大值为与的较大者,对于任意的,不等式在上恒成立,当且仅当,即,对任意的成立.‎ 从而得,所以满足条件的的取值范围是.‎ ‎(21)本小题主要考查双曲线的标准方程和几何性质、直线方程、两条直线垂直、线段的定比分点等基础知识,考查曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法,考查推理运算能力.满分14分.‎ ‎(Ⅰ)解:设双曲线的方程为().由题设得 ‎,解得,所以双曲线方程为.‎ ‎(Ⅱ)解:设直线的方程为().点,的坐标满足方程组 将①式代入②式,得,整理得.‎ 此方程有两个一等实根,于是,且.整理得. ③‎ 由根与系数的关系可知线段的中点坐标满足 ‎,.‎ 从而线段的垂直平分线方程为.‎ 此直线与轴,轴的交点坐标分别为,.由题设可得.整理得,.‎ 将上式代入③式得,整理得,.‎ 解得或.‎ 所以的取值范围是.‎ ‎(22)本小题主要考查等差数列的概念、通项公式及前项和公式、等比数列的概念、等比中项、不等式证明、数学归纳等基础知识,考查运算能力和推理论证能力及分类讨论的思想方法.满分14分 ‎(Ⅰ)解:由题设有,,解得.由题设又有,,解得.‎ ‎(Ⅱ)解法一:由题设,,,及,,进一步可得,,,,猜想,,.‎ 先证,.‎ 当时,,等式成立.当时用数学归纳法证明如下:‎ ‎(1当时,,等式成立.‎ ‎(2)假设时等式成立,即,.‎ 由题设,  ‎ ‎    ‎ ‎①的两边分别减去②的两边,整理得,从而 ‎.‎ 这就是说,当时等式也成立.根据(1)和(2)可知,等式对任何的成立.‎ 综上所述,等式对任何的都成立 再用数学归纳法证明,.‎ ‎(1)当时,,等式成立.‎ ‎(2)假设当时等式成立,即,那么 ‎.‎ 这就是说,当时等式也成立.根据(1)和(2)可知,等式对任何的都成立.‎ 解法二:由题设  ‎ ‎    ‎ ‎①的两边分别减去②的两边,整理得,.所以 ‎        ,‎ ‎        ,‎ ‎        ……‎ ‎        ,.‎ 将以上各式左右两端分别相乘,得,‎ 由(Ⅰ)并化简得,.‎ 止式对也成立.‎ 由题设有,所以,即,.‎ 令,则,即.由得,.所以,即,.‎ 解法:由题设有,,所以 ‎,‎ ‎        ,‎ ‎        ……‎ ‎        ,.‎ 将以上各式左右两端分别相乘,得,化简得 ‎,.‎ 由(Ⅰ),上式对也成立.所以,.‎ 上式对时也成立.‎ 以下同解法二,可得,.‎ ‎(Ⅲ)证明:.‎ 当,时,‎ ‎.‎ 注意到,故 ‎ .‎ 当,时,‎ 当,时,‎ ‎.‎ 当,时,‎ ‎.‎ 所以.‎ 从而时,有 总之,当时有,即.‎
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