2017-2018学年福建省莆田市第二十四中学高二上学期期中考试理科 数学

2017-2018学年福建省莆田市第二十四中学高二上学期期中考试理科 数学

‎2017-2018学年福建省莆田市第二十四中学高二上学期期中考试数学（理科）‎ 一、单项选择（每题5分共60分）‎ ‎1、中，若，则的面积为（ ）‎ ‎ A． B． C．1 D．‎ ‎2、已知等比数列{an}中，a3=2，a4a6=16，则=（　　）‎ ‎ A．2 B．4 C．8 D．16‎ ‎3、设a，b为非零实数，且a＜b，则下列不等式恒成立的是( )‎ ‎ A．a2＞a b B．a2＜b2 C． D．‎ ‎4、以下列函数中，最小值为的是（ ）‎ ‎ A. B. ‎ ‎ C. D. ‎ ‎5、命题“”的否定为（ ）‎ ‎ A. B. ‎ ‎ C. D. ‎ ‎6、设命题：方程的两根符号不同；命题：方程的两根之和为3，判断命题“”、“”、“”、“”为假命题的个数为 ( )‎ ‎ A．0 B．1 C．2 D．3‎ ‎7、已知向量，则与的夹角为（ ）‎ ‎ A. 0 B. C. D. ‎ ‎8、“”是“方程为双曲线的方程”的 （ ）‎ ‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 ‎ C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎9、设f(x)＝xlnx，若f′(x0)＝2，则x0的值为(　　)‎ ‎ A．e2 B．e C． D．ln2‎ ‎10、如图所示，在直三棱柱中，，，点E、F分别是棱AB、BB1的中点，当二面角C1-AA1-B为450时，直线EF和BC1所成的角为（ ）‎ ‎ A. 450 B. 600 C. 900 D. 1200‎ ‎11、在中，，，，则等于( ) ‎ ‎ A. B. C. 或 D. 以上答案都不对 ‎12、设数列{an}是等差数列，若a2+a4+a6=12，则a1+a2+…+a7等于（　　）‎ A．14 B．21 C．28 D．35‎ 二、填空题（每道题5分，共20分）‎ ‎13、不等式的解集为 .‎ ‎14、变量x，y满足约束条件 ，则z=2x﹣y的最小值为　 　．‎ ‎15、在平面直角坐标系中，已知△ABC顶点和，顶点B在椭圆上，则　　　　. ‎ ‎16、写出下列函数的导数（1）的导数为　 　　 　　 　　 　．‎ ‎（2）的导数为　 　　 　　 　　 　．‎ 三、解答题（注释）‎ ‎17、在等差数列中，，，‎ ‎（Ⅰ）求该数列的通项公式 ‎（Ⅱ）该数列前多少项的和最大？最大和是多少？‎ ‎18、已知函数的图象过点，且在点处的切线方程为．‎ ‎（1）求和的值；‎ ‎（2）求函数的解析式．‎ ‎19、如图，在直三棱柱中，，D是棱AC的中点，且.‎ ‎(1)求证：；‎ ‎(2)求异面直线与所成的角．‎ ‎20、已知点是抛物线上位于第一象限的点，焦点，且，过的直线交抛物线于点.‎ ‎（Ⅰ）求直线的方程；‎ ‎（Ⅱ）在抛物线部分上求一点，使到直线距离最大，并求出最大值.‎ ‎21、四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．‎ ‎(1)证明：PB∥平面AEC；‎ ‎(2)设，三棱锥的体积 ，求二面角D-AE-C的大小 ‎22、已知椭圆C：x2＋2y2＝4.‎ ‎（I）求椭圆C的离心率；‎ ‎（II）设O为原点，若点A在直线y＝2上，点B在椭圆C上，且OA⊥OB，求线段AB长度的最小值．‎ 参考答案 一、单项选择 ‎1、A 2、B 3、C 4、A 5、A 6、C 7、C ‎8、B 9、B 10、B 11、A 12、C 二、填空题 ‎13、【答案】 14、【答案】﹣6‎ ‎15、【答案】 16、【答案】‎ 三、解答题 ‎17、【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）{|an|}前n项和为.‎ 试题分析：（1）通过解方程组，进而计算可得结论；‎ ‎（2）通过（1）可知，对n的值分n≤17、n≥18两种情况进行讨论即可 试题解析：‎ ‎(Ⅰ)设数列{an}的公差为d， 由得 ‎∴an＝a1＋(n－1)d＝－3n＋53， 令an>0，得n<，‎ ‎∴当n≤17，n∈N时，an>0；当n≥18，n∈N时，an<0， ∴{an}前17项和最大．‎ ‎.‎ ‎(Ⅱ)当n≤17，n∈N时，‎ ‎|a1|＋|a2|＋＋|an|＝a1＋a2＋＋an＝na1＋＝－n2＋n，‎ ‎∴当n≤17，n∈N时，{|an|}前n项和为－n2＋n，‎ 当n≥18，n∈N时，‎ ‎|a1|＋|a2|＋＋|an|＝a1＋a2＋＋a17－a18－a19－－an＝2(a1＋a2＋＋a17)－‎ ‎(a1＋a2＋＋an)＝n2－n＋884，‎ 当n≥18，n∈N时，{|an|}前n项和为n2－n＋884.‎ ‎18.【答案】（1），；‎ ‎（2）．‎ 试题分析：（1）由导数的几何意义并结合已知条件即可得出，等于在点处的切线方程的斜率，而点在切线方程上即可得出的值；（2）首先由过点可求出的值，然后求出函数的导函数，并由可得等式，再由可得等式，于是联立方程组即可得出的值，最后代入即可得出所求的函数的解析式．‎ 试题解析：（1）∵在点处的切线方程为，故点在切线上，且切线斜率为，得且．‎ ‎（2）∵过点，∴，∵，∴，由得，又由，得，联立方程得，故．‎ 考点：1、导数的几何意义；2、导数的计算．‎ ‎19、【答案】(1)见解析；(2).‎ 试题分析：‎ ‎(1)利用题意结合线面平行的判断定理由OD∥AB1即可证得结论；‎ ‎(2)建立空间直角坐标系，结合题意可得异面直线与所成的角为.‎ 试题解析：‎ ‎(1)如图，连接B1C交BC1于点O，连接OD.‎ ‎∵O为B1C的中点，D为AC的中点， ∴OD∥AB1.‎ ‎∵AB1？平面BC1D，OD平面BC1D， ∴AB1∥平面BC1D.‎ ‎(2)建立如图所示的空间直角坐标系B－xyz.‎ 则B(0,0,0)、A(0,2,0)、C1(2,0,2)、B1(0,0,2)．∴＝(0，－2,2)、＝(2,0,2)．‎ cos〈，〉＝＝＝，‎ 设异面直线AB1与BC1所成的角为θ，则cosθ＝，∵θ∈(0，)，∴θ＝.‎ ‎20、（Ⅰ）（Ⅱ）点，距离最大值为 试题分析：（1）根据抛物线的几何性质和抛物线的定义，求得焦点和，即可求得直线的方程；‎ ‎（2）平移直线与抛物线相切，当在切点处时，点到直线的距离最大，设处点的坐标，求得切点的坐标，再利用点到直线的距离公式，即可求解距离的最大值。‎ 试题解析：‎ ‎（Ⅰ）抛物线的焦点为，准线方程为，‎ 设，则由抛物线定义得：，‎ 所以直线的方程为：即 ‎（Ⅱ）平移直线与抛物线相切，当在切点处时，点到直线的距离最大．‎ 设切点，由求导得：，所以切线斜率，‎ ‎，显然，‎ 直线，所以到直线的距离 所以所求的点，距离最大值为 ‎21.【答案】（1）见解析（2）‎ 试题分析：（1）可先连结BD交AC于点O,连结EO，根据中位线性质可证明EO//P，从而可得结论；（2）由三棱锥的体积，可得，以A为坐标原点，的方向为x轴的正方向，建立空间直角坐标系A—xyz,分别求出平面DAE与平面ACE的一个法向量，根据空间向量夹角余弦公式，可得结果.‎ 试题解析：（1）连结BD交AC于点O,连结EO 因为ABCD为矩形，所以O为BD的中点 又E为的PD的中点，所以EO//PB EO平面AEC,PB平面AEC，所以PB//平面AEC ‎（2）因为PA平面ABCD，ABCD为矩形，所以AB,AD,AP两两垂直 如图，以A为坐标原点，的方向为x轴的正方向，建立空间直角坐标系A—xyz,‎ 三棱锥的体积,‎ 则A(0,0,0)，D(0,,0)，B(,0,0)，E(0,,)，C(,,0)，‎ 则=(0,,)，=(,,0)，设为平面ACE的法向量，‎ 则即 令，得，，则 又为平面DAE的法向量，‎ ‎，‎ 如图可得二面角为锐角，所以二面角为 ‎【方法点晴】本题主要考查线面平行以及利用空间向量求二面角，属于难题.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.‎ ‎22.【答案】（I）；（II）.‎ 试题分析：（I）把椭圆方程化成标准方程求出的值，由离心率的定义即得其值；（II）设出两点的坐标，利用向量垂直的条件找出坐标间的关系，用距离公式表示出，消元后建立的函数关系，利用基本不等式求出最小值.‎ 试题解析：(I)由题意，椭圆C的标准方程为.‎ 所以a2＝4，b2＝2，从而c2＝a2－b2＝2.因此a＝2，c＝.‎ 故椭圆C的离心率e＝＝.‎ ‎(II)设点A，B的坐标分别为(t，2)，(x0，y0)，其中x0≠0.‎ 因为OA⊥OB，所以，即tx0＋2y0＝0，解得t＝.‎ 又，所以 |AB|2＝(x0－t)2＋(y0－2)2＝‎ ‎＝＝ ＝()．‎ 因为()，当时等号成立，所以|AB|2≥8.‎ 故线段AB长度的最小值为.‎ 考点：椭圆的方程、几何性质的应用.‎ ‎【方法点晴】本题考查了椭圆的方程与性质及利用基本不等式求解最值等基础知识点，对学生的运算和数据处理能力要求较高，属于中档题.解答本题的技巧是利用已知条件设出的坐标，然后利用寻求坐标间的关系，同时注意点在椭圆上，其坐标满足椭圆方程，可以进行消元处理，最终建立出关于与的函数关系式，通过变形处理为两正数和的形式，利用基本不等式求出最小值.‎