2018届二轮复习（理）　空间中的平行与垂直关系学案（全国通用）

2018届二轮复习（理）　空间中的平行与垂直关系学案（全国通用）

规范答题示例6　空间中的平行与垂直关系 典例6　(12分)如图，四棱锥P—ABCD的底面为正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD，E，F，H分别为AB，PC，BC的中点．‎ ‎(1)求证：EF∥平面PAD；‎ ‎(2)求证：平面PAH⊥平面DEF.‎ 审题路线图　(1)―→ ‎(2)―→ 规 范 解 答·分 步 得 分 构 建 答 题 模 板 证明　(1)取PD的中点M，连接FM，AM.‎ ‎∵在△PCD中，F，M分别为PC，PD的中点，∴FM∥CD且FM＝CD.‎ ‎∵在正方形ABCD中，AE∥CD且AE＝CD，‎ ‎∴AE∥FM且AE＝FM，‎ 则四边形AEFM为平行四边形，‎ ‎∴AM∥EF， 4分 ‎∵EF⊄平面PAD，AM⊂平面PAD，‎ ‎∴EF∥平面PAD. 6分 ‎(2)∵侧面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD，侧面PAD∩底面ABCD＝AD，‎ ‎∴PA⊥底面ABCD，∵DE⊂底面ABCD，∴DE⊥PA.‎ 第一步　‎ 找线线：通过三角形或四边形的中位线、平行四边形、等腰三角形的中线或线面、面面关系的性质寻找线线平行或线线垂直．‎ 第二步　‎ 找线面：通过线线垂直或平行，利用判定定理，找线面垂直或平行；也可由面面关系的性质找线面垂直或平行．‎ 第三步　‎ 找面面：通过面面关系的判定定理，寻找面面垂直或平行．‎ 第四步　‎ 写步骤：‎ ‎∵E，H分别为正方形ABCD边AB，BC的中点，‎ ‎∴Rt△ABH≌Rt△DAE，‎ 则∠BAH＝∠ADE，∴∠BAH＋∠AED＝90°，∴DE⊥AH，8分 ‎∵PA⊂平面PAH，AH⊂平面PAH，PA∩AH＝A，∴DE⊥平面PAH，‎ ‎∵DE⊂平面EFD，∴平面PAH⊥平面DEF.  12分 严格按照定理中的条件规范书写解题步骤.‎ 评分细则　(1)第(1)问证出AE綊FM给2分；通过AM∥EF证线面平行时，缺1个条件扣1分；利用面面平行证明EF∥平面PAD同样给分；‎ ‎(2)第(2)问证明PA⊥底面ABCD时缺少条件扣1分；证明DE⊥AH时只要指明E，H分别为正方形边AB，BC的中点得DE⊥AH不扣分；证明DE⊥平面PAH只要写出DE⊥AH，DE⊥PA，缺少条件不扣分．‎ 跟踪演练6　如图，在三棱锥V—ABC中，平面VAB⊥平面ABC，△VAB为等边三角形，AC⊥BC且AC＝BC＝，O，M分别为AB，VA的中点．‎ ‎(1)求证：VB∥平面MOC；‎ ‎(2)求证：平面MOC⊥平面VAB；‎ ‎(3)求三棱锥V—ABC的体积．‎ ‎(1)证明　因为O，M分别为AB，VA的中点，‎ 所以OM∥VB，‎ 又因为VB⊄平面MOC，OM⊂平面MOC，‎ 所以VB∥平面MOC.‎ ‎(2)证明　因为AC＝BC，O为AB的中点，所以OC⊥AB.‎ 又因为平面VAB⊥平面ABC，平面VAB∩平面ABC＝AB，且OC⊂平面ABC，‎ 所以OC⊥平面VAB.‎ 又OC⊂平面MOC，所以平面MOC⊥平面VAB.‎ ‎(3)解　在等腰直角三角形ACB中，AC＝BC＝，‎ 所以AB＝2，OC＝1，‎ 所以等边三角形VAB的面积S△VAB＝.‎ 又因为OC⊥平面VAB.‎ 所以三棱锥C—VAB的体积等于·OC·S△VAB＝，‎ 又因为三棱锥V—ABC的体积与三棱锥C—VAB的体积相等，‎ 所以三棱锥V—ABC的体积为.‎