- 2021-06-15 发布 |
- 37.5 KB |
- 18页
申明敬告: 本站不保证该用户上传的文档完整性,不预览、不比对内容而直接下载产生的反悔问题本站不予受理。
文档介绍
【数学】重庆市九龙坡区育才中学2019-2020学年高二上学期期中考试试题(解析版)
www.ks5u.com 重庆市九龙坡区育才中学2019-2020学年 高二上学期期中考试试题 满分:150分时间:120分钟 注意事项: 1.答卷前,考生务必将自已的姓名、准考证号填写在答题卡上; 2.作答时,务必将答案写在答题卡上,写在本试卷及草稿纸上无效; 3.考试结束后,将答题卡交回并将本试卷妥善保管以备老师评讲. 一、选择题:本题共10小题,每小题4分,共40分.1-8题在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的;9,10题是多选题,每题至少一个符合题目要求的选项. 1.已知椭圆:,其焦点坐标( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 椭圆:,化简为: ,根据:,可得:,故 的焦点为: . 故选:B. 2.函数在定义域内可导,其函数图像如图所示,记的导函数为,则不等式的解集为( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 函数的导数为正,原函数是单调递增 根据函数图像可知:在区间单调递增的. 的解集为: . 故选:C. 3.若,则的值为( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 ,解得: 故选:B. 4.如图,三棱柱中,侧面的面积是,点到侧面的距离是,则三棱柱的体积为( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】侧面的面积是,点到侧面的距离是 故选:C. 5.两条异面直线,满足:与平面成角,与平面成角,则与所成角大小满足( ) A. 或 B. 或 C. D. 【答案】D 【解析】作,当直线,在同一平面内时,图像如图: 当绕旋转时,如图: 由图像可知异面直线,夹角可为,此时,夹角最大 当绕旋转到如图所示位置时: 由图像可知此时与夹角为 当直线在空间进行平行移动时, 直线,将成为异面直线, 此时得到异面直线,夹角的值为. 综上所述, 与所成角大小满足. 故选:D. 6.已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上,为球的直径,是边长为的等边三角形,三棱锥的体积为,则球的表面积为( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】画出其立体图像,如图: 设中点为 为球的直径,故点为三棱锥外接球的球心. 设外接圆的圆心为 是边长为,故外接圆半径为:,故 是边长为的等边三角形 根据三角形面积公式可得: 三棱锥体积为 根据三棱锥体积公式可得: 可得,解得: 根据几何关系可知: 在中,有 根据球的表面积公式为 故选:A. 7.记双曲线的左、右焦点分别为,为平面内一点,且线段的垂直平分线方程为,若(为坐标原点),则双曲线的渐近线方程为( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】记为的中点,又为的中点 所以为的中位线,所以 由,可得 故, 由,得,解得, 故双曲线的渐近线方程为 本题正确选项: 8.定义在上的函数,其导函数为,且,,则不等式的解集为( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】设 又 则,可得是定义在的减函数. 又, 可化简为:,即 故选:A. 9.(多选)已知,是两条不同的直线,,是两不同的平面,是一个点,其中正确的是( ) A. 若,,则; B. 若,则; C. 若,,,,则; D. 若,,,,,则. 【答案】CD 【解析】对于A,若,,可不在直线,故A错误; 对于B,若,,可知上有一点在内,根据两点确定一条直线可知,不一定在内,故B错误; 对于C, ,,, ,故C正确; 对于D, ,,,, ,故D正确. 故选:CD. 10.(多选)已知函数,其中正确结论的是( ) A. 当时,函数有最大值. B. 对于任意的,函数一定存在最小值. C. 对于任意的,函数是上的增函数. D. 对于任意的,都有函数. 【答案】BC 【解析】对于A,当时,函数,根据指数单调性可知, 此时是单调增函数,故无最大值,故A错误; 对于B,对于任意的, , ,易知是在单调增函数, 当时,,当时, 存在, 当时, ,单调递减 当时, ,单调递增 ,故B正确; 对于C,对于任意的, 函数, , , 可得:,故函数是上的增函数,故C正确; 对于D,对于任意的, 函数, , , 可得:,故函数是上的增函数. 当时,,, 可得:,故D错误. 故选:BC. 二、填空题:本题共5小题,每题4分,共20分. 11.曲线在处的切线方程为_________. 【答案】. 【解析】,而, 所以切线方程为. 12.已知函数在区间内单调递增,则实数的取值范围是 ______. 【答案】 【解析】 , 函数在区间内单调递增 在上,,即, 令,,根据对号函数可知: , 根据不等式性质可知: 故答案为: 13.已知抛物线:,直线过点,且与抛物线交于,两点,若线段的中点恰好为点,则直线的斜率为______. 【答案】2 【解析】设 ①, ② 由①②可得: 线段的中点恰好为点 根据中点坐标公式可得:, 故答案为:. 14.若函数只有一个极值点,则k的取值范围为___________. 【答案】 【解析】函数只有一个极值点, , 若函数只有一个极值点,只有一个实数解, 则:,从而得到:, 当 时,成立.当时,设,, 当两函数相切时,,此时得到的最大值,但时不成立. 故的取值范围为:, 综上:的取值范围为:. 故答案为:. 15.在棱长为1的正方体中,为的中点,,是正方体表面上相异两点,满足,.(1)若,均在平面内,则与的位置关 系是______;(2)的最小值为______. 【答案】 (1). 平行 (2). 【解析】(1)以为空间直角坐标系的原点,以所在的直线为轴, 如下图所示: ,因为若,均在平面内, 所以设, 因为,, 所以,解得,, ,所以与的位置关系是平行; (2)由(1)可知: 当时, 有最小值,最小值为. 故答案为:平行; 三、解答题:本题共6小题,每题15分,共90分. 16.已知函数,其中,,且的最小值为,的图像的相邻两条对称轴之间的距离为. (1)求函数的解析式和单调递增区间; (2)在中,角,,所对的边分别为,,.且,求. 【解】(1) 的最小值为, 的图像的相邻两条对称轴之间的距离为. 根据正弦函数图像可知,函数周期为: 根据正弦函数最小正周期公式: ,故 , 根据正弦函数图像可知,其单调增区间为: , 解得函数单增区间为:. (2)在由余弦定理得: , ① ② , 可得: ③ 将①②代入③得: ,可得:,即 . 17.在数列{an}中,已知,且2an+1=an+1(n∈N*). (1)求证:数列{an-1}是等比数列; (2)若bn=nan,求数列{bn}的前n项和Tn. 【解】(1)∵2an+1=an+1(n∈N*).∴2(an+1-1)=an-1, ∵,∴a1-1=且an-1≠0,∴=, ∴数列{an-1}是以为首项,为公比的等比数列 (2)由(1)可得:an-1=,∴an=,∴bn=nan=n, ∴Tn=()+(1+2+…+n), 令An=, ∴=…+(n-1)+n, 两式相减可得,===1- ∴An=2-2×-n=2-,∴Tn=2- 18.已知函数. (1)当时,判断函数的单调性; (2)若恒成立,求的取值范围; (3)已知,证明. 【解】由题意可知,函数的定义域为:且. (1)当时,, 若,则 ; 若,则 , 所以函数在区间单调递增,单调递减. (2)若恒成立,则恒成立, 又因为,所以分离变量得恒成立, 设,则,所以, 当时,;当时,, 即函数在上单调递增,在上单调递减. 当时,函数取最大值,,所以. (3)欲证,两边取对数,只需证明, 只需证明,即只需证明, 由(2)可知在上单调递减,且, 所以,命题得证. 19.如图,楔形几何体由一个三棱柱截去部分后所得,底面侧面,,楔面是边长为2的正三角形,点在侧面的射影是矩形的中心,点在上,且 (1)证明:平面; (2)求楔面与侧面所成二面角的余弦值. 【解】(1)证明:如图,连接交于,连接,. 则是的中点,. 因为平面,所以平面平面, 又平面平面,所以平面平面, 根据题意,四边形和是全等的直角梯形, 三角形和是全等的等腰直角三角形, 所以,. 在直角三角形中,, 所以,,, 于是,, 所以,. 因为平面,,所以平面. (2)法一:向量法:以为坐标原点,,所在直线分别为轴、轴,建立如图所示的空间直角坐标系, 则,,,,. 设平面的一个法向量为, 则,取, 平面的一个法向量为, 所以, 所以楔面与侧面所成二面角的余弦值为. 法二:几何法:如图,取的中点,连接,. 即为楔面与侧面所成二面角的平面角. 在直角三角形中,,, 所以, 所以楔面与侧面所成二面角的余弦值为. 20.已知函数,,曲线与在点处有相同的切线. (1)求、的值; (2)求函数的极值; (3)证明:. 【解】(1),, 曲线与在点处有相同的切线. ,, 即, ,. (2) 由(1), , 当; 当,,当, 故在处取得极小值, 极小值为: (3) ,. 由,得. , 原问题即证:. 令, , 当时,,当时,. 的单调递减区间为,单调递减区间为. , . 21.已知椭圆:,过椭圆右焦点的最短弦长是,且点在椭圆上. (1)求该椭圆的标准方程; (2)设动点满足:,其中,是椭圆上的点,直线与直线的斜率之积为,求点的轨迹方程并判断是否存在两个定点、,使得为定值?若存在,求出定值;若不存在,说明理由. 【解】(1)椭圆:,过椭圆右焦点的最短弦长是 ,即① 点在椭圆上 即 ② 由①②解得: , 化简可得:,解得,,, 椭圆的标准方程为:. (2)设,,,则由 得:, 即,. 点,在椭圆上, ,, 故 , 设,分别为直线,的斜率, 由题设条件知:,可得, , 点是椭圆上的点,设该椭圆的左、右焦点为点,, 使得为定值.查看更多