2019届二轮复习两角和与差的余弦、正弦和正切学案（全国通用）

2019届二轮复习两角和与差的余弦、正弦和正切学案（全国通用）

‎ 余弦公式 ‎ 正弦公式 两角和与差 ‎ 正切公式 ‎ 辅助角公式 一、两角和与差的余弦公式 ‎ （一）知识精讲 ‎ 在三角比的计算和化简中，常要用角的三角比来表示角或角的三角比． 设和是两个任意角，把它们的顶点都置于平面直角坐标系的原点，始边都与x轴的正方向重合，它们的终边OA，OB分别与单位圆交于A、B两点（如图1）．A、B的坐标分别为． 下面考虑的三角比，把角的终边OA，OB都绕O旋转角，分别转到'，OB'的位置（如图2），由于OA'转过了角，所以．点A'的坐标是，点B'的坐标．‎ 图2‎ ‎ 根据两点间的距离公式，在图1中，有 ‎ 在图2中，有 ‎ 因为绕O旋转角得，所以 从而得到： ，‎ 所以 ‎ 它对任意角和都成立，这个公式叫做两角差的余弦公式．‎ 如果用代替，则可以得到两角和的余弦公式：‎ ‎ ‎ ‎【注】一般地，，．‎ ‎ （二）典型例题 ‎【例1】_______，_______． 【难度】★‎ ‎【答案】．‎ ‎【例2】______．________． 【难度】★ 【答案】；．‎ ‎【例3】若_______． 【难度】★ 【答案】‎ ‎【例4】在，则此三角形一定是______三角形． 【难度】★★ 【答案】钝角 ‎【例5】将角的终边绕顶点顺时针旋转，就成了角的终边，终边上有点，那么为_____． 【难度】★ 【答案】‎ ‎【例6】已知、为锐角，且，求． 【难度】★★‎ ‎【答案】‎ ‎【例7】_______． 【难度】★★★ 【提示】 【答案】‎ ‎【巩固练习】‎ ‎1．______，_______．‎ ‎【难度】★‎ ‎【答案】，．‎ ‎2．_______，_______．‎ ‎【难度】★‎ ‎【答案】，．‎ ‎3．若，且，则______．‎ ‎【难度】★★‎ ‎【答案】‎ ‎4．中，，则______．‎ ‎【难度】★★‎ ‎【答案】‎ ‎5．已知点，若将OM绕原点顺时针转得到OM'，则点M'的坐标为___________．‎ ‎【难度】★★‎ ‎【答案】‎ ‎6．设，且都是锐角，则______．‎ ‎【难度】★★‎ ‎【答案】‎ ‎7．已知，则的取值范围是____________．‎ ‎【难度】★★★‎ ‎【答案】‎ ‎8．，其中为任意角，求u的取值范围．‎ ‎【难度】★★★ 【答案】‎ 二、两角和与差的正弦公式 ‎ （一）知识精讲 ‎ ‎ 即 ‎ 把换成，得两角差的正弦公式： ‎ ‎ （二）典型例题 ‎【例8】______ ________ _______ ________‎ ‎【难度】★ 【答案】；；；．‎ ‎【例9】化简_______． 求值：_____． 【难度】★‎ ‎【答案】；．‎ ‎【例10】（1）已知，则_______． （2）已知，则的值为______． 【难度】★ 【答案】；．‎ ‎ 【例11】，均为锐角，则_______． 【难度】★ 【答案】‎ ‎【例12】已知，求的值． 【难度】★★ 【答案】‎ ‎【例13】若中的角A、B满足，则此三角形是_____三角形． 【难度】★★ 【答案】等腰直角 ‎【例14】在中，已知，则的值为______． 【难度】★★ 【答案】‎ ‎ 【例15】已知，那么_______． 【难度】★★★ 【提示】 【答案】5‎ ‎【巩固练习】‎ ‎1．_______； _______；‎ ‎_______．‎ ‎【难度】★ 【答案】0，；；．‎ ‎2．化简______． 【难度】★‎ ‎【答案】‎ ‎3．求值：______． 【难度】★‎ ‎【答案】‎ ‎4．已知，则的值为_______． 已知，则的值为______． 【难度】★‎ ‎【答案】；．‎ ‎5．已知，且，求的值． 【难度】★★‎ ‎【答案】‎ ‎6．在中，，那么一定是______三角形． 【难度】★★‎ ‎【答案】等腰 ‎7．在中，已知，则的值为______．‎ ‎【难度】★★‎ ‎【答案】‎ 三、两角和与差的正切公式 ‎ （一）、知识精讲 ‎ 把最后一个分式的分子分母同除以，化简得：‎ ‎ ‎ 同理可得 ‎ ‎ ‎ （二）典型例题 ‎【例16】______．‎ ‎【难度】★‎ ‎【答案】‎ ‎ 【例17】已知，则_______． 若，则的值为_______． 【难度】★ 【答案】1；2‎ ‎ 【例18】若，则______． ，则______．‎ ‎，则的值为_______． 【难度】★ 【答案】；；‎ ‎【例19】设，且，则______． 【难度】★ 【答案】‎ ‎【例20】已知，且，求的值． 【难度】★★ 【答案】‎ ‎【例21】已知，则的值为_______． 【难度】★★ 【答案】‎ ‎【例22】已知，求的值． 【难度】★★★ 【提示】令． 【答案】‎ ‎【巩固训练】‎ ‎1．若，则的值是______．‎ ‎【难度】★‎ ‎【答案】‎ ‎2．求值______．‎ ‎【难度】★‎ ‎【答案】‎ ‎3．_______．‎ ‎【难度】★★‎ ‎【答案】‎ ‎4．已知，且是第二象限角，则______．‎ ‎【难度】★★‎ ‎【答案】‎ ‎5．已知，则的值为_____． 【难度】★★‎ ‎【答案】‎ ‎6．设，则______． 【难度】★★‎ ‎【答案】‎ ‎7．设且，则______． 【难度】★★‎ ‎【答案】 ‎ ‎8．已知，求的值． 【难度】★★‎ ‎【答案】‎ ‎9．已知，则的值为______． 【难度】★★★‎ ‎【答案】‎ 四、辅助角公式 ‎ （一）、知识精讲 ‎ ， 可设，所以 即 ‎ 其中通常取，由确定．‎ 同学可尝试设进行化简．‎ ‎ （二）典型例题 ‎【例23】将化为的形式是______． 将化为的形式是______． 将化为的形式是______． 【难度】★ 【答案】；；．‎ ‎【例24】已知，则_____． 【难度】★ 【答案】‎ ‎【例25】已知，则_____． 【难度】★ 【答案】‎ ‎【例26】下列关系式中，角存在的是（ ） A． B． C． D． 【难度】★‎ ‎【答案】B ‎【例27】的最大值为_______． 【难度】★★ 【答案】‎ ‎【例28】已知，求m的取值范围． 【难度】★★★ 【提示】把分母乘到左边，利用辅助角公式求解． 【答案】‎ ‎【巩固训练】‎ ‎1．将化为的形式是______． 将化为的形式是______． 【难度】★‎ ‎【答案】；．‎ ‎2．已知，则______． 【难度】★‎ ‎【答案】‎ ‎3．若，则______． 【难度】★‎ ‎【答案】‎ ‎4．设，则a，b，c的大小关系是（ ） A． B． C． D． 【难度】★‎ ‎【答案】B ‎5．求值_______． 【难度】★‎ ‎【答案】‎ ‎6．若，则的最大值为______．‎ ‎【难度】★★‎ ‎【答案】‎ ‎7．求的值．‎ ‎【难度】★★‎ ‎【答案】‎ ‎8．使方程有解的k的取值范围是___________________． 【难度】★★★‎ ‎【答案】‎ 公式联系记忆：‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 使用公式的时候注意把什么看成，什么看成，初学需要圈注一下．‎ 利用和差配所求角难度比较大，需要耐心观察．‎ ‎1．计算_______；________．‎ ‎【难度】★‎ ‎【答案】；‎ ‎2．化简_____； _______； ______． 【难度】★‎ ‎【答案】；；1．‎ ‎3．在中，，则______． 【难度】★★‎ ‎【答案】‎ ‎4．，则______． 【难度】★‎ ‎【答案】‎ ‎5．已知，且，求的值． 【难度】★★‎ ‎【答案】‎ ‎6．已知_______． 【难度】★★‎ ‎【答案】‎ ‎7．求值：_______．‎ ‎【难度】★‎ ‎【答案】‎ ‎8．若，则=________． 【难度】★★‎ ‎【答案】‎ ‎9．已知、为锐角，且，求的值． 【难度】★★‎ ‎【答案】‎ ‎10．已知，且为第三象限角，则的值为______． 【难度】★★‎ ‎【答案】‎ ‎11．若，则_______． 【难度】★‎ ‎【答案】‎ ‎12．若，则_______． 【难度】★‎ ‎【答案】‎ ‎13．=_______． 【难度】★★‎ ‎【答案】‎ ‎14．则_______． 【难度】★★‎ ‎【答案】‎ ‎15．的值是_________． 【难度】★★‎ ‎【答案】‎ ‎16．中，，则的形状为_______． 【难度】★★‎ ‎【答案】锐角三角形 ‎17．（1）证明：．‎ ‎（2）由（1）能想象出更一般的结论吗？试证明你的结论． 【难度】★★★‎ ‎【答案】（2）‎