福建省福安市第六中学2018-2019学年高二下学期第一次月考数学（文）试题

福建省福安市第六中学2018-2019学年高二下学期第一次月考数学（文）试题

福安市第六中学2018-2019高二下学期第一次月考试卷 文科数学 第Ⅰ卷 一．选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分，只有一个选项正确，请把答案写在答题卷上）‎ ‎1．若直线的倾斜角为，则（ ）‎ A．等于 B．等于 C．等于 D．不存在 ‎2．函数的导数为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎3．已知，那么“直线与垂直”是“”的（ ）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎4．已知向量，，若，则（ ）‎ A． B．4 C． D．‎ ‎5．已知等差数列的前项和为，若，，则等于（ ）‎ A． B． C．1 D．4‎ ‎6．已知一只蚂蚁在边长分别为5，12，13的三角形的边上随机爬行，则其恰在离三个顶点的距离都大于1的地方的概率为（ ）‎ A． B． C． D． ‎7．用反证法证明命题：“若直线AB，CD是异面直线，则直线AC，BD也是异面直线”的过程归纳为以下三个步骤：‎ ‎①则A，B，C，D四点共面，所以AB，CD共面，这与AB，CD是异面直线矛盾；‎ ‎②所以假设错误，即直线AC，BD也是异面直线；‎ ‎③假设直线AC，BD是共面直线．‎ 则正确的序号顺序为（ ）‎ A．①②③ B．③①② C．①③② D．②③①‎ ‎8．y＝cosx经过伸缩变换后，曲线方程变为（ ）‎ A．y′＝3cos B．y′＝3cos2x′ C．y′＝cos D．y′＝cos2x′‎ ‎9．在极坐标系中，点到圆ρ＝2cosθ的圆心的距离为（ ）‎ A．2 B． C． D． ‎10．一个几何的三视图如图所示，则表面积为（ ）‎ A． B．或 C．或 D．‎ ‎11．如图所示正方体设是底面正方形内的一个动点，且满足直线与直线所成的角等于，则以下说法正确的是（ ）‎ A．点的轨迹是圆的一部分 B．点的轨迹是双曲线的一部分 C．点的轨迹是椭圆的一部分 D．点的轨迹是抛物线的一部分 ‎12．如图，在三棱锥中，，，‎ 则三棱锥的外接球的表面积为（ ）‎ A． ‎ B． C． D．‎ 第Ⅱ卷 二．填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案写在答题卷上）‎ ‎13．设x，y满足约束条件，则目标函数z＝2x＋y的最大值为_______．‎ ‎14．若直线（，）经过圆的圆心，则的最小值为___________．‎ ‎15．已知抛物线的准线与双曲线交于两点，点为抛物线的交点，若为正三角形，则双曲线的离心率是_______．‎ ‎16．已知直线上总存在点，使得过点作的圆：的两条切线互相垂直，则实数的取值范围是_______．‎ 三．解答题（本题共6个大题，共70分．解答应写出必要的文字说明．证明过程或演算步骤，请把答案写在答题卷上）‎ ‎17．（10分）在直角坐标系中，直线l的参数方程为（t为参数），‎ 在极坐标系（与直角坐标系取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，圆C的方程为．‎ ‎（1）求圆C的直角坐标方程；‎ ‎（2）设圆C与直线交于点A，B，若点P的坐标为，求．‎ ‎18．（12分）已知函数，不等式的解集为．‎ ‎（1）求实数m的值；‎ ‎（2）若关于x的不等式恒成立，求实数的取值范围．‎ ‎19．（12分）汽车尾气中含有一氧化碳(CO)，碳氢化合物(HC)等污染物，是环境污染的主要因素之一，汽车在使用若干年之后排放的尾气中的污染物会出现递增的现象，所以国家根据机动车使用和安全技术、排放检验状况，对达到报废标准的机动车实施强制报废．某环保组织为了解公众对机动车强制报废标准的了解情况，随机调查了100人，‎ 所得数据制成如下列联表：‎ ‎ ‎ ‎（1）若从这100人中任选1人，选到了解机动车强制报废标准的人的概率为，问是否有95%的把握认为“对机动车强制报废标准是否了解与性别有关”？‎ ‎（2）该环保组织从相关部门获得某型号汽车的使用年限与排放的尾气中CO浓度的数据，并制成如上图所示的折线图，若该型号汽车的使用年限不超过15年，可近似认为排放的尾气中CO浓度y%与使用年限t线性相关，试确定y关于t的回归方程，并预测该型号的汽车使用12年排放尾气中的CO浓度是使用4年的多少倍．‎ 附：K2＝(n＝a＋b＋c＋d)，‎ 参考公式：用最小二乘法求线性回归方程系数公式：，，‎ ‎20．（12分）如图所示，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，沿对角线BD把△ABD折起，使点A在平面BCD上的射影E落在BC上．‎ ‎（1）求证：平面ACD⊥平面ABC；‎ ‎（2）求三棱锥A－BCD的体积．‎ ‎21．（12分）已知椭圆的离心率为，且过点．‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）若过点且斜率为的直线与椭圆相交于不同的两点，试问在轴上是否存在点，使是与无关的常数？若存在，求出点 的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎22．（12分）已知函数，其中．‎ ‎（1）求的单调区间；‎ ‎（2）若在上存在，使得成立，求的取值范围．‎ ‎福安市第六中学2018-2019高二下学期第一次月考试卷 文科数学答案 C B B A B A B A D B C A ‎13．3 14．4 15． 16．‎ ‎17．【答案】（1）；（2）．‎ ‎【解析】（1）由，得，‎ 即．‎ ‎（2）将的参数方程代入圆的直角坐标方程，得，‎ 即，，‎ 设点，分别对应参数，，恰为上述方程的根．‎ 则，，．‎ ‎18．【答案】（1）m=3；（2）．‎ ‎【解析】（1）∵，∴不等式，即，‎ ‎∴，而不等式的解集为（2，4），‎ ‎∴且m+1=4，解得：m=3．‎ ‎（2）关于x的不等式|x﹣a|≥f（x）恒成立⇔关于x的不等式|x﹣a|≥3﹣|x﹣3|恒成立 ‎⇔|x﹣a|+|x﹣3|≥3恒成立⇔|a﹣3|≥3恒成立，由或，‎ 解得：．‎ ‎19．【答案】（1）有95%的把握认为；（2）4．2倍．‎ ‎【解析】（1）设“从100人中任选1人，选到了解机动车强制报废标准的人”为事件A，‎ 由已知得P(A)＝＝，所以a＝25，b＝25，p＝40，q＝60．‎ K2的观测值k＝≈4．167>3．841，‎ 故有95%的把握认为“对机动车强制报废标准是否了解与性别有关”．‎ ‎（2）由折线图中所给数据计算，得t＝×(2＋4＋6＋8＋10)＝6，‎ y＝×(0．2＋0．2＋0．4＋0．6＋0．7)＝0．42，‎ 故＝＝0．07，＝0．42－0．07×6＝0，所以所求回归方程为＝0．07t．‎ 故预测该型号的汽车使用12年排放尾气中的CO浓度为0．84%，‎ 因为使用4年排放尾气中的CO浓度为0．2%，所以预测该型号的汽车使用12年排放尾气中的CO浓度是使用4年的4．2倍．‎ ‎20．【答案】（1）证明见解析；（2）VA－BCD＝．‎ ‎【解析】（1）证明 ∵AE⊥平面BCD，∴AE⊥CD．‎ 又BC⊥CD，且AE∩BC＝E，∴CD⊥平面ABC．‎ 又CD⊂平面ACD，∴平面ACD⊥平面ABC．‎ ‎（2）解　由（1）知，CD⊥平面ABC，‎ 又AB⊂平面ABC，∴CD⊥AB．又AB⊥AD，CD∩AD＝D，‎ ‎∴AB⊥平面ACD．∴VA－BCD＝VB－ACD＝·S△ACD·AB．‎ 又在△ACD中，AC⊥CD，AD＝BC＝4，AB＝CD＝3，‎ ‎∴AC＝＝＝，∴VA－BCD＝×××3×3＝．‎ ‎21．【答案】（1）椭圆方程：；（2）存在，M（）．‎ ‎【解析】（1）∵椭圆离心率为，∴，∴．‎ 又椭圆过点（，1），代入椭圆方程，得．‎ 所以．∴椭圆方程为，即．‎ ‎（2）在x轴上存在点M，使是与K无关的常数．‎ 证明：假设在x轴上存在点M（m，0），使是与k无关的常数，‎ ‎∵直线L过点C（-1，0）且斜率为K，∴L方程为，‎ 由，得．‎ 设，则，‎ ‎∵‎ ‎∴‎ ‎=‎ ‎=‎ ‎=‎ ‎=．‎ 设常数为t，则．‎ 整理得对任意的k恒成立，‎ 解得，‎ 即在x轴上存在点M（），使是与K无关的常数．‎ ‎22．【答案】（1）见解析；（2）．‎ ‎【解析】（1）．，，‎ 当时，在上在上单调递增；‎ 当时，在上；在上；‎ 所以在上单调递减，在上单调递增．‎ 综上所述，当时，的单调递增区间为；当时，的单调递减区间为，单调递增区间为．‎ ‎（2）若在上存在，使得成立，则在上的最小值小于0．‎ ‎①当，即时，由（1）可知在上单调递增，‎ 在上的最小值为，由，可得；‎ ‎②当，即时，由（1）可知在上单调递减，‎ 在上的最小值为，由，可得；‎ ‎③当，即时，由（1）可知在上单调递减，‎ 在上单调递增，在上的最小值为，‎ 因为，所以，即，‎ 即，不满足题意，舍去．‎ 综上所述，实数的取值范围为．‎