高考数学专题复习：回归分析的基本思想及其初步应用(二)

高考数学专题复习：回归分析的基本思想及其初步应用(二)

第一章 1.1 回归分析的基本思想及其初步应用(二) 一、选择题 1、某产品的广告费用 x 与销售额 y 的统计数据如下表： 广告费用 x(万元) 4 2 3 5 销售额 y(万元) 49 26 39 54 根据上表可得回归方程 ＝ x＋ 中的 为 9.4，据此模型预报广告费用为 6 万元是销售额为(　　) A．63.6 万元 B．65.5 万元 C．67.7 万元 D．72.0 万元 2、若 x，y 具有相关关系，且得到一组散点图大致分布在一条直线的附近，则所得的回归直线是指(　　) A．经过散点图上两点的直线 B．经过散点图上最多的点的直线 C．与各个散点的偏差和最小的直线 D．与各个散点的偏差的平方和最小的直线 3、某考察团对全国 10 大城市进行职工人均工资水平 x(千元)与居民人均消费水平 y(千元)统计调查， y 与 x 具有相关关系，回归方程为 ＝0.66x＋1.562，若某城市居民人均消费水平为 7.675 千元，估计该城市 人均工资收入的百分比约为(　　) A．83% B．72% C．67% D．66% 4、某商品销售量 y(件)与销售价格 x(元/件)负相关，则其回归方程可能是(　　) A． ＝－10x＋200 B． ＝10x＋200 C． ＝－10x－200 D． ＝10x－200 5、设有一个回归方程为 ＝3－5x，变量 x 增加一个单位时(　　) A．y 平均增加 3 个单位 B．y 平均减少 5 个单位 C．y 平均增加 5 个单位 D．y 平均减少 3 个单位 二、填空题 6、下列说法中正确的是________(填序号)． ①回归分析就是研究两个相关事件的独立性；②回归模型都是确定性的函数；③回归模型都是线性的； ④回归分析的第一步是画散点图或求相关系数；⑤回归分析就是通过分析、判断，确定相关变量之间的内 在的关系的一种统计方法． 7、根据统计资料，我国能源生产自 1986 年以来发展很快．下面是我国能源生产总量(单位：亿吨标 准煤)的几个统计数据： 年份 1986 1991 1996 2001 产量 8.6 10.4 12.9 16.1 根据有关专家预测，到 2010 年我国能源生产总量将达到 21.7 亿吨左右，则专家所选择的回归模型是 下列的四种模型中的哪一种________．(填序号) ① ＝ x＋ ( ≠0)； ②y＝ax2＋bx＋c(a≠0)； ③y＝ax(a>0 且 a≠1)； ④y＝logax(a>0 且 a≠1)． 8、某种产品的广告费支出 x 与销售额 y 之间有下表关系，现在知道其中一个数据弄错了，则最可能 错的数据是__________． x/万元 2 4 5 6 8 y/万元 30 40 60 50 70 三、解答题 9、某种书每册的成本费 y(元)与印刷册数 x(千册)有关，经统计得到数据如下： x 1 2 3 5 10 20 30 50 100 200 y 10.15 5.52 4.08 2.85 2.11 1.62 1.41 1.30 1.21 1.15 检验每册书的成本费 y 与印刷册数的倒数1 x之间是否具有线性相关关系？如有，求出 y 对 x 的线性回归 方程． 10、测得 10 对某国父子身高(单位：英寸)如下： 父亲身高(x) 60 62 64 65 66 67 68 70 72 74 儿子身高(y) 63.6 65.2 66 65.5 66.9 67.1 67.4 68.3 70.1 70 (1)对变量 y 与 x 进行相关性检验； (2)如果 y 与 x 之间具有线性相关关系，求线性回归方程； (3)如果父亲的身高为 73 英寸，估计儿子的身高． 11、在某化学实验中，测得如下表所示的 6 对数据，其中 x(单位：min)表示化学反应进行的时间，y(单 位：mg)表示未转化物质的质量． x/min 1 2 3 4 5 6 y/mg 39.8 32.2 25.4 20.3 16.2 13.3 (1)设 y 与 x 之间具有关系 y＝cdx，试根据测量数据估计 c 和 d 的值(精确到 0.001)； (2)估计化学反应进行到 10 min 时未转化物质的质量(精确到 0.1)． 12、假设学生在初一和初二数学成绩是线性相关的．若 10 个学生初一(x)和初二(y)的数学分数如下： x 74 71 72 68 76 73 67 70 65 74 y 76 75 71 70 76 79 65 77 62 72 试求初一和初二数学分数间的线性回归方程． 以下是答案 一、选择题 1、B　[由题意可知x＝3.5，y＝42， 则 42＝9.4×3.5＋ ， ＝9.1， ＝9.4×6＋9.1＝65.5，答案应选 B.] 2、D 3、A　[当 ＝7.675 时，x≈9.262， ∴估计该城市人均消费额占人均收入百分比约 7.675÷9.262≈0.83.] 4、A　[∵负相关，∴ <0，再由问题的实际意义排除即可．] 5、B 二、填空题 6、④⑤ 解析　回归分析就是研究两个事件的相关性；回归模型是需要通过散点图模拟的；回归模型有线性和 非线性之分． 7、① 8、(6,50)　 三、解答题 9、解　把1 x置换为 z，则有 z＝1 x， 从而 z 与 y 的数据为 z 1 0.5 0.333 0.2 0.1 0.05 0.033 0.02 0.01 0.005 y 10.15 5.52 4.08 2.85 2.11 1.62 1.41 1.30 1.21 1.15 可作出散点图，从图可看出，变换后的样本点分布在一条直线的附近，因此可以用线性回归方程来拟 合． z＝ 1 10×(1＋0.5＋0.333＋0.2＋0.1＋0.05＋0.033＋0.02＋0.01＋0.005)＝0.225 1， y＝ 1 10×(10.15＋5.52＋4.08＋…＋1.15)＝3.14， ∑ 10 i＝1z2i＝12＋0.52＋0.3332＋…＋0.012＋0.0052≈1.415， ∑ 10 i＝1y2i＝10.152＋5.522＋…＋1.212＋1.152 ＝171.803， ∑ 10 i＝1ziyi＝1×10.15＋0.5×5.52＋…＋0.005×1.15 ＝15.221 02， 所以 ＝ ∑ 10 i＝1ziyi－10z y ∑ 10 i＝1z2i－10z2 ≈8.976， ＝y－ z＝3.14－8.976×0.225 1≈1.120， 所以所求的 z 与 y 的线性回归方程为 ＝8.976z＋1.120. 又因为 z＝1 x，所以 ＝8.976 x ＋1.120. 10、解　(1)x＝66.8，y＝67.01， i＝1x2i＝44 794， i＝1y2i＝44 941.93，x y＝4 476.27， x2＝4 462.24，y2＝4 490.34， i＝1xiyi＝44 842.4. 所以 r＝ ∑10 i＝1xiyi－10x y (∑10 i＝1x2i－10x2)(∑10 i＝1y2i－10y2) ＝ 44 842.4－10 × 4 476.27 (44 794－44 622.4)(44 941.93－44 903.4) ＝ 79.7 6 611.748 ≈ 79.7 81.31≈0.980 2. 由于 r 的值非常接近于 1， 所以 y 与 x 之间具有线性相关关系． (2)设回归方程为 ＝ x＋ . 由 ＝ ∑10 i＝1xiyi－10x y ∑10 i＝1x2i－10x2 ＝44 842.4－44 762.7 44 794－44 622.4 ＝ 79.7 171.6≈0.464 5， ＝y－ x＝67.01－0.464 5×66.8≈35.98. 故所求的线性回归方程为 ＝0.464 5x＋35.98. (3)当 x＝73 时， ＝0.464 5×73＋35.98≈69.9，所以当父亲身高为 73 英寸时，估计儿子的身高约为 69.9 英寸． 11、解　(1)在 y＝cdx 两边取自然对数， 令 ln y＝z，ln c＝a， ln d＝b，则 z＝a＋bx.由已知数据，得 x 1 2 3 4 5 6 y 39.8 32.2 25.4 20.3 16.2 13.3 z 3.684 3.472 3.235 3.011 2.785 2.588 由公式得 a≈3.905 5，b≈－0.221 9，则线性回归方程为 ＝3.905 5－0.221 9x. 而 ln c＝3.905 5，ln d＝－0.221 9，故 c≈49.681，d≈0.801， 所以 c、d 的估计值分别为 49.681，0.801. (2)当 x＝10 时，由(1)所得公式可得 y≈5.4(mg)． 12、解　因为x＝71， 10 ∑ i＝1 x2i＝50 520，y＝72.3， 10 ∑ i＝1 xiyi＝51 467， 所以， ＝51 467－10 × 71 × 72.3 50 520－10 × 712 ≈1.218 2. ＝72.3－1.218 2×71＝－14.192 2，线性回归方程是： ＝1.218 2x－14.192 2.