浙江专用2020版高考数学一轮复习（练习）专题8立体几何与空间向量 第53练 表面积与体积

浙江专用2020版高考数学一轮复习（练习）专题8立体几何与空间向量 第53练 表面积与体积

第53练 表面积与体积 ‎[基础保分练]‎ ‎1.母线长为1的圆锥的侧面展开图的圆心角等于π，则该圆锥的体积为(　　)‎ A.πB.πC.πD.π ‎2.用平面α截球O所得圆的半径为1，球心O到平面α的距离为，则此球的体积为(　　)‎ A.π B.4π C.4π D.6π ‎3.如图所示，已知三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱长均为1，且AA1⊥底面ABC，则三棱锥B1－ABC1的体积为(　　)‎ A. B. C. D. ‎4.(2019·绍兴模拟)如图是由半球和圆柱组合而成的几何体的三视图，则该几何体的体积为(　　)‎ A.B.C.D. ‎5.如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为(　　)‎ A.20πB.24πC.28πD.32π ‎6.中国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前344年商鞅督造一种标准量器——商鞅铜方升，其三视图如图所示(单位：寸)，若π取3，其体积为13.5(立方寸)，则图中的x为(　　)‎ A.2.4B.1.8C.1.6D.1.2‎ ‎7.在梯形ABCD中，∠ABC＝，AD∥BC，BC＝2AD＝2AB＝2.将梯形ABCD绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为(　　)‎ A.B.C.D.2π ‎8.(2017·浙江)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积(单位：cm3)是(　　)‎ A.＋1 B.＋3‎ C.＋1 D.＋3‎ ‎9.(2019·余姚中学模拟)《九章算术》卷5《商功》记载一个问题“今有圆堡瑽，周四丈八尺，高一丈一尺.问积几何？答曰：二千一百一十二尺.术曰：周自相乘，以高乘之，十二而一”.这里所说的圆堡瑽就是圆柱体，它的体积为“周自相乘，以高乘之，十二而一”.就是说：圆堡瑽(圆柱体)的体积为V＝×(底面圆的周长的平方×高)，则由此可推得圆周率π的取值为__________.‎ ‎10.(2019·金华十校联考)在正三棱锥S—ABC中，M是SC的中点，且AM⊥SB，底面边长AB＝2，则正三棱锥S—ABC的体积为__________，其外接球的表面积为________.‎ ‎[能力提升练]‎ ‎1.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是(　　)‎ A.28＋6 B.30＋6 C.56＋12 D.60＋12 ‎2.(2019·杭州二中模拟)我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题，题中描绘的器具的三视图如图所示(单位：寸).若在某天某地下雨天时利用该器具接的雨水的深度为6寸，则这天该地的平均降雨量约为(注：平均降雨量等于器具中积水除以器具口面积.参考公式：V＝(S上＋S下＋)h，其中S上，S下分别表示上、下底面的面积，h为高.)(　　)‎ A.2寸B.3寸C.4寸D.5寸 ‎3.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为(　　)‎ A.8－2π B.8－π C.8－ D.8－ ‎4.(2019·宁波期末)已知三棱锥P—ABC的所有顶点都在球O的球面上，△ABC满足AB＝2，∠ACB＝90°，PA为球O的直径且PA＝4，则点P到底面ABC的距离为(　　)‎ A.B.2C.D.2 ‎5.(2018·全国Ⅱ)已知圆锥的顶点为S，母线SA，SB所成角的余弦值为，SA 与圆锥底面所成角为45°，若△SAB的面积为5，则该圆锥的侧面积为________.‎ ‎6.已知正四面体P－ABC的棱长为2，若M，N分别是PA，BC的中点，则三棱锥P－BMN的体积为________.‎ 答案精析 基础保分练 ‎1．C　2.B　3.A　4.B　5.C　6.D　7.C　8.A　9.3　10.　12π 能力提升练 ‎1．B　[由三视图可知，该三棱锥的直观图如图所示，‎ 其中AE⊥平面BCD，CD⊥BD，且CD＝4，BD＝5，BE＝2，ED＝3，AE＝4.‎ ‎∵AE＝4，ED＝3，‎ ‎∴AD＝5.‎ 又CD⊥BD，CD⊥AE，‎ BD，AE⊂平面ABD，BD∩AE＝E，‎ ‎∴CD⊥平面ABD，又AD⊂平面ABD，故CD⊥AD，∴AC＝且S△ACD＝10.‎ 在Rt△ABE中，AE＝4，BE＝2，‎ 故AB＝2.‎ 在Rt△BCD中，BD＝5，CD＝4，‎ 故S△BCD＝10，且BC＝.‎ 在△ABD中，AE＝4，BD＝5，‎ 故S△ABD＝10.‎ 在△ABC中，AB＝2，BC＝AC＝，‎ 则AB边上的高h＝6，‎ 故S△ABC＝×2×6＝6.‎ 因此，该三棱锥的表面积S＝30＋6.]‎ ‎2．A　[如图，由三视图可知，天池盆上底面半径为12寸，下底面半径为6寸，高为12寸，‎ ‎∵积水深6寸，‎ ‎∴水面半径为(12＋6)＝9(寸)，‎ 则盆中水的体积为π×6(62＋92＋6×9)＝342π(立方寸)，‎ ‎∴平均降雨量等于≈2(寸)，‎ 故选A.]‎ ‎3．B　[由三视图可知，这是一个正方体切掉两个圆柱后得到的几何体，如图，‎ 该几何体的高为2，体积V＝23－×π×12×2×2＝8－π.]‎ ‎4．B　[取AB的中点O1，连接OO1，如图，在△ABC中，AB＝2，∠ACB＝90°，‎ 所以△ABC所在小圆O1是以AB为直径的圆，所以O1A＝，且OO1⊥AO1，又球O的直径PA＝4，所以OA＝2，所以OO1＝＝，且OO1⊥底面ABC，所以点P到平面ABC的距离为PB＝2OO1＝2.]‎ ‎5．40π 解析　如图，‎ ‎∵SA与底面所成角为45°，‎ ‎∴△SAO为等腰直角三角形．‎ 设OA＝r，则SO＝r，SA＝SB＝r.‎ 在△SAB中，cos∠ASB＝，‎ ‎∴sin∠ASB＝，‎ ‎∴S△SAB＝SA·SB·sin∠ASB ‎＝(r)2·＝5，‎ 解得r＝2，‎ ‎∴SA＝r＝4，即母线长l＝4，‎ ‎∴S圆锥侧＝πr·l＝π×2×4＝40π.‎ ‎6. 解析　连接AN，作MD⊥PN，交PN于D，‎ ‎∵正四面体P－ABC的棱长为2，M，N分别是PA，BC的中点，‎ ‎∴AN⊥BC，PN⊥BC，MN⊥AP，且AN＝PN＝，‎ ‎∵AN∩PN＝N，AN，PN⊂平面PNA，‎ ‎∴BC⊥平面PNA，‎ ‎∵MD⊂平面PNA，∴MD⊥BC，‎ ‎∵BC∩PN＝N，BC，PN⊂平面PBN，‎ ‎∴MD⊥平面PBN，MN＝＝，‎ ‎∵PN·MD＝PM·MN，‎ ‎∴MD＝＝＝，‎ ‎∴三棱锥P－BMN的体积 VP－BMN＝VM－PBN＝×S△PBN×MD ‎＝××1××＝.‎