2020届二轮复习(文)第3部分策略11

2020届二轮复习(文)第3部分策略11

‎1．函数与方程思想 函数思想 方程思想 函数思想的实质是抛开所研究对象的非数学特征，用联系和变化的观点提出数学对象，抽象其数学特征，建立各变量之间固有的函数关系，通过函数形式，利用函数的有关性质，使问题得到解决.‎ 方程思想的实质就是将所求的量设成未知数，根据题中的等量关系，列方程(组)，通过解方程(组)或对方程(组)进行研究，以求得问题的解决.‎ 函数与方程思想在一定的条件下是可以相互转化的，是相辅相成的，函数思想重在对问题进行动态的研究，方程思想则是在动中求解，研究运动中的等量关系.‎ 应用1　目标函数法求最值 ‎【典例1】　(1)在平面直角坐标系中，已知点A(－1,0)，B(2,0)，E，F是y轴上的两个动点，且||＝2，则·的最小值为________．‎ ‎(2)已知斜率为1的直线l与椭圆＋y2＝1相交于A，B两点，则|AB|的最大值为________．‎ ‎(1)－3　(2)　[(1)∵E，F是y轴上的两个动点，且||＝2，不妨设E(0，t)，F(0，t＋2)，则＝(0，t)－(－1,0)＝(1，t)．‎ ＝(0，t＋2)－(2,0)＝(－2，t＋2)，‎ ·＝t2＋2t－2.‎ 令f(t)＝·＝(t＋1)2－3≥－3，当且仅当t＝－1时取等号．即·的最小值为－3.‎ ‎(2)设A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，直线l的方程为y＝x＋t，由消去y，得5x2＋8tx＋4(t2－1)＝0.则x1＋x2＝－t，x1x2＝，∴|AB|＝|x1－x2|‎ ‎＝· ‎＝· ‎＝，‎ 当t＝0时，|AB|max＝.]‎ 目标函数法即是把所谓目标写成函数形式，然后再求其值域、最值的方法.‎ (1)有关长度、面积、体积以及数量积等的计算经常采用目标函数法.‎ (2)求值域、最值的方法，一般涉及换元法、配方法和均值不等式法以及单调性法.‎ ‎【对点训练1】　已知在半径为2的扇形AOB中，∠AOB＝120°，C是OB的中点，P为弧AB上任意一点，且＝λ＋μ，则λ＋μ的最大值为________．‎ 　[建立如图所示的平面直角坐标系，则O(0,0)，A(2,0)，C，则＝(2,0)，＝，设P(2cos θ，2sin θ)，则λ(2,0)＋μ＝(2cos θ，2sin θ)，即解得 则λ＋μ＝sin θ＋cos θ＝sin(θ＋φ)，其中tan φ＝，据此可知，当sin(θ＋φ)＝1时，λ＋μ取得最大值.]‎ ‎【对点训练2】　一个直角三角形的三个顶点分别在底面棱长为2的正三棱柱的侧棱上，则该直角三角形斜边的最小值为________．‎ ‎2　[如图，三棱柱ABCA1B‎1C1为正三棱柱．AB＝2，三角形ADE为直角三角形，∠ADE＝90°.‎ 设BD＝x，CE＝y，‎ 则AD2＝4＋x2，AE2＝4＋y2，‎ ED2＝4＋(y－x)2.‎ ‎∵AE2＝AD2＋DE2，‎ ‎∴4＋y2＝4＋x2＋4＋(y－x)2，‎ 解得y＝x＋.‎ ‎∵AE2＝4＋y2＝4＋2≥4＋(2)2＝12.‎ ‎∴AE≥2，当且仅当x＝时取等号．‎ 即直角三角形斜边的最小值为2.]‎ 应用2　分离参数法求参数范围 ‎【典例2】　(1)若方程cos2x－sin x＋a＝0在上有解，则实数a的取值范围为________．‎ ‎(2)已知函数f(x)＝x－，g(x)＝x2－2ax＋4，若任意x1∈[0,1]，存在x2∈[1,2]，使f(x1)≥g(x2)，则实数a的取值范围是________．‎ ‎(1)(－1,1]　(2)　[(1)由cos2x－sin x＋a＝0，得a＝sin2x＋sin x－1.‎ 问题变成求函数a＝sin2x＋sin x－1在x∈上的值域问题．‎ ‎∵a＝2－，而00.‎ ‎∴f(x)在[0,1]上单调递增．‎ ‎∴f(x)min＝f(0)＝－1，∴存在x2∈[1,2]使－1≥x2－2ax＋4，即‎2a≥x＋在[1,2]上有解，∴‎2a≥min，易知y＝x＋在(0，]上递减，∴y＝x＋在[1,2]上递减．∴min＝2＋＝，∴‎2a≥，a≥，∴a的取值范围为.]‎ (1)在求参数的取值范围时，应该先建立关于参数的等式或不等式，然后利用函数的定义域、值域或解不等式求解.在对式子变形的过程中，应优先选择分离参数的方法.‎ (2)①对于方程有解、不等式的恒成立问题或存在性问题，往往可以分离参数，然后再构造函数，把问题转化成求函数的值域或最值.‎ ‎②不等式有解、恒成立求参数的方法：g(a)>f(x)恒成立，则g(a)>f(x)max.‎ g(a)f(x)有解，则g(a)>f(x)min，‎ g(a)

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