2019-2020学年福建省三明第一中学高二上学期期中考试数学试题（解析版）

2019-2020学年福建省三明第一中学高二上学期期中考试数学试题（解析版）

‎2019-2020学年福建省三明第一中学高二上学期期中考试数学试题 一、单选题 ‎1．的焦点到准线的距离为（ ）‎ A． B．1 C．2 D．4‎ ‎【答案】B ‎【解析】利用抛物线的方程求出即可得到结果．‎ ‎【详解】‎ 解： ，‎ 根据抛物线标准方程的几何意义，可知抛物线的焦点到准线的距离为：．‎ 故选：．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查抛物线的简单性质的应用，属于基础题．‎ ‎2．若函数，则（ ）‎ A．0 B．1 C． D．3‎ ‎【答案】B ‎【解析】可先求出导函数，再代入求出的值即可．‎ ‎【详解】‎ 解：‎ 故选：‎ ‎【点睛】‎ 考查基本初等函数的求导计算，以及函数求值，属于基础题．‎ ‎3．如图，空间四面体的每条边都等于1，点，分别是，的中点，则等于（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】试题分析：∵空间四面体D一ABC的每条边都等于1，点E，F分别是AB，AD的中点 ‎【考点】平面向量数量积的运算 ‎4．条件，条件，则是的（ ）‎ A．充分但不必要条件 B．必要但不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】由已知中条件，条件，我们可以求出对应的集合，，然后分析两个集合间的包含关系，进而根据互为逆否的两个命题真假性一致得到答案．‎ ‎【详解】‎ 解：条件，‎ ‎， ‎ 条件，‎ ‎， ‎ 是的充分不必要条件 根据互为逆否命题的两个命题真假性一致可得是的充分不必要条件 故选：．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查两命题之间的关系，属于基础题.‎ ‎5．求曲线在点处的切线方程 A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】先对函数求导，求得，，再由点斜式求得切线方程。‎ ‎【详解】‎ ‎，所以，，所以切线方程为，化简得，选A。‎ ‎【点睛】‎ 本题考查导数的几何意义，求切线的方程即函数在处的切线方程为。‎ ‎6．已知，若，则实数的值为 （　　）‎ A．-2 B． C． D．2‎ ‎【答案】D ‎【解析】写出的坐标，利用两个向量垂直的坐标运算可得答案.‎ ‎【详解】‎ ‎,‎ 若，则，‎ 解得，‎ 故选：D ‎【点睛】‎ 本题考查空间两个向量垂直的坐标运算，属于基础题.‎ ‎7．设双曲线的左焦点为,离心率是，‎ 是双曲线渐近线上的点，且(为原点)，若，则双曲线的方程为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】先根据离心率得渐近线方程，再根据，用c表示OM,MF，最后根据面积得结果.‎ ‎【详解】‎ 因为离心率是，所以，即渐近线方程为，‎ 不妨设M在上，则由得，‎ 因此，双曲线的方程为，选D.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查双曲线渐近线、离心率以及标准方程，考查基本分析求解能力，属基础题.‎ ‎8．在空间直角坐标系中，四面体的顶点坐标分别是， ， ， .则该四面体的体积（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】由图知： 选C.‎ ‎9．已知椭圆，点为左焦点，点为下顶点，平行于的直线交椭圆于两点，且的中点为，则椭圆的离心率为（）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】设A（，），B（，），因为A、B在椭圆上将两式相减可得直线AB的斜率与直线OM的斜率的关系，建立关于a，b，c的方程，从而求出所求；‎ ‎【详解】‎ 设A（，），B（，），又的中点为，则 又因为A、B在椭圆上 所以 两式相减，得：‎ ‎∵,‎ ‎∴，∴，平方可得, ∴=,，‎ 故选A.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了点差法求斜率，以及椭圆的几何性质，同时考查了运算求解的能力，属于中档题．‎ ‎10．如图1,在等腰中,,分别是上的点,,为的中点,将沿折起,得到如图2所示的四棱锥,若平面,则与平面所成角的正弦值等于( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】试题分析：过D作线段BC的垂线,垂足为F,则平面,所以为与平面所成角,又因为,所以 ‎【考点】线面夹角 ‎ 二、多选题 ‎11．下面选项中错误的有（ ）‎ A．命题“若，则”的否命题为：“若，则”‎ B．“”是“”的充分不必要条件 C．命题“，使得”的否定是“，均有”‎ D．命题“若，则”的逆否命题为真命题 ‎【答案】ABC ‎【解析】根据原命题与它的否命题的关系判断；‎ 根据充分与必要条件的定义判断；‎ 根据特称量词命题的否定是全称命题判断；‎ 根据互为逆否命题的两个命题同真假可判断；‎ ‎【详解】‎ 解：对于，命题“若，则”的否命题为：“若，则”‎ 错误；‎ 对于，由“”是得不到“”，即“”是“”不充分条件，‎ 由 “”可知“”，即“”是“”必要条件，故“”是“”必要不充分条件，错误；‎ 对于，命题“，使得”的否定是“，使得”， 错误；‎ 对于，命题“若，则”为真命题，根据互为逆否命题的两个命题同真假，可知，命题“若，则”的逆否命题为真命题，正确；‎ 故选：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查命题的真假的判断与应用，考查四种命题的逆否关系，命题的否定以及充要条件的判断，是基本知识的综合应用．‎ ‎12．在四面体中，以上说法正确的有（ ）‎ A．若，则可知 B．若Q为的重心，则 C．若，，则 D．若四面体各棱长都为2，M，N分别为，的中点，则 ‎【答案】ABC ‎【解析】根据向量的线性运算与数量积一一判断即可.‎ ‎【详解】‎ 解：对于，，，‎ ‎ ，，即，故正确；‎ 对于，若Q为的重心，则，‎ 即，故正确；‎ 对于，若，，则 故正确； ‎ 对于，‎ 故错误.‎ 故选：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查向量的线性运算，向量的数量积及利用向量的数量积求向量的模，属于中档题.‎ 三、填空题 ‎13．如图，在直三棱柱中，若，，，则________.（用表示）‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】根据向量减法以及加法平行四边形法则可得结果.‎ ‎【详解】‎ ‎.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查向量减法以及加法平行四边形法则，考查基本求解能力，属基础题.‎ ‎14．与双曲线共焦点，且过点的椭圆方程为________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】先根据双曲线的标准方程，求得焦点坐标，根据点在椭圆上，根据定义求出，从而求出，则椭圆方程可得．‎ ‎【详解】‎ 解：由题设知：‎ 所以其焦点为， 焦点在轴上，因为椭圆与双曲线同焦点，‎ 故设椭圆方程为 又椭圆过点 解得，，‎ ‎ 与双曲线共焦点，且过点的椭圆方程为，‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】‎ 考查了学生对双曲线和椭圆基本知识的掌握，运用椭圆的定义求出是解题的关键，属于基础题．‎ ‎15．如图，三棱锥中，，，两两垂直，且，，的长度都是2，则点A到平面的距离为___________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】取中点，连接，，则平面．过作，则平面，所以为点到平面的距离，由等面积可得．‎ ‎【详解】‎ 解：取中点，连接，，则平面．‎ 过作，则平面，‎ 所以为点到平面的距离．‎ 因为，，是两两垂直且长度均为2，‎ 所以，，，‎ 所以由等面积可得．‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查点到平面的距离，考查学生的计算能力，由等面积确定是关键，属于基础题．‎ ‎16．已知，是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且，则椭圆和双曲线的离心率乘积的最小值为___________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】设椭圆的长半轴长为，双曲线的半实轴长，焦距．由椭圆及双曲线定义用，表示出，，在△中根据余弦定理可得到，与的关系，转化为离心率，再由基本不等式得结论．‎ ‎【详解】‎ 解：如图，设椭圆的长半轴长为，双曲线的半实轴长为，‎ 则根据椭圆及双曲线的定义：‎ ‎，，‎ ‎，，‎ 设，，则：‎ 在△中由余弦定理得，‎ ‎，‎ 化简得：，‎ 即，‎ 又，‎ ‎，即，‎ 即椭圆和双曲线的离心率乘积的最小值为．‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查圆锥曲线的共同特征，考查通过椭圆与双曲线的定义求焦点三角形三边长，解决本题的关键是根据所得出的条件灵活变形，求出焦点三角形的边长，属于中档题．‎ 四、解答题 ‎17．已知p:对任意q:存在 若“p或q”为真，“p且q”为假.求实数的取值范围.‎ ‎【答案】－1≤≤1或＞3‎ ‎【解析】试题分析：先化简 和 ，命题等价于真 假或假真，建立相应不等式组，解之得正解. ‎ 试题解析：‎ 若p真，则对任意即在上恒成立. ‎ ‎,则.若q真，则 又因为“p或q”为真，“p且q”为假，所以p,q中一个为真一个为假.‎ ‎(1)当p真q假时，有，所以－1≤≤1.‎ ‎(2)当p假q真时,有，所以＞3.‎ 综上所述,实数的取值范围为－1≤≤1或＞3.‎ ‎18．已知向量，，若向量同时满足下列三个条件：①；②；③与垂直.‎ ‎（1）求的模；‎ ‎（2）求向量的坐标.‎ ‎【答案】（1）1；（2）或.‎ ‎【解析】（1）求出的坐标，即可求出的模；‎ ‎（2）设，则由题可知，解出即可得出．‎ ‎【详解】‎ 解：（1）∵，，‎ ‎∴，‎ 所以 ；‎ ‎（2）设，则由题可知 ‎ ‎ 解得或 ‎ 所以或.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查向量的坐标运算、向量数量积运算性质、向量垂直与数量积的关系、模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．‎ ‎19．如图，三棱锥中，平面，，，E为中点.‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）求二面角的余弦值.‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）.‎ ‎【解析】（1）由已知条件推导出，平面，从而得到，再由，能证明面．‎ ‎（2）取中点，过作，连结，由已知条件推导出为二面角的平面角，由此能求出二面角的余弦值．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）∵平面，平面，∴， ‎ ‎∵，平面，平面，，‎ ‎∴平面， ‎ 又平面，∴, ‎ ‎∵，E为的中点，∴, ‎ ‎∵平面，平面，，‎ ‎∴平面； ‎ ‎（2）取的中点F，连接，则.‎ 由已知得面，过F作，M为垂足，连接，‎ 由（1）知，平面，∵平面，‎ ‎∴，‎ ‎∵，且，∴面，‎ ‎∵平面，∴，‎ 故为二面角的平面角，‎ 在中，，，‎ 所以，，， ‎ 故二面角的余弦值为； ‎ ‎【点睛】‎ 本题考查直线与平面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．‎ ‎20．已知椭圆的离心率为，以原点为圆心，椭圆的长轴为直径的圆与直线相切.‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）已知过点的动直线与椭圆的两个交点为，求的面积S的取值范围.‎ ‎【答案】（1）； （2）.‎ ‎【解析】（1）根据直线与圆相切可得，再根据离心率得，（2）设动直线方程，并联立直线和椭圆方程，利用韦达定理与弦长公式得，根据点到直线距离公式得三角形的高，代入三角形面积公式得，最后结合基本不等式求取值范围.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由离心率为,‎ 因为椭圆C的长轴为直径的圆与直线相切，‎ 所以,‎ 即椭圆的标准方程.‎ ‎（2）设动直线方程为，点,且，‎ 联立直线和椭圆方程，‎ 消元得，‎ 则，‎ 因为原点到直线距离为，‎ 则的面积，‎ 令，则,‎ 又（当且仅当时取等号），则，‎ 即的面积S的取值范围为.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查椭圆方程以及直线与椭圆位置关系，考查综合分析求解能力，属中档题.‎ ‎21．如图，在三棱锥中，已知都是边长为的等边三角形，为中点，且平面，为线段上一动点，记.‎ 当时，求异面直线与所成角的余弦值；‎ 当与平面所成角的正弦值为时，求的值.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】分析：（1）建立空间直角坐标系，设立各点坐标，根据向量数量积求向量夹角，最后根据线线角与向量夹角相等或互补得结果，（2）建立空间直角坐标系，设立各点坐标，利用方程组求平面的一个法向量，再根据向量数量积求向量夹角，最后根据线面角与向量夹角互余列等量关系，解得结果，‎ 详解：连接CE， 以分别为轴，‎ 建立如图空间直角坐标系， ‎ 则，‎ 因为F为线段AB上一动点，且，‎ 则， 所以．‎ ‎（1）当时，，，‎ 所以． ‎ ‎（2），‎ 设平面的一个法向量为=‎ 由 , 得，化简得，取 ‎ 设与平面所成角为，‎ 则.‎ 解得或（舍去），所以．‎ 点睛：利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.‎ ‎22．已知椭圆C长轴的两个顶点为A（－2，0），B（2，0），且其离心率为.‎ ‎（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；‎ ‎（Ⅱ）若N是直线x=2上不同于点B的任意一点，直线AN与椭圆C交于点Q，设直线QB与以NB为直径的圆的一个交点为M（异于点B），求证：直线NM经过定点．‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.‎ ‎【解析】试题分析：（Ⅰ）根据斜率公式，有斜率乘积等于整理即得，注意；（Ⅱ）设直线的方程，与椭圆方程组成方程组，消去，由韦达定理求点的坐标，根据直线与以为直径的圆的另一个交点为，得，从而得到直线的方程，确定恒过的定点.‎ 试题解析：(Ⅰ)设,由得 ,其中,‎ 整理得点的轨迹方程为. (4分)‎ ‎（Ⅱ）设点，则直线的方程为，‎ 解方程组，消去得，‎ 设，则，，（8分）‎ 从而，又，‎ 直线与以为直径的圆的另一个交点为，，‎ 方程为,即,过定点, (12分)‎ ‎【考点】椭圆方程，直线与椭圆的关系，定点问题.‎