专题55 正态分布-高考全攻略之备战2018年高考数学（理）考点一遍过

专题55 正态分布-高考全攻略之备战2018年高考数学（理）考点一遍过

利用实际问题的直方图，了解正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义.‎ 一、正态曲线 ‎1．正态曲线的定义 函数，其中实数μ和σ(σ>0)为参数，称的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线(μ是正态分布的期望，σ是正态分布的标准差)．‎ ‎2．正态曲线的特点 ‎①曲线位于轴上方，与x轴不相交；‎ ‎②曲线是单峰的，关于直线对称；‎ ‎③曲线在处达到峰值；‎ ‎④曲线与x轴之间的面积为1；‎ ‎⑤当一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移；‎ ‎⑥当μ一定时，曲线的形状由确定，越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散．‎ 二、正态分布 ‎1．正态分布的定义及表示 如果对于任何实数，随机变量X满足(即x=a，x=b，正态曲线及x轴围成的曲边梯形的面积)，则称随机变量X服从正态分布，记作．‎ ‎2．正态分布的三个常用数据 ‎①；‎ ‎②；‎ ‎③.‎ ‎【注】若，则.‎ 考向一 正态分布 关于正态分布在某个区间内取值的概率的求法：‎ ‎(1)熟记，，的值．‎ ‎(2)正态曲线关于直线对称，从而在关于对称的区间上的概率相同．‎ ‎(3).‎ ‎(4)若X服从正态分布，即，要充分利用正态曲线的对称性和曲线与x轴之间的面积为1.‎ 典例1 已知随机变量ξ服从正态分布N(0，σ2)，且P(ξ>2)=0.023，则 A．0.954 B．0.977 ‎ C．0.488 D．0.477 ‎ ‎【答案】A ‎1．设两个正态分布和的密度函数图象如图所示，则 A． B．‎ C． D．‎ 考向二 正态分布的应用 正态分布及其应用在近几年新课标高考中时常出现，主要考查正态曲线的性质(特别是对称性)，常以选择题、填空题的形式出现，难度较小；有时也会与概率统计结合，在解答题中考查．‎ 典例2 假设每天从甲地去乙地的旅客人数X是服从正态分布的随机变量．记一天中从甲地去乙地的旅客人数不超过900的概率为，则的值为 ‎(参考数据：若，则； ‎ ‎；.)‎ A．0.9544 B．0.6826‎ C．0.9974 D．0.9772‎ ‎【答案】D ‎【解析】由于随机变量X服从正态分布，故有μ=800，σ=50，则.由正态分布的对称性，可得 ‎.‎ ‎2．某钢管生产车间生产一批钢管，质检员从中抽出若干根对其直径（单位：）进行测量，得出这批钢管的直径服从正态分布.‎ ‎（1）如果钢管的直径满足为合格品，求该批钢管为合格品的概率（精确到0.01）；‎ ‎（2）根据（1）的结论，现要从40根该种钢管中任意挑选3根，求次品数的分布列和数学期望.‎ ‎（参考数据：若，则；‎ ‎；.）‎ ‎1．已知随机变量服从正态分布，且，则 A．0.6 B．0.4 ‎ C．0.3 D．0.2‎ ‎2．已知随机变量，且，则 A． B． ‎ C． D．‎ ‎3．在某次联考数学测试中，学生成绩服从正态分布，若在内的概率为0.8，则任意选取一名学生，该生成绩不高于80分的概率为 A．0.05 B．0.1 ‎ C．0.15 D．0.2‎ ‎4．已知三个正态分布密度函数（，）的图象如图所示，则 A． B．‎ C． D．‎ ‎5．某年高考中，某省10万考生在满分为150分的数学考试中，成绩分布近似服从正态分布，则分数位于区间的考生人数近似为 ‎（已知若，则；；.）‎ A．1140 B．1075 ‎ C．2280 D．2150‎ ‎6．已知随机变量～，其正态分布密度曲线如图所示，若向正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影部分的点的个数的估计值为 附：若随机变量～，则，‎ ‎，.‎ A．6038 B．6587 ‎ C．7028 D．7539‎ ‎7．若随机变量～，则有如下结论：，‎ ‎，.‎ 一班有名同学，一次数学考试的成绩服从正态分布，平均分，方差为，理论上说在分到分之间的人数约为 A． B． ‎ C． D．‎ ‎8．设随机变量服从正态分布，若，则函数没有极值点的概率是 A． B． ‎ C． D．‎ ‎9．在某项测试中，测量结果服从正态分布，若，则__________．‎ ‎10．若随机变量服从正态分布，则，‎ ‎.设，且，则__________.‎ ‎11．在某校举行的一次数学竞赛中，全体参赛学生的竞赛成绩X近似服从正态分布N（70，100）．已知成绩在90分以上（含90分）的学生有16名．‎ ‎（1）试问此次参赛的学生总数约为多少人?‎ ‎（2）若该校计划奖励竞赛成绩在80分以上（含80分）的学生，试问此次竞赛获奖励的学生约为多少人?‎ 附：.‎ ‎12．从某市的高一学生中随机抽取400名同学的体重进行统计，得到如图所示频率分布直方图.‎ ‎（1）估计从该市高一学生中随机抽取一人，体重超过的概率；‎ ‎（2）假设该市高一学生的体重服从正态分布.‎ ‎（ⅰ）利用（1）的结论估计该高一某个学生体重介于之间的概率；‎ ‎（ⅱ）从该市高一学生中随机抽取3人，记体重介于之间的人数为，利用（ⅰ）的结论，求的分布列及.‎ ‎13．某食品店为了了解气温对销售量的影响，随机记录了该店11月份中5天的日销售量 ‎（单位：千克）与该地当日最低气温（单位：）的数据，如下表：‎ x ‎2‎ ‎5‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎11‎ y ‎12‎ ‎10‎ ‎8‎ ‎8‎ ‎7‎ ‎（1）求出与的回归方程；‎ ‎（2）判断与之间是正相关还是负相关；若该地11月份某天的最低气温为，请用所求回归方程预测该店当日的销售量；‎ ‎（3）设该地11月份的日最低气温～，其中近似为样本平均数，近似为样本方差，求.‎ 附：①回归方程中，，.‎ ‎②，，若～，则，‎ ‎ .‎ ‎1．(2015年高考湖北卷)设，，这两个正态分布密度曲线如图所示．下列结论中正确的是 A． B． ‎ C．对任意正数， D．对任意正数，‎ ‎2．（2015年高考山东卷）已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布，从中随机取一件，其长度误差落在区间（3，6）内的概率为 ‎（附：若随机变量ξ服从正态分布，则，‎ ‎.）‎ A．4.56% B．13.59% ‎ C．27.18% D．31.74%‎ ‎3．(2015年高考湖南卷)在如图所示的正方形中随机投掷个点，则落入阴影部分(曲线C为正态分布的密度曲线)的点的个数的估计值为 A．2 386 B．2 718 ‎ C．3 413 D．4 772‎ 附：若X~N(μ，σ2)，则.‎ ‎4．(2017年高考新课标Ⅰ卷)为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸（单位：cm）．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布．‎ ‎（1）假设生产状态正常，记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在之外的零件数，求及的数学期望；‎ ‎（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．‎ ‎（ⅰ）试说明上述监控生产过程方法的合理性；‎ ‎（ⅱ）下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：‎ ‎9.95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.04‎ ‎10.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95‎ 经计算得，，其中为抽取的第个零件的尺寸，．‎ 用样本平均数作为的估计值，用样本标准差作为的估计值，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除之外的数据，用剩下的数据估计和（精确到0.01）．‎ 附：若随机变量服从正态分布，则，‎ ‎，．‎ ‎5．(2014年高考新课标Ⅰ卷)从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下图频率分布直方图：‎ ‎（1）求这500件产品质量指标值的样本平均值和样本方差（同一组的数据用该组区间的中点值作代表）；‎ ‎（2）由直方图可以认为，这种产品的质量指标服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差.‎ ‎（i）利用该正态分布，求；‎ ‎（ii）某用户从该企业购买了100件这种产品，记表示这100件产品中质量指标值位于区间的产品件数.利用（i）的结果，求.‎ 附：，‎ 若，则，.‎ 变式拓展 ‎1．【答案】A ‎【解析】由正态分布N(μ，σ2)的性质知，x=μ为正态分布密度函数图象的对称轴，故μ1<μ2；又σ越小，图象越高瘦，故σ1<σ2.‎ ‎【名师点评】熟练掌握正态密度曲线的性质是解决正态分布问题的关键．‎ ‎2．【答案】（1）；（2）见解析.‎ ‎1，2，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎.‎ ‎∴次品数的分布列为 ‎∴.‎ 考点冲关 ‎1．【答案】C ‎【解析】由，得P(X≥4)=0.2，‎ 由题意知正态曲线的对称轴为直线x=2，，‎ ‎∴，∴.‎ ‎2．【答案】B ‎3．【答案】B ‎【解析】，选B.‎ ‎4．【答案】D ‎【解析】正态分布密度曲线关于直线对称，且在处取得峰值，由图得， ，故，故选D.‎ ‎5．【答案】C ‎【解析】由题意可得，所以的人数为：‎ ‎，的人数为：，所以位于的人数为2280.故选C.‎ ‎6．【答案】B ‎【解析】由题意得，落入阴影部分的概率为，则落入阴影部分的点的个数的估计值为，故选B.‎ ‎7．【答案】C 故选C.‎ ‎8．【答案】C ‎【解析】由无相异实根得，因此函数没有极值点的概率是，选C.‎ ‎9．【答案】‎ ‎【解析】∵随机变量服从正态分布，∴曲线关于对称，∵，‎ ‎∴，故答案为0.6.‎ ‎10．【答案】 ‎ ‎【解析】，‎ ‎，即，故答案为.‎ ‎11．【答案】（1）696；（2）110.‎ ‎【解析】由题知参赛学生的成绩为X，因为，‎ 所以，‎ 则 ‎，‎ ‎（人）．‎ 因此，此次参赛学生的总数约为696人．‎ ‎（2）由 ‎，‎ ‎（人）．‎ 因此，此次竞赛获奖励的学生约为110人．‎ ‎【思路分析】（1）由题意首先确定正态分布中的值，然后结合正态分布的性质求解参赛人数即可；‎ ‎（2）利用（1）的结论结合正态分布图象的对称性即可确定需要奖励的学生人数．‎ ‎12．【答案】（1）；（2）（ⅰ）；（ⅱ）见解析.‎ ‎（ⅱ）因为该市高一学生总体很大，‎ 所以从该市高一学生中随机抽取3人，可以视为独立重复实验，其中体重介于之间的人数，，.‎ 所以的分布列为 所以.‎ ‎【思路分析】（1）根据频率分布直方图中小长方形面积等于对应区间概率得体重超过的频率为.（2）（ⅰ）；‎ ‎（ⅱ）因为，所以.‎ ‎13．【答案】（1）；（2）9.56（或）千克；（3）.‎ ‎∴所求的回归方程是.‎ ‎（2）由知与之间是负相关， ‎ 将代入回归方程可预测该店当日的销售量(千克).‎ ‎（或者：千克）‎ ‎ （3）由（1）知，‎ 又由，得，‎ 从而 ‎ ‎ ．‎ ‎【名师点睛】（1）回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法，只有在散点图大致呈线性时，求出的线性回归方程才有实际意义，否则，求出的线性回归方程毫无意义．根据回归方程进行预报，仅是一个预报值，而不是真实发生的值．‎ ‎（2）关于正态曲线在某个区间内取值的概率求法：‎ ‎①熟记的值．‎ ‎②充分利用正态曲线的对称性和曲线与x轴之间面积为1.‎ 直通高考 ‎1．【答案】C ‎2．【答案】B ‎【解析】用表示零件的长度，根据正态分布的性质得：‎ ‎，故选B.‎ ‎3．【答案】C ‎【解析】由题意可得，，设落入阴影部分的点的个数为n，则P=，则n=3 413，选C.‎ ‎4．【答案】（1），；（2）（i）见解析；（ii）需对当天的生产过程进行检查，的估计值为10.02，的估计值为.‎ ‎【解析】（1）抽取的一个零件的尺寸在之内的概率为0.9974，从而零件的尺寸在之外的概率为0.0026，故.‎ 因此.‎ 的数学期望为.‎ ‎（2）（i）如果生产状态正常，一个零件尺寸在之外的概率只有0.0026，一天内抽取的16个零件中，出现尺寸在之外的零件的概率只有0.0408，发生的概率很小.因此一旦发生这种情况，就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查，可见上述监控生产过程的方法是合理的.‎ ‎（ii）由，得的估计值为，的估计值为，由样本数据可以看出有一个零件的尺寸在之外，因此需对当天的生产过程进行检查.‎ 剔除之外的数据9.22，剩下数据的平均数为，‎ 因此的估计值为10.02.‎ ‎，剔除之外的数据9.22，剩下数据的样本方差为，‎ 因此的估计值为.‎ ‎【名师点睛】数学期望是离散型随机变量中重要的数学概念，反映随机变量取值的平均水平.求解离散型随机变量的分布列、数学期望时，首先要分清事件的构成与性质，确定离散型随机变量的所有取值，然后根据概率类型选择公式，计算每个变量取每个值的概率，列出对应的分布列，最后求出数学期望.正态分布是一种重要的分布，之前考过一次，尤其是正态分布的原则.‎ ‎5．【答案】（1）；（2）（i）；（ii）．‎ ‎．‎ ‎（ii）由（i）可知，一件产品的质量指标值位于区间的概率为，‎ 依题意知，‎ 所以．‎ ‎ ‎ ‎ ‎