2018届二轮复习（文）空间中的平行与垂直学案（全国通用）

2018届二轮复习（文）空间中的平行与垂直学案（全国通用）

‎【2017年高考考纲解读】‎ 高考对本内容的考查主要有：‎ ‎(1)主要考查空间概念，空间想象能力，点线面位置关系判断，表面积与体积计算等，A级要求 ‎(2)主要考查线线、线面、面面平行与垂直的证明，B级要求 ‎【重点、难点剖析】‎ ‎ 1．直线、平面平行的判定及其性质 ‎(1)线面平行的判定定理：a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α.‎ ‎(2)线面平行的性质定理：a∥α，a⊂β，α∩β＝b⇒a∥b.‎ ‎(3)面面平行的判定定理：a⊂β，b⊂β，a∩b＝P，a∥α，b∥α⇒α∥β.‎ ‎(4)面面平行的性质定理：α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b.‎ ‎2．平行关系的转化 两平面平行问题常常可以转化为直线与平面的平行，而直线与平面平行又可转化为直线与直线平行，所以要注意转化思想的应用，以下为三种平行关系的转化示意图．‎ ‎3．直线、平面垂直的判定及其性质 ‎(1)线面垂直的判定定理：m⊂α，n⊂α，m∩n＝P，l⊥m，l⊥n⇒l⊥α.‎ ‎(2)线面垂直的性质定理：a⊥α，b⊥α⇒a∥b.‎ ‎(3)面面垂直的判定定理：a⊂β，a⊥α⇒α⊥β.‎ ‎(4)面面垂直的性质定理：α⊥β，α∩β＝l，a⊂α，a⊥l⇒a⊥β.‎ ‎4．垂直关系的转化 与平行关系之间的转化类似，它们之间的转化如下示意图．‎ 在垂直的相关定理中，要特别注意记忆面面垂直的性质定理：两个平面垂直，在一个平面内垂直于它们交线的直线必垂直于另一个平面，当题目中有面面垂直的条件时，一般都要用此定理进行转化.‎ ‎【题型示例】‎ 题型一　空间几何体的认识及表面积与体积的计算 ‎【例1】 【2016高考新课标1卷】如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.若该几何体的体积是,则它的表面积是（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】A ‎ ‎【变式探究】【2016高考新课标2理数】下图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题意可知，圆柱的侧面积为，圆锥的侧面积为，圆柱的底面面积为，故该几何体的表面积为，故选C. ‎ ‎【方法技巧】空间几何体的三视图是从空间几何体的正面、左面、上面用平行投影的方法得到的三个平面投影图，因此在分析空间几何体的三视图问题时，先根据俯视图确定几何体的底面，然后根据正视图或侧视图确定几何体的侧棱与侧面的特征，调整实线和虚线所对应的棱、面的位置，再确定几何体的形状，即可得到结果．‎ ‎【举一反三】(2015·北京，5)某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是(　　)‎ A．2＋ B．4＋ C．2＋2 D．5‎ ‎【答案】　C ‎【变式探究】(1)(2014·安徽)一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积为(　　)‎ A．21＋ B．18＋ C．21 D．18‎ ‎(2)(2014·辽宁)某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为(　　)‎ A．8－2π B．8－π C．8－ D．8－ ‎【特别提醒】(1)本题主要考查空间几何体的三视图、直观图，表面积的计算．能够通过几何体的三视图还原出直观图，意在考查考生的空间想象能力，并通过对几何体的表面积计算，考查考生的运算求解能力．‎ ‎(2)本题主要考查三视图、几何体的体积等知识，意在考查考生的空间想象能力和运算求解能力．‎ ‎【答案】(1)A　(2)B ‎【解析】(1)根据几何体的三视图画出其直观图，根据直观图特征求其表面积．‎ ‎ ‎ ‎(2)直观图为棱长为2的正方体割去两个底面半径为1的圆柱，所以该几何体的体积为23－2×π×12×2×＝8－π，故选B. ‎ ‎【感悟提升】‎ ‎1．根据几何体的三视图求其表面积$来&源：ziyuanku.com与体积的三步法 ‎(1)根据给出的三视图判断该几何体的形状；‎ ‎(2)由三视图中的大小标示确定该几何体的各个度量；‎ ‎(3)套用相应的面积公式与体积公式计算求解．‎ ‎2．求解几何体的表面积及体积的技巧 ‎(1)求几何体的表面积及体积问题，熟记公式是关键所在．求三棱锥的体积，等体积转化是常用的方法，转换原则是其高易求，底面放在已知几何体的某一面上．‎ ‎(2)求不规则几何体的体积，常用分割或补形的思想，将不规则几何体转化为规则几何体以易于求解．‎ ‎【变式探究】 (2015·浙江，2)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，‎ 则该几何体的体积是(　　)‎ A．8 cm3 B．12 cm3 C. cm3 D. cm3‎ ‎【答案】　C ‎【规律方法】涉及柱、锥、台、球及其简单组合体的侧面积和体积的计算问题，要在正确理解概念的基础上，画出符合题意的图形或辅助线(面)，分析几何体的结构特征，选择合适的公式，进行计算．另外要重视空间问题平面化的思想和割补法、等积转换法的运用．WWW.ziyuanku.com ‎【变式探究】(2015·新课标全国Ⅰ，11)圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示．若该几何体的表面积为16＋20π，则r＝(　　)‎ A．1 　　　 B．2 ‎ C．4 　　　 D．8‎ ‎【答案】　B ‎【解析】　由题意知，2r·2r＋·2πr·2r＋πr2＋πr2＋·4πr2＝4r2＋5πr2＝16＋20π，解得r＝2.‎ 题型二　空间中点线面位置关系的判断 ‎【例2】 【2016高考江苏卷】(本小题满分14分)‎ 如图，在直三棱柱ABC-A1B‎1C1中，D，E分别为AB，BC的中点，点F在侧棱B1B上，且 ，.‎ 求证：（1）直线DE∥平面A1C1F；‎ ‎（2）平面B1DE⊥平面A1C1F. ‎ ‎【答案】（1）详见解析（2）详见解析WWW.ziyuanku.com ‎【举一反三】(2015·安徽，5)已知m，n是两条不同直线，α，β是两个不同平面，则下列命题正确的是(　　)‎ A．若α，β垂直于同一平面，则α与β平行 B．若m，n平行于同一平面，则m与n平行 C．若α，β不平行，则在α内不存在与β平行的直线 D．若m，n不平行，则m与n不可能垂直于同一平面 ‎【答案】　D ‎ ‎【变式探究】如图，在直三棱柱ABC－A′B′C′中，AB＝AA′＝AC＝2，∠BAC＝，点D，E 分别是BC，A′B′的中点．‎ ‎(1)求证：DE∥平面ACC′A′；‎ ‎(2)求二面角B′－AD－C′的余弦值．‎ ‎【解析】(1)证明：取AC的中点F，连接DF，A′F，‎ 则DF∥AB，又A′E∥AB，‎ 所以DF∥A′E，‎ 又因为DF＝AB，A′E＝AB，‎ 所以DF＝AE，所以四边形DFA′E是平行四边形，‎ 所以ED∥A′F，又A′F$来&源：ziyuanku.com⊂平面ACC′A′，‎ 所以ED∥平面ACC′A′.‎ ‎【变式探究】设α，β，γ是三个不重合的平面，l是直线，给出下列四个命题：‎ ‎①若α⊥β，l⊥β，则l∥α；②若l⊥α，l∥β，则α⊥β；‎ ‎③若l上有两点到α的距离相等，则l∥α；④若α⊥β，α∥γ，则γ⊥β.‎ 其中正确命题的序号是________．‎ ‎【答案】②④‎ ‎【解析】由线线、线面、面面平行与垂直的判定与性质定理逐个判断，真命题为②④. ‎ ‎【规律方法】这类题为高考常考题型，其实质为多项选择．主要考查空间中线面之间的位置关系，要求熟悉有关公理、定理及推论，并具备较好的空间想象能力，做到不漏选、多选、错选．‎ ‎【变式探究】(2015·浙江，13)如图，三棱锥A－BCD中，AB＝AC＝BD＝CD＝3，AD＝BC＝2，点M，N分别是AD，BC的中点，则异面直线AN，CM所成的角的余弦值是________．‎ ‎【答案】　 ‎【解析】　连接DN，作DN的中点O，连接MO，OC.在△AND中．M为AD的中点，则OM 綉AN.所以异面直线AN，CM所成角为∠CMO，在△ABC中，AB＝AC＝3，BC＝2，则AN＝2，∴OM＝.在△ACD中，同理可知CM＝2，在△BCD中，DN＝2，在Rt△ONC中，ON＝，CN＝1∴OC＝.在△CMO中，由余弦定理cos∠CMO＝＝＝.‎ 题型三　线线、线面、面面平行与垂直的证明 ‎【例3】【2016高考江苏卷】(本小题满分14分)‎ 如图，在直三棱柱ABC-A1B‎1C1中，D，E分别为AB，BC的中点，点F在侧棱B1B上，且 ，.‎ 求证：（1）直线DE∥平面A1C1F；‎ ‎（2）平面B1DE⊥平面A1C1F. ‎ ‎【答案】（1）详见解析（2）详见解析 因为平面，所以 又因为 所以 因为直线，所以 ‎ 【举一反三】(2015·江苏，16)如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，已知AC⊥BC，BC＝CC1.设AB1的中点为D，B1C∩BC1＝E.‎ 求证：(1)DE∥平面AA1C1C；‎ ‎(2)BC1⊥AB1.‎ 因此BC1⊥B1C.‎ 因为AC，B1C⊂平面B1AC，AC∩B1C＝C，‎ 所以BC1⊥平面B1AC.‎ 又因为AB1⊂平面B1AC，‎ 所以BC1⊥AB1. ‎ ‎【举一反三】(2014·浙江)如图，在四棱锥A－BCDE中，平面ABC⊥平面BCDE，∠CDE＝∠BED＝90°，AB＝CD＝2，DE＝BE＝1，AC＝.‎ ‎(1)证明：DE⊥平面ACD；‎ ‎(2)求二面角B－AD－E的大小．‎ ‎【命题意图】本题主要考查空间点、线、面位置关系，二面角等基础知识，空间向量的应用，同时考查空间想象能力、推理论证和运算求解能力．‎ 解法二：以D为原点，分别以射线DE，DC为x，y轴的正半轴，建立空间直角坐标系D－xyz，如图所示．‎ 由题意知各点坐标如下：D(0,0,0)，E(1,0,0)，C(0,2,0)，A(0,2，)，B(1,1,0)．‎ 设平面ADE的法向量为m＝(x1，y1，z1)，‎ 平面ABD的法向量为n＝(x2，y2，z2)．‎ 可算得＝(0，－2，－)，＝(1，－2，－)，＝(1,1,0)，‎ 由即可取m＝(0,1，－)．‎ 由即可取n＝(1，－1，)．‎ 于是|cos〈m，n〉|＝＝＝.‎ 由题意可知，所求二面角是锐角，‎ 故二面角B－AD－E的大小是.‎ ‎【变式探究】如图，在直三棱柱ABC A1B1C1中，A1B1＝A‎1C1，D，E分别是棱BC，CC1上的点(点D不同于点C)，且AD⊥DE，F为B‎1C1的中点．‎ 求证：(1)平面ADE⊥平面BCC1B1；‎ ‎(2)直线A‎1F∥平面ADE.‎ ‎【规律方法】证明或探究空间中线线、线面、面面平行与垂直的位置关系，一要熟练掌握所有判定定理与性质定理，梳理好几种位置关系的常见证明方法，如证明线面平行，既可以构造线线平行，也可以构造面面平行．而证明线线平行常用的是三角形中位线性质，或构造平行四边形；二要用分析与综合相结合的方法来寻找证明的思路；三要注意表述规范，推理严谨，避免使用一些虽然正确但不能作为推理依据的结论．‎ ‎【变式探究】 ‎ 如图，在四棱锥P ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB∥DC，∠ABC＝45°，DC＝1，AB＝2，PA⊥平面ABCD，PA＝1.‎ ‎(1)求证：AB∥平面PCD；‎ ‎(2)求证：BC⊥平面PAC；‎ ‎(3)若M是PC的中点，求三棱锥M ACD的体积．‎ ‎ ‎ 中·华.资*源%库 ziyuanku.com中/华-资*源%库