数学文卷·2018届福建省三明市第一中学高三下学期开学考试（2018

数学文卷·2018届福建省三明市第一中学高三下学期开学考试（2018

三明一中2017－2018学年高三寒假返校考试 ‎ 数 学（文 科） 试 卷 ‎ (考试时间：120分钟 满分：150分)‎ 第Ⅰ卷(选择题 共60分)‎ 一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一个选项符合题目要求，请把正确选项的代号填在答题卷相应的位置上)‎ ‎1. 设集合，，若，则的取值范围是(　　)‎ A． B． C． D．‎ ‎2. 设是虚数单位，则复数在复平面上对应的点位于（　　）‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎3. 若a＜b＜0，则下列不等关系中，不成立的是（ ）‎ A．＞ B．＞ C．＜ D．＞‎ ‎4．若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是(　　)．‎ ‎5. 在上随机取一个数，则的概率为(　　)‎ A. B. C. D. ‎6.将函数的图象上各点的横坐标缩小为原来的，再向右平移 个单位后得到的图象关于直线对称，则的最小值是(　　)‎ A. B. C. D. ‎ ‎7. 函数在的最小值是(　　)‎ A． B．1 C．0 D．‎ ‎8. 已知是椭圆的两个焦点，且过的直线交椭圆于两点，若 ‎△的周长是12，若点为椭圆上任意一点，则的最大值为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎9. 给出下列四个函数：‎ ‎①；②；③；④.‎ 这四个函数的部分图象如下，但顺序被打乱，则按照从左到右的顺序将图象对应的函数序号安排正确的一组是(　　)‎ A．①④②③ B．①④③② C．④①②③ D．③④②①‎ ‎10. 在边长为的正方形中，为的中点，点在线段上运动，则的取值范围是(　　)‎ A．[，2] B．[0，] C．[，] D．[0,1]‎ ‎11. 观察下列图形：…由此规律，则第30个图形比第27个图形中的“☆”多（　　）‎ A．59颗 B．60颗 C．87颗 D．89颗 ‎12．若不等式组表示的平面区域经过四个象限，则实数的取值范围是(　　)‎ A．(－∞，4) B．[1,2] C．[2,4] D．(2，＋∞)‎ 第Ⅱ卷 (非选择题 共90分)‎ 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把正确答案直接写在答题卷相应位置上)‎ ‎13.《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为________升．‎ ‎14. 图右是一个算法的流程图，最后输出的________.‎ ‎15. 若，，，则的大小关系是 ‎ ‎ .　　‎ ‎16. 设：，使有意义。若为假命题，则实数的取值范围是 .‎ 三、解答题：本大题共6题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，第17至21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。‎ ‎（一）必考题：共60分。‎ ‎17. (本小题满分12分)‎ 已知 ‎（1）求函数的最小正周期及单调递减区间；‎ ‎（2）在中，角所对的边分别是，若，，且面积为，求. ‎ ‎18. (本小题满分12分)‎ ‎2017年5月14日至15日，“一带一路”国际合作高峰论坛在中国首都北京举行,会议期间,达成了多项国际合作协议.假设甲、乙两种品牌的同类产品出口某国家的市场销售量相等，该国质量检验部门为了解他们的使用寿命，现从这两种品牌的产品中分别随机抽取300个进行测试，结果统计如下图所示,已知乙品牌产品使用寿命小于200小时的概率估计值为.‎ ‎(1)求的值;‎ ‎(2)估计甲品牌产品寿命小于200小时的概率；‎ ‎(3)这两种品牌产品中，某个产品已使用了200小时，试估计该产品是乙品牌的概率．‎ ‎19. (本小题满分12分) ‎ 如图所示，已知四边形是直角梯形，，，其中是上的一点，四边形是菱形，满足，沿将折起，使 ‎（1）求证：平面平面 ‎（2）求三棱锥的体积. ‎ ‎20.(本小题满分12分) ‎ 椭圆:的离心率为,抛物线:截轴所得的线段长等于.与轴的交点为，过点作直线与相交于点直线分别与相交于.‎ ‎(1)求证: ；‎ ‎(2)设,的面积分别为,若,求的取值范围.‎ ‎21. (本小题满分12分) ‎ ‎ 已知函数，.‎ ‎（1）若函数在处取得极值，求的值，并求函数在处的切线方程；‎ ‎（2）若在上恒成立，求的取值范围.‎ ‎（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。‎ ‎[选修4－4：坐标系与参数方程]‎ ‎22.在平面直角坐标系中，曲线的参数方程是(为参数)，直线的参数方程是（为参数）． （1）分别求曲线、直线的普通方程；‎ ‎（2）直线与交于两点，则求的值.‎ ‎ [选修4－5：不等式选讲]‎ ‎23. 已知函数， （1）求解不等式；‎ ‎（2）对于，使得成立，求的取值范围.‎ 三明一中2017－2018学年高三寒假返校考试 ‎ 数 学（文 科） 试 卷 答 案 一、选择题 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 选项 A B B D D D B C A　‎ C C D ‎1.解：根据题意，把集合M画在数轴上可知，若满足M⊆N，则必有k≥－1.‎ ‎2.解：，则复数在复平面上对应的点的坐标为：（﹣1，2），位于第二象限．‎ ‎3.解：取a=-2,b=-1，排除法。‎ ‎4.解:　A，B的正视图不符合要求，C的俯视图显然不符合要求，答案选D.‎ ‎5.解：由(x＋1)(x－3)≤0，解得－1≤ x ≤3，在[－2 , 3 ]上随机取一个数是等可能的，所以符合几何概型的条件，所以所求事件的概率P＝＝.‎ ‎6．解：将函数f(x)＝2sin的图象上各点的横坐标缩小为原来的，得到函数y＝2sin的图象，再向右平移个单位，得到的图象，此图象关于直线x＝对称，故2×－2＋＝＋kπ (k∈Z)，解得＝－(k∈Z)，‎ 又>0，故min＝.‎ ‎7.解：，令 得，或，令得，，所以在，单调递增，在单调递减，， 8.解：由得，由△的周长是12得， 所以，，椭圆方程为，当点为短轴端点时，的最大值为.‎ ‎9.解：本题是选择题，可利用排除法．对于①，令y＝f(x)，∵‎ f(x)的定义域关于原点对称，f(－x)＝(－x)·sin(－x)＝x·sin x＝f(x)，∴函数y＝f(x)为偶函数，故①中的函数对应第1个图象，排除C和D；对于③，当x>0时，y≥0，故③中的函数对应第4个图象，排除B.‎ ‎10．解：将正方形放入如图所示的平面直角坐标系中，设E(x,0)，0≤x≤1.又M，C(1,1)，所以＝，＝(1－x,1)，所以＝·(1－x,1)＝(1－x)2＋.因为0≤x≤1，所以≤(1－x)2＋≤，即·的取值范围是[，].‎ ‎11.解：设第个图形，“☆”的个数为，则，‎ ‎，，‎ ‎，‎ ‎∴第30个图形比第27个图形中的“☆”多 ‎﹣ = 87．‎ ‎12.解：画出不等式组表示的平面区域如图中的阴影区域所示，‎ 由图可知，若平面区域经过四个象限，则应满足，‎ 所以. ‎ 二、填空题 ‎13. 解：设自上而下第1节竹子容积为升，则第9节容积为升，且数列为等差数列．则解得＝，d＝.故.‎ ‎14.22 解：S=0,T=1,S=1，循环第一次，T=3,S=8，循环第二次，T=5,S=17，结束循环，W=17+5=22.‎ ‎15． 解：因为，，函数在R上单调递增，所以,又函数在(0，＋∞)上单调递增，所以 ‎. 16. 解：，使有意义为真命题.等价于，使有解.即有解，令，‎ 则，令有解，‎ 三、解答题 ‎17.解： （1） ……………2分 ‎ …………………………………………………………3分 令得， ……………………5分 故的单调递减区间是 ……………………6分 ‎（2） ……………………7分 ‎ ………………9分 又 ……………………10分 ‎ ………………12分 ‎18.解: (1) 由直方图可知,乙品牌产品使用寿命小于200小时的频数为30+a,故频率为,由意可得=,解得a=60.……………………………………3分 ‎(2)甲品牌产品寿命小于200小时的频率为＝，用频率估计概率，所以，甲品牌产品寿命小于200小时的概率为.………………………………………7分【来源：全,品…中&高*考+网】 (3)根据抽样结果，寿命大于200小时的产品有220＋210＝430个，其中乙品牌产品是210个，所以在样本中，寿命大于200小时的产品是乙品牌的频率为＝，用频率估计概率，所以已使用了200小时的该产品是乙品牌的概率为.………………………………12分 ‎19.证明：（1）如图，取的中点，取的 中点，连接和,和，由题意知：‎ ‎，是等腰三角形，‎ ‎，是等腰三角形，‎ 则有，………………2分 ‎ 分别为和的中点，可得：,而，，所以面，可得，,………………4分 面，，平面，且与不平行，所以平面，…………5分 而平面，所以平面平面…………6分 ‎（2）三棱锥的体积，即为三棱锥的体积，由（1）知，平面，从而为三棱锥的底面的高…………8分 为直角三角形，，可得，而，从而，由题意知：，从而………………9分 是等腰三角形，且，为的中点，且，‎ ‎ …………………………………………10分 ‎，故即为所求……12分 ‎20.解:(1)由题设得,∴,又,∴,解得.因此椭圆的方程为.由抛物线的方程为,得.………2分 ‎ 设直线的方程为(存在), ,.于是.‎ 由消去得,∴,①……………………3分 ‎∴‎ ‎ ∴将①代入上式得, ‎ 故.……………………5分 ‎(2)由(1)知, ,∴和均为直角三角形,设直线方程为 ‎,直线方程为,且,由解得或,∴,同理可得,………7分 ‎ ∴.……………………8分 ‎ 由解得或,∴,‎ 同理可得,…………………………………9分 ‎ ∴,………………………10分 ‎ ∴‎ ‎ 又∵＞0,∴≥ ‎ 故的取值范围是[,+∞)………………………………………………………12分 ‎21.解:（1）的定义域是，=，…………1分 由得.……2分 当时，=，=………3分 ‎ 函数在处的切线方程为y=0.…………4分 ‎（2）由得在上恒成立,‎ 即在上恒成立.…………5分 解法一（将绝对值看成一个函数的整体进行研究）：‎ 令，…………6分 ‎①当时，在上单调递减，，，所以的值域为：，因为，所以的值域为；所以不成立.…………7分 ‎②当时，易知恒成立.，所以在上单调递减，在上单调递增.因为，所以，所以，所以在上单调递减，在上单调递增.所以，依题意，，所以.…………11分 综上：……………………12分 解法二（求命题的否定所对应的集合，再求该集合的补集）：‎ 命题“对都成立”的否定是“在上有解”‎ 在上有解在上有解 在上有解 令，.‎ ‎，所以在上单调递增，又，所以无最小值.所以；‎ 令，‎ 所以在上单调递增，在上单调递减.‎ 所以,所以.‎ 因为在上有解时，；‎ 所以对都成立时，. 22.解：（1）：；：…………3分 ‎（2）直线的标准参数方程为，（为参数）‎ 将的标准参数方程代入的直角坐标方程得：，所以，‎ ‎ …………10分 ‎23.解:（1）由或或解得：或 原不等式解集为：.…………5分 ‎（2）当时，；‎ 由题意得，得即 解得…………10分