2021年成都市中考数学复习学案：全等三角形中辅助线的添加

2021年成都市中考数学复习学案：全等三角形中辅助线的添加

1 / 21 2021 年成都市全等三角形中辅助线的添加 主要内容：复习三角形全等的判定定理，通过三角形全等证明图形中线段和角度的 关系。（位置关系和数量关系） 学习目标：通过学习三角形全等的判定，探索三角形全等的条件，能够培养比较完 整、清晰的思维逻辑能力并进行基础的推理论证能力。 学习重点：灵活应用三角形中线段的性质与三角形的判定定理证明综合性的题目。 学习难点：能够从结论出发，联系已知，找出解决问题的关键点，同时能够挖掘出 图中的隐含条件而且能够将未知转化为已知来解决问题（基本的全等模型与常见辅 助线）。 一、知识精讲 1. 三边分别相等的两个三角形全等，简写为“边边边”或者“SSS”。（三角形具有稳定性） 2. 两角及其夹边分别相等的两个三角形全等，简写为“角边角”或“ASA”。 3. 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等，简写为“角角边”或“AAS”。 4. 两边及其夹角分别相等的两个三角形全等，简写为“边角边”或“SAS”。 5. 在直角三角形中，一条斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，简写为“HL”。 6. 易错点：两边分别相等且其中一组等边的对角相等的两个三角形全等这个结论是不正确的。 2 / 21 E D F C B A D C B A 二、典型例题： 考点一 倍长中线法：当遇到中线时，通常延长中线一倍，采用补短的方法，构造三角形全等 条件：△ABC 中 AD 是 BC 边中线 D A B C 方法一： 延长 AD 到 E，使 DE=AD，连接 BE 方式 方法二：间接倍长，作 CF⊥AD 于 F，作 BE⊥AD 的延长 线于 E 连接 BE E D A B C 方法三： 延长 MD 到 N，使 DN=MD，连接 CN N D C B A M 【例题 1】 已知，如图△ABC 中，AB=5，AC=3，则中线 AD 的取值范围是_________. 【例题 2】如图，△ABC 中，E、F 分别在 AB、AC 上，DE⊥DF，D 是中点，试比较 BE+CF 与 EF 的大小. F E D C B A 3 / 21 【变式训练】 1、如图，△ABC 中，BD=DC=AC，E 是 DC 的中点，求证：AD 平分∠BAE. 【练习题】 1、已知：如图，在正方形 ABCD 中，E 是 BC 的中点，点 F 在 CD 上，∠FAE=∠BAE．求证：AF=BC+FC． 2、如图所示，在△ABC 中，AD 是∠BAC 的角平分线，且 AE=AF。若点 M 是 BC 的中点，求证：BE=CF= 2 1 (AB+AC)。 【例题 3】已知在△ABC 中，AB=AC，D 在 AB 上，E 在 AC 的延长线上，DE 交 BC 于 F，且 DF=EF，求证：BD=CE。 F E C A B D E D C B A 4 / 21 【变式训练】 1、已知在△ABC 中，AD 是 BC 边上的中线，E 是 AD 上一点，且 BE=AC，延长 BE 交 AC 于 F，求证：AF=EF。 2、如图，CE、CB 分别是△ABC 与△ADC 的中线，且∠ACB=∠ABC，求证：CD=2CE。 【例题 4】直角三角形斜边中线的长等于斜边的一半 如图，D 是 AB 的中点，∠ACB=90°,求证：2CD=AB. F E D A B C 5 / 21 【例题 5】 已知：在 Rt△ABC 中，AB=BC，在 Rt△ADE 中，AD=DE，连结 EC，取 EC 的中点 M，连结 DM 和 BM． （1）若点 D 在边 AC 上，点 E 在边 AB 上且与点 B 不重合，如图①，探索 BM、DM 的关系并给予证明； （2）如果将图①中的△ADE 绕点 A 逆时针旋转小于 45°的角，如图②，那么（1）中的结论是否仍成立？如果不 成立，请举出反例；如果成立，请给予证明． （3）将图 1 中的△ADE 绕点 A 旋转到图③的位置时，判断（1）中的结论是否仍然成立，并说明理由 【变式练习】已知：△ABC 和△ADE 都是等腰直角三角形，∠ABC=∠ADE=90°，点 M 是 CE 的中点，连接 BM. （1）如图①，点 D 在 AB 上，连接 DM，并延长 DM 交 BC 于点 N，可探究得出 BD 与 BM 的数量关系为 ； （2）如图②，点 D 不在 AB 上，（1）中的结论还成立吗？如果成立，请证明；如果不成立，说明理由. NMD E CA B M E C B A D 图③ 图② M D B A C E 图① M D B A C E 6 / 21 考点二截长补短法： 若遇到证明线段的和差倍分关系时，通常考虑截长补短法，构造全等三角形。 ①截长：在较长线段中截取一段等于另两条中的一条，然后证明剩下部分等于另一条； ②补短：将一条较短线段延长，延长部分等于另一条较短线段，然后证明新线段等于较长线段；或延长一条较短 线段等于较长线段，然后证明延长部分等于另一条较短线段。 【例题 6】如图，AD∥BC，EA，EB分别平分∠DAB，∠CBA，CD过点E，求证：AB=AD+BC． 【变式练习】1.如图，AD∥BC，∠1=∠2，∠3=∠4，点 D、E、C 在同一直线上，证明：AD+BC=AB 2.在△ABC 中，∠BAC=60°，∠C=40°，AP 平分∠BAC 交 BC 于 P，BQ 平分∠ABC 交 AC 于 Q，求证：AB+BP=BQ+AQ。 【例题 7】如图，在△ABC 中，AB=AC，D 是△ABC 外一点，且∠ABD=60°，∠ACD=60° 求证：BD+DC=AB 7 / 21 图a F E C B A 图b F E C B A 【变式练习】已知：如图在△ABC 中，AB=AC，D 为△ABC 外一点，∠ABD=60°，∠ADB=90°－ 2 1 ∠BDC，求证： AB=BD＋DC。 【例题 8】① 如图 a ，△ABC 和△CEF 是两个大小不等的等边三角形，且有一个公共顶点 C，连接 AF 和 BE. (1)线段 AF 和 BE 有怎样的大小关系?请证明你的结论； (2)将图 a 中的△CEF 绕点 C 旋转一定的角度，得到图 b，(1)中的结论还成立吗?作出判断并说明理由； 8 / 21 【变式练习】1.已知四边形 ABCD 中，AB BC ， 60ABC   °，P 为四边形 ABCD 的对角线 BD 上一点， 且 120APD   ，求证： PA PD PC BD   2.如图，在 ABC 中，  60ABC ，AD，CE 分别为 ACBBAC  , 的平分线，求证：AC=AE+CD P B D C A A B CD E O 9 / 21 考点三一线三等角问题 （“K”字图、弦图、三垂图）：两个全等的直角三角形的斜边恰好是一个等腰直角三角形的直角边。 【例题 9】 已知：如图，点 B,C,E 在同一条直线上，∠B=∠E=60°，∠ACF=60°，且 AB=CE 证明：△ACB≌ △CFE 【变式训练】已知：如图，在 Rt△ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC，D 是 BC 边上一点， ∠ADE=45°，AD=DE，求证：BD=EC. 【例题 10】 ⑴如图 1，已知 AC⊥CF，EF⊥CF，AB⊥BE，AB=BE 求证：AC=BF,BC=EF ⑵如图 2，已知 AC⊥CF，EF⊥CF，AB⊥CE，AC=CF 求证：AB=CE 10 / 21 ⑶如图 3，已知 AC⊥CF，EF⊥CF，AG⊥CE，AG=CE 求证：AG=CF 【变式练习】 如图①所示在△ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC，AE 是过 A 点的一条直线，且 B 点和 C 点在 AE 的异侧，BD⊥AE 于 D 点，CE⊥AE 于 E 点。 （1）求证：BD=DE+CE； （2）若直线 AE 绕点 A 旋转到图②所示的位置时（BD＜CE），其余条件不变，问 BD 与 DE、CE 的关系如何？ 请予以证明； （3）若直线 AE 绕点 A 旋转到如图③所示位置时（BD＞CE），其余条件不变，BD 与 DE、CE 的关系如何？直 接写出结果，不需证明； （4）归纳前三小题，用简捷的语言表述 BD、DE、CE 之间的关系。 【例题 11】 E 、 F 分别是正方形 ABCD 的 BC 、CD 边上的点，且 BE CF ．求证： AE BF ． P F E D C B A 11 / 21 【变式练习】 E 、 F 、 G 分别是正方形 ABCD 的 BC 、 CD 、 AB 边上的点， GE EF ， GE EF ．求证： BG CF BC  ． 【练习 12】 已知：如图，在矩形 ABCD 中，E、F 分别是边 BC、AB 上的点，且 EF=ED，EF⊥ED．求证：AE 平分∠BAD． 【变式练习】 两个全等的含 30°，60°角的三角板 ADE 和三角板 ABC 如图所示放置，E，A，C 三点在一条 直线上，连接 BD，取 BD 的中点 M，连接 ME，MC．试判断△EMC 的形状，并说明理由． 【例题 13】如图所示，AE⊥AB，BC⊥CD 且 AB=AE，BC=CD， F、A、G、C、H 在同一直线上，如按照图中所标注的数据及符号，则图中实线所围成的图形面积是？ G A B C D E F 12 / 21 【变式练习】小雨遇到这样一个问题：如图 1，直线 l1∥l2∥l3 ，l1 与 l2 之间的距离是 1，l2 与 l3 之间的距离 是 2，试画出一个等腰直角三角形 ABC，使三个顶点分别在直线 l1、l2、l3 上，并求出所画等腰直角三角形 ABC 的面积． 小雨是这样思考的：要想解决这个问题，首先应想办法利用平行线之间的距离，根据所求图形的性质尝试用旋转 的方法构造全等三角形解决问题．具体作法如图 2 所示：在直线 l1 任取一点 A，作 AD⊥l2 于点 D，作∠DAH=90°， 在 AH 上截取 AE=AD，过点 E 作 EB⊥AE 交 l3 于点 B，连接 AB，作∠BAC=90°，交直线 l2 于点 C，连接 BC， 即可得到等腰直角三角形 ABC． 请你回答：图 2 中等腰直角三角形 ABC 的面积等于 ． 参考小雨同学的方法，解决下列问题： 如图 3，直线 l1∥l2∥l3, l1 与 l2 之间的距离是 2，l2 与 l3 之间的距离是 1,试画出一个等边三角形 ABC，使三个 顶点分别在直线 l1、l2、l3 上，并直接写出所画等边三角形 ABC 的面积（保留画图痕迹）． 【例题 14】 已知：在平面直角坐标系中，△ABC 的顶点 A、C 分别在 y 轴、x 轴上，且∠ACB=90°，AC=BC．如 图，当 A（0，﹣2），C（1，0），点 B 在第四象限时，求点 B 的坐标，并说明理由． 图 3 图 1 图 2 图 3 13 / 21 【变式练习】1.如图，在平面直角坐标系中，将直角三角形的直角顶点放在 P（5,5）处，两条直角边与坐标轴分 别交于点 A 和点 B. ⑴当点 A、点 B 分别在 x 轴、y 轴正半轴上运动时，试探究 OA+0B 的值或取值范围； ⑵点 A 在 x 轴正半轴上运动，点 B 在 y 轴负半轴上时，试探究 OA-OB 的值或取值范围，直接写出结果。 .已知：在平面直角坐标系中，等腰直角△ABC 顶点 A、C 分别在 y 轴、x 轴上，且∠ACB=90°，AC=BC． ⑴如图 1，当 A（0，-2），C（1，0），点 B 在第四象限时，先写出点 B 的坐标，并说明理由． ⑵如图 2，当点 C 在 x 轴正半轴上运动，点 A（0，a）在 y 轴正半轴上运动，点 B（m，n）在第四象限时，作 BD⊥y 轴于点 D，试判断 a，m，n 之间的关系，请证明你的结论． 14 / 21 考点四：角平分线、中垂线法 角分线，分两边，对称全等要记全 角分线+垂线，等腰三角形必呈现（三线合一） 【例题 15】在 ABC 中， AB AC ， AD 是 BAC 的平分线．P 是 AD 上任意一点．求证： AB AC PB PC   ． C D B P A 【变式练习】如图所示，在 ABC 中， AD 是 BAC 的外角平分线， P 是 AD 上异于点 A 的任意一点，试比较 PB PC 与 AB AC 的大小，并说明理由． D P C B A 【 例 题 16】 已知 等 腰 直角 三 角形 ABC， BC 是 斜边 ． ∠ B 的 角平 分 线 交 AC 于 D， 过 C 作 CE 与 BD 垂 直且交 BD 延长线于 E，求证：BD=2CE． 15 / 21 【变式练习】如图，已知在 ABC 中， 3ABC C   ， 1 2   ， BE AE ．求证： 2AC AB BE  2 1 E C B A 【例题 17】如图，△ABC 的边 BC 的中垂线 DF 交△BAC 的外角平分线 AD 于 D，F 为垂足，DE⊥AB 于 E，且 AB＞AC， 求证：BE-AC=AE 【变式练习】如图，△ABC 中，∠ABC=2∠C，BE 平分∠ABC 交 AC 于 E、AD⊥BE 于 D，求证： （1）AC-BE=AE； （2）AC=2BD． 【例题 18】如 图 ， 在 △ ABC 中 ， AB＞ AC， E 为 BC 边 的 中 点 ， AD 为 ∠BAC 的 平 分 线 ， 过 E 作 AD 的 平 行线，交 AB 于 F，交 CA 的延长线于 G． 求证：BF=CG． 16 / 21 【变式练习】已知：△ABC 中，AD 是△ABC 的角平分线，M 为 BC 的中点，过点 M 作 MN∥AD，交 AC 于点 N ,求证： AN+AB=NC. 【例题 19】如图 1，在△ABC 中，∠ACB=2∠B，∠BAC 的平分线 AO 交 BC 于点 D，点 H 为 AO 上一动点，过点 H 作 直线 l⊥AO 于 H，分别交直线 AB、AC、BC 于点 N、E、M．当直线 l 经过点 C 时（如图 2），证明：BN=CD； 【变式练习】在例题 19 的条件下，当 M 是 BC 中点时，写出 CE 和 CD 之间的等量关系，并加以证明。 17 / 21 考点五 手拉手模型： 遇 60°旋 60°，造等边三角形 遇 90°旋 90°，造等腰直角 遇等腰旋转顶角，造旋转全等 遇中点旋 180°，造中心对称 1 条 件：△ABE 和△ACF 均为等边三角形，如图 1 结 论：（1）△ABF≌△AEC；（2）∠B0E=∠BAE=60°（“八字型”模型证明）； （3）OA 平分∠EOF 图 1 图 2 2 △ABD 和△ACE 均为等腰直角三角形，如图 3 结论：（1）、BE=CD （2）BE⊥CD 图 3 图 4 3 条 件：ABEF 和 ACHD 均为正方形，如图 4 结 论：（1）、BD⊥CF （2）、BD=CF 变形一：ABEF 和 ACHD 均为正方形，AS⊥BC 交 FD 于 T，求证：①T 为 FD 的中点. ② .ADFABC SS   方法一： 方法二： 方法三： 18 / 21 变形二：ABEF 和 ACHD 均为正方形，M 为 FD 的中点，求证：AN⊥BC 【例题 20】在直线 ACE 的同一侧作两个等边三角形△ABC 和△DCE， 连接 AD 与 BE，证明： （1）AD=BE （2）、∠ACB=∠AOB （3）、△PCQ 为等边三角形 （4）、PQ∥AE （5）、AP=BQ （6）、CO 平分∠AOE （7）、OA=OB+Od （8）、OE=OC+OD 【变式练习】1．在数学探究课上，老师出示了这样的探究问题，请你一起来探究：已知 C 是线段 AB 所在平面内任意一点，分别以 AC、BC 为边，在 AB 同侧作等边△ACE 和△BCD，连接 AD、 BE 交于点 P． （1）如图 1，当点 C 在线段 AB 上移动时，线段 AD 与 BE 的数量关系： ． （2）如图 2，当点 C 在直线 AB 外，且∠ACB=120°，上面（1）中的结论是否还成立？若成立请 证明，不成立说明理由．此时∠APE 是否随着∠ACB 的大小发生变化，若变化写出变化规律，若 不变，请写出∠APE 的度数，不必说明理由． （3）如图 3，在（2）的条件下，以 AB 为边在 AB 另一侧作等边三角形∠ABF，连接 AD、BE 和 CF 交于点 P．求证：PA+PB+PC=BE．若∠ABC=60°，AB=6，BC=4 试求 PA+PB+PC 的值，只需 直接写出结果． 19 / 21 2．（1）如图 1，点 C 是线段 AB 上一点，分别以 AC，BC 为边在 AB 的同侧作等边三角形 ACM 和等边三角形 CBN，连接 AN，BM．分别取 BM，AN 的中点 E，F，连接 CE，CF，EF．观察并 猜想△CEF 的形状，并说明理由． （2）若将 （1）中的“以 AC，BC 为边在 AB 的同侧作等边三角形 ACM 和等边三角形 CBN”改为 “以 AC，BC 为腰在 AB 的同侧作等腰三角形 ACM 和等腰三角形 CBN，且∠ACM=∠BCN≠60°”， 其他条件不变，如图 2 所示，那么 （1）中的结论还成立吗？若成立，请加以证明；若不成立，请 说明理由． 20 / 21 3．探究学习： 已知：C 是线段 AB 所在平面内任意一点，分别以 AC、BC 为边在 AB 同侧作等腰直角 三角形 ACD 和等腰直角三角形 BCE，∠ACD=∠BCE=90°，连接 AE、BD． （1）如图 1，当点 C 在线段 AB 上移动时，线段 AE 与 BD 的数量关系是 ，位置关系 是 ． （2）如图 2，当点 C 在直线 AB 外，等腰直角三角形 ECB 绕点 C 逆时针旋转至图 2 位置，（1）中 的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由． （3）如图 3，在（1）基础上等腰直角三角形 BCE 绕顶点 C 逆时针旋转到图 3 位置，取等腰直角 三角形 ACD 的斜边 AD 的中点 M，连接 CM 交 BE 于点 G，试探究 BG、GH、HE 的数量关系， 并写出证明思路． 21 / 21 总结：找全等三角形的方法： （1）可以从结论出发，看要证明相等的两条线段（或角）分别在哪两个可能全等的三角形中； （2）可以从已知条件出发，看已知条件可以确定哪两个三角形相等； （3）从条件和结论综合考虑，看它们能一同确定哪两个三角形全等； （4）若上述方法均不行，可考虑添加辅助线，构造全等三角形。 三角形中常见辅助线的作法： ①延长中线构造全等三角形； ②利用翻折，构造全等三角形； ③引平行线构造全等三角形； ④作连线构造等腰三角形。 常见辅助线的作法有以下几种： 1)遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”． 2)遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变 换中的“旋转”． 3)遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对 折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理． 4)过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折 叠” 5)截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，使之与 特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明．这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题 目． 特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形 面积的知识解答．