数学文卷·2017届北京市石景山区高三上学期期末考试（2017

数学文卷·2017届北京市石景山区高三上学期期末考试（2017

石景山区2016—2017学年第一学期高三年级期末试卷 数学（文）‎ 考生须知 ‎1．本试卷共6页，共三道大题，20道小题，满分150分．考试时间120分钟．‎ ‎2．在答题卡上准确填写学校名称、姓名和准考证号．‎ ‎3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，选择题、作图题请用2B铅笔作答，其他试题请用黑色字迹签字笔作答，在试卷上作答无效．‎ ‎4．考试结束，请将本试卷和答题卡一并交回．‎ 第一部分（选择题 共40分）‎ 一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．‎ ‎1．已知集合,,那么等于（ ）‎ A．‎ B．‎ 是 否 开始 结束 C．‎ D．‎ ‎2．复数（ ）‎ A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ ‎3．执行如图所示的程序框图，输出的值是（ ）‎ A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ ‎4．下列函数中既是奇函数又在区间上单调递减的是（ ）‎ A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ ‎5．已知关于的一次函数，设，，则函数 是增函数的概率是（ ）‎ A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ ‎6．一个四棱锥的三视图如右图所示，‎ 这个四棱锥的体积为（ ）‎ 侧视图 正视图 ‎4‎ ‎2‎ 俯视图 ‎3‎ A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ ‎7．已知抛物线的准线与圆相切，则的值为（ ）‎ A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ ‎8．六名同学A、B、C、D、E、F举行象棋比赛，采取单循环赛制，即参加比赛的每两个人之间仅赛一局．第一天，A、B各参加了局比赛，C、D各参加了局比赛，E参加了2局比赛，且A与C没有比赛过，B与D也没有比赛过．那么F在第一天参加的比赛局数为（）‎ A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ 第二部分（非选择题共110分）‎ 二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．‎ ‎9．向量，，与夹角的大小为______________．‎ ‎10．函数的最大值为_______________．‎ ‎11．已知中，，，，则的面积为．‎ ‎12若双曲线的渐近线方程为，则双曲线的焦点坐标是．‎ ‎13．设变量，满足约束条件则的最大值为_______．‎ ‎14．甲、乙、丙三厂联营生产同一种产品，产品是哪个厂生产就在产品上盖哪个厂的厂名，如果是两个厂或三个厂联合生产，那么产品上就盖上两个厂或三个厂的厂名．今有一批产品，发现盖过甲厂、乙厂、丙厂的厂名的产品分别为18件、24件、30件，同时盖过甲、乙厂，乙、丙厂，丙、甲厂的产品，分别有12件、14件、16件．‎ ‎①产品上盖有甲厂厂名没有盖乙厂厂名的产品共有件；‎ ‎②这批产品的总数最多有件．‎ 三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．‎ ‎15．（本小题共13分）‎ 已知等比数列的公比为，且，, 成等差数列．‎ ‎（Ⅰ）求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）设数列是一个首项为，公差为的等差数列，求数列 的前项和．‎ ‎16．（本小题共13分）‎ 已知函数．‎ ‎（Ⅰ）求的最小正周期；‎ ‎（Ⅱ）求在上的最大值．‎ ‎17．（本小题共13分）‎ 新高考政策已经在上海和浙江试验实施．为了解学生科目选择的意向，从某校高一学生中随机抽取30位同学，对其选课情况进行统计分析，得到频率分布表如下：‎ 科目选择 物理 化学 生物 历史 地理 政治 物理 化学 地理 历史 地理 生物 物理 政治 历史 其他 频率 ‎（Ⅰ）若所抽取的30位同学中，有2位同学选择了“历史、地理、生物”组合，‎ ‎3位同学选择了“物理、政治、历史”组合．求、、的值；‎ ‎（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，将选择了“历史、地理、生物”组合的2位同学记为x1、x2，选择了“物理、政治、历史”组合的3位同学记为y1、y2、y3．现从这5位同学中任取2位（假定每位同学被抽中的可能性相同），写出所有可能的结果，并求这两位同学科目选择恰好相同的概率．‎ ‎18．（本小题共14分）‎ 如图1，等腰梯形中，∥，于点，，且．‎ 沿把折起到的位置（如图2），使．‎ ‎（Ⅰ）求证：⊥平面；‎ ‎（Ⅱ）求三棱锥的体积；‎ P′‎ A B C D ‎（Ⅲ）线段上是否存在点，使得∥平面．若存在，指出点的位置并证明；若不存在，请说明理由．‎ B C A P D 图1图2‎ ‎19．（本小题共14分）‎ 已知椭圆的离心率为，点在椭圆上．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的标准方程； ‎ ‎（Ⅱ）过点的直线（不与坐标轴垂直）与椭圆交于两点，设点关于轴的对称点为．直线与轴的交点是否为定点？请说明理由．‎ ‎20．（本小题共13分）‎ 已知函数．‎ ‎（Ⅰ）若在点处的切线方程为，求的值；‎ ‎（Ⅱ）求的单调区间；‎ ‎（Ⅲ）当时，设在处取到极值，记．‎ ‎，，，判断直线、、与函数的图象各有几个交点（只需写出结论）．‎ 石景山区2016—2017学年第一学期期末考试 高三数学（文）参考答案 一．选择题共8小题，每小题5分，共40分．‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ 答案 B A B D A B C D 二．填空题共6小题，每小题5分，共30分．‎ 题号 ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ ‎13‎ ‎14‎ 答案 ‎3‎ 三．解答题共6小题，共80分．‎ ‎15．（本小题共13分）‎ 解：（Ⅰ）因为成等差数列，‎ 所以． ……2分 所以．‎ 所以．‎ 所以． ……4分 所以．……6分 ‎（Ⅱ）．……8分 所以．……9分 所以 ‎==．………13分 ‎16．（本小题共13分）‎ 解：（Ⅰ）……1分 ‎……2分 ‎，……4分 因此的最小正周期为．…………6分 ‎（Ⅱ）当时，，………8分 当，有最大值．………10分 即时，的最大值为．……………13分 ‎17．（本小题共13分）‎ 解：（Ⅰ）由频率分布表得，……2分 因为抽取的30位同学中，有2位同学选择了史地生组合，所以，‎ 有3位同学选择了理政史组合，所以，从而 所以，，．……5分 ‎（Ⅱ）从位同学，中任取位，所有可能的结果为：‎ ‎，，，，，‎ ‎，，，，．……8分 设事件表示“从这5位同学中任取2位，这两位同学科目选择恰好相同”，‎ 则包含的基本事件为：，，，共个，‎ 又基本事件的总数为，故所求的概率．……13分 ‎18．（本小题共14分）‎ 解：（Ⅰ）因为，所以⊥．‎ 因为在等腰梯形中，⊥，所以在四棱锥中，⊥．‎ 又，所以⊥面．‎ 因为面，所以⊥．……3分 因为等腰梯形中，，，且．‎ 所以，，．所以．‎ 所以⊥．‎ 因为=, 所以⊥平面． ……5分 ‎（Ⅱ）,……7分 因为⊥面．‎ 所以． ……9分 ‎（Ⅲ）存在一点，为的中点，使得∥面， ……10分 P′‎ A B C D M N 证明：取中点，中点，连结，，，‎ 因为，为中点，‎ 所以∥，=，‎ P′‎ A B C D P′‎ A B C D P′‎ A B C D P′‎ A B C D 因为∥，=，‎ 所以∥，=．‎ 所以四边形为平行四边形 ．……12分 所以∥．‎ 因为面，面．‎ 所以∥平面．…………………………14分 ‎19．（本小题共14分）‎ 解：（Ⅰ）因为点在椭圆上，所以．‎ 又因为，所以．‎ 所以．‎ 所以椭圆的标准方程为：． ……………………5分 ‎（Ⅱ）设．‎ 设直线：．……………………6分 联立，得：．‎ 所以，．……………8分 直线的方程为，……………9分 令，解得………11分 又，‎ 所以．………13分 所以直线与轴的交点是定点，坐标为．………14分 ‎20．（本小题共13分）‎ 解：（Ⅰ）由题意, ……………1分 因为在点处切线方程为，‎ 所以，解得，‎ 经检验时满足条件． ……………3分 ‎（Ⅱ）由（I）‎ 令，则或,……………4分 ① 当时，，‎ 令，解得或;‎ 令，解得．‎ 所以函数的单调增区间为和，‎ 单调减区间为． ……………6分 ② 当时，，此时，恒成立，‎ 且仅在处，‎ 故函数的单调增区间为．……………7分 ③ 当时，，‎ 同理可得函数的单调增区间为和，‎ 单调减区间为．……………9分 ‎（Ⅲ）直线与的图象的交点个数是个；…………10分 直线与的图象的交点个数是个；……………11分 直线与的图象的交点个数是个．……………13分 ‎【注：若有其它解法，请酌情给分．】‎