数学理卷·2018届四川成都实验高级中学高三上学期1月月考（2018

数学理卷·2018届四川成都实验高级中学高三上学期1月月考（2018

成都实验中学2017-2018学年2015级上学期1月月考试题 数 学（理科）‎ 第Ⅰ卷（选择题 共60分）‎ 一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。)‎ ‎1.集合，则是 ‎ A． B． C． D．‎ ‎2．设向量=（2x﹣1，3），向量=（1，﹣1），若⊥，则实数x的值为 A．﹣1 B．1 C．2 D．3‎ ‎3.下面给出了关于复数的三种类比推理，其中类比错误的是 ‎①复数的乘法运算法则可以类比多项式的乘法运算法则；‎ ‎②由向量a的性质|a|2＝a2可以类比复数的性质|z|2＝z2；‎ ‎③由向量加法的几何意义可以类比得到复数加法的几何意义．‎ A.② B.①② C.①③ D.③‎ ‎4. 中国古代内容丰富的一部数学专著《九章算术》中有如下问题：今有女子擅织，日增等 尺，七日织四十九尺，第二日、第五日、第八日所织之和为二十七尺，则第九日所织尺数 为 ‎ A. 11 B. 13 C．17 D．19‎ ‎5．等差数列中， ， ，则数列的前9项的和等于 A. 66 B. 99 C. 144 D. 297‎ ‎6.从某小学随机抽取100名同学，现已将他们的身高(单位：厘米)数据绘制成频率分布直方图(如图).若要从身高在[120，130)，[130，140)，[140，150]三组内的学生中，用分层抽样的方法选取18人参加一项活动，则从身高在[140，150]内的学生中选取的人数应为 ‎ A.2 B.3 C.4 D.5‎ ‎ 7.平面直角坐标系中，点和分别在顶点为原点始边为轴的非负半轴的角 和的终边上，则实数的值为 A． B．2 C．3 D．8‎ ‎8.若两个正实数x，y满足，且不等式有解，则实数m的取值范围是 A． B． C． D．‎ ‎9.某三棱锥的侧视图、俯视图如图所示，则该三棱锥的体积是(锥体体积公式：V＝Sh，其中S为底面面积，h为高)‎ A.3 B.2 C. D.1‎ ‎10．已知a∈R，若f（x）=（x+）ex在区间（0，1）上只有一个极值点，则a的取值范围为 A．a＞0 B．a≤1 C．a＞1 D．a≤0‎ ‎11．执行如图所示的程序框图，若输出的S＝88，则判断框内应填入的条件是 A．k>4 B．k>5 ‎ C．k>6 D．k>7‎ ‎12.设是正方体的对角面（含边界）内的点，若点到平面、平面、平面的距离相等，则符合条件的点 ‎ A.仅有一个 B.有有限多个 ‎ C.有无限多个 D.不存在 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13.若向量，且∥，则实数 .‎ ‎14．正方体的棱长为，是正方体内切球的直径，为正方体表面上的动点，则的最大值为________. ‎ ‎15.已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，若f(x)在区间(－1，0)上单调递减，则a2＋b2的取值范围为________________________． ‎ ‎16.已知抛物线的参数方程为（t为参数），焦点为F,直线与该抛物线交于A,B两点，则的面积为 . ‎ 三、解答题:（本题包括6小题，共70分。要求写出证明过程或演算步骤）‎ ‎17．（本小题满分12分）在数列（）中，其前项和为，满足.‎ ‎（Ⅰ）求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）设（为正整数），求数列的前项和.‎ ‎18.（本小题满分12分）如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1C1C是边长为4的正方形.‎ 平面ABC⊥平面AA1C1C，AB=3，BC=5.‎ ‎（1）求证：AA1⊥平面ABC；‎ ‎（2）求二面角A1-BC1-B1的余弦值；‎ ‎（3）证明：在线段BC1存在点D，使得AD⊥A1B，并求的值.‎ ‎19．（本小题满分12分）某工厂生产一种仪器的元件，由于受生产能力和技术水平的限制，会产生一些次品，根据经验知道，其次品率与日产量（万件）之间满足关系：‎ ‎（其中为小于6的正常数）‎ ‎（注：次品率=次品数/生产量，如表示每生产10件产品，有1件为次品，其余为合格品）已知每生产1万件合格的仪器可以盈利2万元，但每生产1万件次品将亏损1万元，故厂方希望定出合适的日产量.‎ ‎（1）试将生产这种仪器的元件每天的盈利额(万元）表示为日产量（万件）的函数；【来源：全,品…中&高*考+网】‎ ‎（2）当日产量为多少时，可获得最大利润？‎ ‎20．（本小题满分12分） 如图，曲线：与正方形的边界相切.‎ ‎(Ⅰ)求的值；‎ ‎(Ⅱ)设直线：交曲线于，，交于，，是否存在这样的曲线，使得，，成等差数 列？若存在，求出实数的取值范围；若不存在，请说明理由。‎ ‎21.（本题满分12分）已知函数f（x）=e﹣x﹣ax（x∈R）．‎ ‎（Ⅰ） 当a=﹣1时，求函数f（x）的最小值；‎ ‎（Ⅱ） 若x≥0时，f（﹣x）+ln（x+1）≥1，求实数a的取值范围；‎ ‎（Ⅲ）求证：．‎ 请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。作答时请写清题号，本小题满分10分。‎ ‎22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 已知直线的参数方程是（是参数），圆的极坐标方程为．‎ ‎（1）求圆心的直角坐标；‎ ‎（2）由直线上的点向圆引切线，求切线长的最小值．‎ ‎23.（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲 设函数．‎ ‎（Ⅰ）将函数化为分段函数的形式；‎ ‎（Ⅱ）写出不等式的解集．‎ 成都实验中学2017-2018学年2015级上学期1月月考试题 数 学（理科）参考答案 ‎1—5 ADACB 6—10 BBCDA 11—12 BA ‎13. 14． 15. 16.25‎ ‎17．解:(Ⅰ)由题设得:,所以（）‎ 所以（）‎ 当时，,数列是为首项、公差为1的等差数列 故.‎ ‎（Ⅱ）由(Ⅰ)知:‎ ‎18. 解: (1) ∵为正方形,‎ ‎,又面⊥面,‎ 又面∩面= ∴AA1⊥平面ABC.‎ ‎(2)∵AC=4,AB=3,BC=5,‎ ‎∴,∴∠CAB=,即AB⊥AC,‎ 又由(1) ∴AA1⊥平面ABC.知,‎ 所以建立空间直角坐标系A-xyz, 则(0,0,4), (4,0,4), (0,3,4),B(0,3,0)‎ 设面与面B的法向量分别为,,‎ 由,得,令,则,‎ 同理, ,‎ ‎,‎ 由图知,所求二面角为锐二面角,所以二面角A1-BC1-B1的余弦值为.‎ ‎(3)证明: 设, ,则,,,‎ 因为三点共线,所以设 ,即,‎ 所以, (1) ‎ ‎ 由得 (2)‎ 由(1)(2)求得, 即,‎ 故在线段BC1存在点D，使得AD⊥A1B，且=.‎ ‎19.解：（Ⅰ）当时，，-2分 当时，，-4分 综上，日盈利额（万元）与日产量（万件）的函数关系为：‎ ‎-6分 ‎（Ⅱ）由（1）知，当时，每天的盈利额为0 当时，‎ 当且仅当时取等号--8分 所以当时，，此时 ‎ 当时，由 知函数在上递增，，此时-10分 综上，若，则当日产量为3万件时，可获得最大利润 若，则当日产量为万件时，可获得最大利润 12分 ‎20． 解：(Ⅰ)由题，得，‎ ‎ 有⊿=，化简的 ‎ 又，所以 从而有；‎ ‎ (Ⅱ)由，，即由，‎ ‎ ‎ 由可得且， ‎ 所以, 可得，‎ 从而 所以，即有，符合， 故当实数的取值范围是时，存在直线和曲线，使得，，成等差数列。 ‎ ‎21．解：（Ⅰ）当a=﹣1时，f（x）=e﹣x+x，‎ 则． 1分 令f'（x）=0，得x=0．‎ 当x＜0时，f'（x）＜0； 当x＞0时，f'（x）＞0．…2分 ‎∴函数f（x）在区间（﹣∞，0）上单调递减，在区间（0，+∞）上单调递增．‎ ‎∴当x=0时，函数f（x）取得最小值，其值为f（0）=1． -3分 ‎（Ⅱ）若x≥0时，f（﹣x）+ln（x+1）≥1，‎ 即ex+ax+ln（x+1）﹣1≥0．（*）‎ 令g（x）=ex+ax+ln（x+1）﹣1，‎ 则．‎ ‎①若a≥﹣2，由（Ⅰ）知e﹣x+x≥1，即e﹣x≥1﹣x，故ex≥1+x．‎ ‎∴．-4分 ‎∴函数g（x）在区间0，+∞）上单调递增．‎ ‎∴g（x）≥g（0）=0．‎ ‎∴（*）式成立．…5分 ‎②若a＜﹣2，令，‎ 则．‎ ‎∴函数φ（x）在区间0，+∞）上单调递增．‎ 由于φ（0）=2+a＜0，‎ ‎．-6分 故∃x0∈（0，﹣a），使得φ（x0）=0．…7分 则当0＜x＜x0时，φ（x）＜φ（x0）=0，即g'（x）＜0．‎ ‎∴函数g（x）在区间（0，x0）上单调递减．‎ ‎∴g（x0）＜g（0）=0，即（*）式不恒成立．…8分 综上所述，实数a的取值范围是﹣2，+∞）．…9分 ‎（Ⅲ）证明：由（Ⅱ）知，当a=﹣2时，‎ g（x）=ex﹣2x+ln（x+1）﹣1在0，+∞）上单调递增．‎ 则，即 -10分 ‎∴．…11分 ‎∴，即．12分 ‎22.【解析】（Ⅰ）∵，‎ ‎∴，‎ ‎∴圆的直角坐标方程为，即 ‎∴圆心的直角坐标为. ‎ ‎（Ⅱ）直线上的点向圆引切线，则切线长为 ‎，‎ ‎∴直线上的点向圆引的切线长的最小值为. ‎ ‎23.（本小题满分10分）‎ 解：（Ⅰ）由题设………………… 6分 ‎（Ⅱ）不等式的解集是． ……………………… 10‎