高考数学专题复习：函数的最大(小)值与导数

高考数学专题复习：函数的最大(小)值与导数

‎1.3.3函数的最大(小)值与导数 一、选择题 ‎1、已知函数y＝－x2－2x＋3在[a,2]上的最大值为，则a等于(　　)‎ A．－ B. C．－ D．－或－ ‎2、已知函数f(x)＝ax3＋c，且f′(1)＝6，函数在[1,2]上的最大值为20，则c的值为(　　)‎ A．1 B．‎4 C．－1 D．0‎ ‎3、函数y＝＋在(0,1)上的最大值为(　　)‎ A. B．‎1 C．0 D．不存在 ‎4、函数y＝在[0,2]上的最大值是(　　)‎ A．当x＝1时，y＝ B．当x＝2时，y＝ C．当x＝0时，y＝0 D．当x＝，y＝ ‎5、函数f(x)＝x2－4x＋1在[1,5]上的最大值和最小值是(　　)‎ A．f(1)，f(3) B．f(3)，f(5)‎ C．f(1)，f(5) D．f(5)，f(2)‎ ‎6、下列结论正确的是(　　)‎ A．若f(x)在[a，b]上有极大值，则极大值一定是[a，b]上的最大值 B．若f(x)在[a，b]上有极小值，则极小值一定是[a，b]上的最小值 C．若f(x)在[a，b]上有极大值，则极小值一定是x＝a和x＝b时取得 D．若f(x)在[a，b]上连续，则f(x)在[a，b]上存在最大值和最小值 二、填空题 ‎7、若函数f(x)＝x3－3x－a在区间[0,3]上的最大值、最小值分别为M、N，则M－N的值为________．‎ ‎8、函数f(x)＝ex(sin x＋cos x)在区间上的值域为________．‎ ‎9、函数f(x)＝ln x－x在(0，e]上的最大值为________．‎ 三、解答题 ‎10、已知函数f(x)＝，g(x)＝aln x，a∈R.‎ ‎(1)设函数h(x)＝f(x)－g(x)，当h(x)存在最小值时，求其最小值φ(a)的解析式；‎ ‎(2)对(1)中的φ(a)和任意的a>0，b>0，证明：‎ φ′()≤≤φ′()．‎ ‎11、设函数f(x)＝x2ex.‎ ‎(1)求f(x)的单调区间；‎ ‎(2)若当x∈[－2,2]时，不等式f(x)>m恒成立，求实数m的取值范围．‎ ‎12、已知f(x)＝x3－x2－x＋3，x∈[－1,2]，f(x)－m<0恒成立，求实数m的取值范围．‎ ‎13、求下列各函数的最值．‎ ‎(1)f(x)＝ln(1＋x)－x2，x∈[0,2]；‎ ‎(2)f(x)＝x3－3x2＋6x－2，x∈[－1,1]．‎ 以下是答案 一、选择题 ‎1、C　[y′＝－2x－2，令y′＝0，得x＝－1.当a≤－1时，最大值为f(－1)＝4，不合题 意．当－10，即f(x)在[1,2]上是增函数，∴f(x)max＝f(2)＝2×23＋c ‎＝20，∴c＝4.]‎ ‎3、A　[y′＝－.由y′＝0，得x＝.‎ 又00，0得01，‎ ‎∴f(x)在(0,1]上是增函数，在(1，e]上是减函数．‎ ‎∴当x＝1时，f(x)有最大值f(1)＝－1.‎ 三、解答题 ‎10、(1)解　由条件知h(x)＝－aln x(x>0)，‎ ‎∴h′(x)＝－＝.‎ ‎①当a>0时，令h′(x)＝0，解得x＝‎4a2，‎ ‎∴当0‎4a2时，h′(x)>0，h(x)在(‎4a2，＋∞)上递增．‎ ‎∴x＝‎4a2是h(x)在(0，＋∞)上的唯一极值点，且是极小值点，从而也是h(x)的最小值 点．‎ ‎∴最小值φ(a)＝h(‎4a2)＝‎2a－aln ‎4a2‎ ‎＝‎2a(1－ln ‎2a)．‎ ‎②当a≤0时，h′(x)＝>0，h(x)在(0，＋∞)上递增，无最小值．‎ 故h(x)的最小值φ(a)的解析式为 φ(a)＝‎2a(1－ln ‎2a)(a>0)．‎ ‎(2)证明　由(1)知φ′(a)＝－2ln ‎2a，‎ 对任意的a>0，b>0，‎ ＝－＝－ln 4ab，①‎ φ′()＝－2ln(2·)＝－ln(a＋b)2‎ ‎≤－ln 4ab，②‎ φ′()＝－2ln(2·)≥－2ln ‎＝－ln 4ab，③‎ 故由①②③得 φ′()≤≤φ′()．‎ ‎11、解　(1)f′(x)＝xex＋x2ex＝x(x＋2)．‎ 由x(x＋2)>0，解得x>0或x<－2，‎ ‎∴(－∞，－2)，(0，＋∞)为f(x)的增区间，‎ 由x(x＋2)<0，得－2m恒成立，∴m<0.‎ 故m的取值范围为(－∞，0)．‎ ‎12、解　由f(x)－m<0，即m>f(x)恒成立，‎ 知m>f(x)max，‎ f′(x)＝3x2－2x－1，令f′(x)＝0，‎ 解得x＝－或x＝1.‎ 因为f(－)＝，‎ f(1)＝2，f(－1)＝2，f(2)＝5.‎ 所以f(x)的最大值为5，‎ 故m的取值范围为(5，＋∞)．‎ ‎13、解　(1)因为函数f(x)＝ln(1＋x)－x2，‎ 所以f′(x)＝－x＝ ‎＝－，‎ 令f′(x)＝0，解得x＝1或x＝－2(舍去)．‎ 当x变化时，f′(x)及f(x)的变化情况如下表 x ‎0‎ ‎(0,1)‎ ‎1‎ ‎(1,2)‎ ‎2‎ f′(x)‎ ‎＋‎ ‎0‎ ‎－‎ f(x)‎ ‎0‎ ln 2－  ln 3－1‎ ‎∴当x＝1时，f(x)取得最大值ln 2－，‎ 又∵ln 3－1>0，‎ ‎∴当x＝0时，f(x)取得最小值0.‎ 即f(x)在[0,2]上的最大值为ln 2－，最小值为0.‎ ‎(2)f′(x)＝3x2－6x＋6＝3(x2－2x＋2)‎ ‎＝3(x－1)2＋3，‎ ‎∵f′(x)在[－1,1]内恒大于0，‎ ‎∴f(x)在[－1,1]上为增函数．‎ 故x＝－1时，f(x)最小值＝－12；‎ x＝1时，f(x)最大值＝2.‎ 即f(x)在[－1,1]上的最小值为－12，最大值为2.‎