【数学】山东省威海市2019-2020学年高一下学期期末考试试题

【数学】山东省威海市2019-2020学年高一下学期期末考试试题

山东省威海市2019-2020学年高一下学期期末考试试题 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．‎ ‎1. 时间经过5小时，时针转过的弧度数为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】时针每过一个小时，其转过度数为，‎ 故时间经过5小时，时针转过的弧度数.‎ 故选：A．‎ ‎2. 已知，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】因为，，所以，‎ 因此，所以.‎ 故选：B.‎ ‎3. 已知向量，且，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】解：∵向量，，且，‎ ‎∴ ，解得：，‎ 故选：D.‎ ‎4. 下列选项中描述的空间角类型与其它三项不同的是（ ）‎ A. 短道速滑运动员在弯道时由于离心力的作用，身体与冰面产生通常小于的角度 B. 为保证安全性和舒适性，一般客机起飞时会保持的仰角 C. 市场上主流笔记本电脑屏幕开合角度一般在，超过这个角度容易导致转轴损坏 D. 春分时节，威海正午时分太阳的高度角约为 ‎【答案】C ‎【解析】A选项，身体与冰面所成的角为线面角；‎ B选项，客机起飞时所保持的仰角是线面角；‎ C选项，电脑屏幕开合角度是二面角；‎ D选项，太阳的高度角是视线与地平面所成的角，属于线面角.‎ 故选：C.‎ ‎5. 已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点，则的值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】∵ 终边与单位圆交于点，‎ ‎∴ ，，∴，‎ 故选：B.‎ ‎6. 古代将圆台称为“圆亭”，《九章算术》中“今有圆亭，下周三丈，上周二丈，高一丈，问积几何？”即一圆台形建筑物，下底周长丈，上底周长丈，高丈，则它的体积为（ ）‎ A. 立方丈 B. 立方丈 C. 立方丈 D. 立方丈 ‎【答案】B ‎【解析】由题意得，下底半径（丈），上底半径（丈），高（丈），‎ 所以它的体积为 所以(立方丈).‎ 故选：B.‎ ‎7. 已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列说法正确的是（ ）‎ A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 ‎【答案】C ‎【解析】对于A，若，则或相交，‎ 对于B，若，或相交或异面，‎ 对于C，若，则必成立，‎ 对于D，若，则或，‎ 故选：C.‎ ‎8. 如图所示，在平面四边形中，，，，，现将 沿边折起，并连接，当三棱锥的体积最大时，其外接球的表面积为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】因为的面积不变，要使体积最大，需D到平面ABC的距离最大，‎ 即当平面ACD平面ABC时，体积最大，‎ 因为等腰直角三角形，取AC中点E,则DE平面ABC，高为DE=最大，AC=，则Rt中，BC=2，AB=4，所以EB=，故Rt中BD=，所以中，即得空间中 即AB为球直径，故半径，所以外接球的表面积.‎ 故选：D.‎ 二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分.‎ ‎9. 下列选项中，与的值相等的是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】BC ‎【解析】首先，下面计算选项：‎ A选项中，，不相等；‎ B选项中，，相等；‎ C选项中，，相等；‎ D选项中，，不相等；‎ 故选：BC.‎ ‎10. 已知函数，则（ ）‎ A. 的最大值为 B. 的最小正周期为 C. 是偶函数 D. 将图象上所有点向左平移个单位，得到的图象 ‎【答案】AC ‎【解析】，‎ 因为，所以，因此，则，故A正确；‎ 最小正周期为，故B错；‎ ‎，所以是偶函数，即C正确；‎ 将图象上所有点向左平移个单位，‎ 得到，故D错误.‎ 故选：AC ‎11. 已知非零平面向量，,,则（ ）‎ A. 存在唯一的实数对，使 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 ‎【答案】BD ‎【解析】A选项，若与共线，与，都不共线，则与不可能共线，故A错；‎ B选项，因为，,是非零平面向量,若，则，，所以，即B正确；‎ C选项，因为向量共线可以是反向共线，所以由不能推出；如与同向，与反向，且，则，故C错；‎ D选项，若，则，‎ ‎，所以，即D正确.‎ 故选：BD.‎ ‎12. 已知正四棱柱的底面边长为，，则（ ）‎ A. 平面 B. 异面直线与所成角的余弦值为 C. 平面 D. 点到平面的距离为 ‎【答案】ACD ‎【解析】根据题意作图如下，‎ A选项：在正四棱柱中，因为，平面，平面，所以平面，故A选项正确；‎ B选项：在正四棱柱中，因为，所以异面直线与所成角即为异面直线与所成角，在中，因为，，，所以，故B选项错误；‎ C选项：在正四棱柱中，因为，，‎ ‎，所以平面，故C选项正确；‎ D选项：在正四棱柱中，因为平面，在平面内点到线段的距离就是点到平面的距离，在中，到线段的距离为，所以点到平面的距离为，故D选项正确.‎ 故选：ACD.‎ 三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．‎ ‎13. 已知单位向量，若，则与的夹角为__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】因为为单位向量，，所以，，‎ 因此，即向量与的夹角为，‎ 则，所以.‎ 故答案为：.‎ ‎14. 设分别为三个内角的对边，已知，，，则角__________.‎ ‎【答案】或 ‎ ‎【解析】因为，，，‎ 由正弦定理可得：，‎ 则，所以或 .‎ 故答案为：或 .‎ ‎15. 函数y＝Asin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜π）在一个周期内的图象如图，此函数的解析式为_____．‎ ‎【答案】y＝2sin（2x）．‎ ‎【解析】由图象知，‎ 由五点对应法得，解得，‎ 即函数的解析式为.‎ 故答案为：.‎ ‎16. 正方体的棱长为，则平面与平面所成角为_______；设为的中点，过点，，的平面截该正方体所得截面的面积为__________.‎ ‎【答案】 (1). (2). ‎ ‎【解析】连接，在正方体中，易知且，‎ 则四边形为平行四边形，即平面，‎ 因为正方体中，，，且平面，‎ 则侧面，所以，‎ 又平面平面，‎ 则即等于平面与平面所成的角，‎ 所以，即；‎ 取中点为，连接，，因为为的中点，则，‎ 又，则，即，，，四点共面，‎ 即梯形即为过点，，的平面截该正方体所得截面，‎ 因为正方体棱长为，则，，‎ 所以，，，‎ 即梯形为等腰梯形，分别作于点，于点，‎ 则，‎ 所以，‎ 因此梯形的面积为.‎ 故答案为：；.‎ 四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．‎ ‎17. 已知函数.‎ ‎（1）求的单调递增区间；‎ ‎（2）当时，求的取值范围.‎ ‎【解】（1）‎ ‎，‎ 由，解得 所以函数单调递增区间为， ‎ ‎（2）设，∵，‎ ‎∴，∴， ∴， ‎ 所以当时，函数的取值范围为.‎ ‎18. 设分别为三个内角的对边，若.‎ ‎（1）求角；‎ ‎（2）若，的面积为，求的周长.‎ ‎【解】（1）由及正弦定理可得 ‎， ‎ 由代入上式，‎ 整理得 ，‎ 因为 所以， ‎ 因为，所以角. ‎ ‎（2）∵的面积为，∴，得，‎ 由，可得，‎ 即，，解得，‎ 所以求的周长为.‎ ‎19. 在正三棱柱中，为的中点.‎ ‎（1）求证：平面平面；‎ ‎（2）若，求点到平面的距离.‎ ‎【解】（1）∵正三棱柱，∴平面,‎ ‎∴, ‎ ‎∵为的中点，∴, ‎ 又,∴平面， ‎ ‎∵平面，∴平面平面. ‎ ‎（2）过点作，为垂足，则，‎ ‎∵平面平面，∴平面， ‎ ‎∴，‎ 设点到平面的距离为，‎ ‎∵,∴, ‎ 由（1）可知为直角三角形 ，可求得，‎ ‎∴,‎ 可得,∴点到平面的距离.‎ ‎20. 在中，，，，点，在边上且，.‎ ‎（1）若，求的长；‎ ‎（2）若，求的值.‎ ‎【解】（1）设，，‎ 则，，因此，‎ 所以，‎ ‎，‎ ‎（2）因为，所以， ‎ 同理可得，，‎ 所以 ‎，‎ ‎∴，即， ‎ 同除以可得，.‎ ‎21. 在四棱锥中，底面是边长为的菱形，，，分别为，的中点.‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）求证：；‎ ‎（3）若，，求直线与平面所成角的正弦值.‎ ‎【解】（1）证明：取得中点，连接，，‎ ‎∵为的中点，∴且， ‎ ‎∵为的中点且四边形为菱形，∴且， ‎ ‎∴且， ∴四边形为平行四边形， ∴，‎ 又平面，平面，∴平面. ‎ ‎（2）连接交于点，‎ ‎∵四边形为菱形，∴， ‎ ‎∵，∴，‎ 又为平面内的两条相交直线，∴平面， ‎ 又平面，∴.‎ ‎（3）过作，为垂足，连接，‎ 由（2）可知平面，‎ 所以平面平面，‎ 而平面平面，‎ 所以平面， ‎ 因此直线在平面的射影为，‎ 即为直线与平面所成角， ‎ ‎∵四边形为菱形边长为，，‎ ‎∴，,‎ 由题意可知为直角三角形，易得，‎ 又，∴，∴，‎ 由平面可知为直角三角形，‎ ‎∴，‎ 在中，，‎ 所以直线与平面所成角的正弦值为.‎ ‎22. 天津海河永乐桥上的摩天轮被誉为“天津之眼”，是世界上唯一一座建在桥上的摩天轮.如图所示，该摩天轮直径为米，最高点距离地面米，相当于层楼高，摩天轮的圆周上均匀的安装了个透明座舱，每个座舱最多可坐人，整个摩天轮可同时供余人观光，并且运行时按逆时针匀速旋转，转一周需要分钟.‎ ‎（1）某游客自最低点处登上摩天轮，请问分钟后他距离地面的高度是多少？‎ ‎（2）若甲乙两游客分别坐在，两个座舱里，且他们之间间隔个座舱，求，两个座舱的直线距离；‎ ‎（3）若游客在距离地面至少米的高度能够获得俯瞰天津市美景的最佳视觉效果，请问摩天轮转动一周能有多长时间会有这种最佳视觉效果.‎ ‎【解】（1）设摩天轮转动分钟（）时游客的高度为，‎ 摩天轮旋转一周需要分钟，所以座舱每分钟旋转角的大小为，‎ 由题意可得，， ‎ 当时， ，‎ 所以游客分钟后距离地面的高度是米 . ‎ ‎（2） 由题意可知，，‎ 在中，， ‎ ‎ （3）由题意可知，要获得俯瞰的最佳视觉效果，‎ 应满足， 化简得，‎ 因为，所以 所以 ，解得， ‎ 所以摩天轮旋转一周能有分钟最佳视觉效果.‎