数学理卷·2017届广西桂林，百色，梧州，北海，崇左五市高三5月联合模拟（2017

数学理卷·2017届广西桂林，百色，梧州，北海，崇左五市高三5月联合模拟（2017

‎2017年高考桂林、百色、梧州、崇左、北海五市联合 模拟考试理科数学 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.若集合，，则（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎2.下面是关于复数的四个命题：：；：；：的共轭复数为；：的虚部为，其中真命题为（ ）‎ A．， B．， C．， D．， ‎ ‎3.在如图所示的矩形中，，，为线段上的点，则的最小值为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎4.如图是2017年第一季度五省情况图，则下列陈述正确的是（ ）‎ ‎①2017年第一季度总量和增速均居同一位的省只有1个；‎ ‎②与去年同期相比，2017年第一季度五个省的总量均实现了增长；‎ ‎③去年同期的总量前三位是江苏、山东、浙江；‎ ‎④2016年同期浙江的总量也是第三位．‎ A．①② B．②③④ C．②④ D．①③④ ‎ ‎5.若函数在区间上的最大值为1，则（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎6.若，，，则（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎7.某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的（ ）‎ A．15 B．29 C．31 D．63‎ ‎8.在中，角，，的对边分别为，，，已知，，，为锐角，那么角的比值为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎9.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎10.在三棱锥中，平面平面，与均为等腰直角三角形，且，，点是线段上的动点，若线段上存在点，使得异面直线与成的角，则线段的长度的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎11.设为双曲线右支上一点，，分别是圆和上的点，设的最大值和最小值分别为，，则（ ）‎ A．4 B．5 C．6 D．7 ‎ ‎12.表示一个两位数，十位数和个位数分别用，表示，记，如，则满足的两位数的个数为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13.已知实数，满足不等式组则的最大值是 ．‎ ‎14.已知，，则 ．‎ ‎15.直线分别与曲线，交于，，则的最小值为 ．‎ ‎16.设圆满足：①截轴所得弦长为2；②被轴分成两段圆弧，其弧长的比为3:1；③圆心到直线：的距离为．当最小时，圆的面积为 ．‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17.已知各项均为正数的等差数列满足：，且，，成等比数列，设的前项和为．‎ ‎（Ⅰ）求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）设数列的前项和为，求证：．‎ ‎18.某公司为了准确地把握市场，做好产品生产计划，对过去四年的数据进行整理得到了第年与年销量（单位：万件）之间的关系如表：‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎12‎ ‎28‎ ‎42‎ ‎56‎ ‎（Ⅰ）在图中画出表中数据的散点图；‎ ‎（Ⅱ）根据（Ⅰ）中的散点图拟合与的回归模型，并用相关系数甲乙说明；‎ ‎（Ⅲ）建立关于的回归方程，预测第5年的销售量约为多少？．‎ 附注：参考数据：，，．‎ 参考公式：相关系数，‎ 回归方程中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：‎ ‎，．‎ ‎19.如图，在正三棱柱中，点，分别是棱，上的点，且．‎ ‎（Ⅰ）证明：平面平面；‎ ‎（Ⅱ）若，求二面角的余弦值．‎ ‎20.已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，离心率．以两个焦点和短轴的两个端点为顶点的四边形的周长为8，面积为．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）若点为椭圆上一点，直线的方程为，求证：直线与椭圆有且只有一个交点．‎ ‎21.设函数，曲线在点处的切线方程为．‎ ‎（Ⅰ）求实数，的值；‎ ‎（Ⅱ）若，，，，试判断，，三者是否有确定的大小关系，并说明理由．‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.‎ ‎22.选修4-4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）．以坐标原点为极点，以轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，直线的极坐标方程为．‎ ‎（Ⅰ）求直线的直角坐标方程和曲线的普通方程；‎ ‎（Ⅱ）设点为曲线上任意一点，求点到直线的距离的最大值．‎ ‎23.选修4-5：不等式选讲 已知函数（）．‎ ‎（Ⅰ）若不等式恒成立，求实数的最大值；‎ ‎（Ⅱ）当时，函数有零点，求实数的取值范围．‎ ‎2017年高考桂林、百色、梧州、崇左、北海五市联合模拟考试理科数学试卷答案 一、选择题 ‎1-5: 6-10: 11、12：‎ 二、填空题 ‎13. 14. 15. 16.‎ 三、解答题 ‎17.（Ⅰ）解：根据题意，等差数列中，设公差为，，且，，成等比数列，，‎ 即解得，，‎ 所以数列的通项公式为．‎ ‎（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知，则，‎ ‎∴．‎ ‎∴，（）‎ ‎，（）‎ ‎∴，‎ ‎∴．‎ ‎∴．‎ ‎18.解：（Ⅰ）作出散点图如图：‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）散点图可知，各点大致分布在一条直线附近，由题中所给表格及参考数据得：‎ ‎，，，，，，，‎ ‎．‎ ‎∵与的相关系数近似为0.9996，说明与的线性相关程度相当大，‎ ‎∴可以用线性回归模型拟合与的关系．‎ ‎（Ⅲ）由（Ⅱ）知：，，，，，‎ ‎，，‎ 故关于的回归直线方程为，‎ 当时，，‎ 所以第5年的销售量约为71万件．‎ ‎19.（Ⅰ）证明：取线段的中点，取线段的中点，连接，，‎ ‎，则，‎ 又，‎ ‎∴是平行四边形，故．‎ ‎∵，平面平面，平面平面，‎ ‎∴平面，而，‎ ‎∴平面，‎ ‎∵平面，‎ ‎∴平面平面．‎ ‎（Ⅱ）以、、为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，则，，，，，，，‎ 设平面的一个法向量，‎ 则有即 令，则，‎ 设平面的一个法向量，‎ 则有即 令，则，‎ 设二面角的平面角，‎ 则．‎ ‎20.解：（Ⅰ）依题意，设椭圆的方程为，焦距为，‎ 由题设条件知，，，‎ ‎，，‎ 所以，，或，（经检验不合题意舍去），‎ 故椭圆的方程为．‎ ‎（Ⅱ）当时，由，可得，‎ 当，时，直线的方程为，直线与曲线有且只有一个交点．‎ 当，时，直线的方程为，直线与曲线有且只有一个交点．‎ 当时，直线的方程为，联立方程组 消去，得．①‎ 由点为曲线上一点，得，可得．‎ 于是方程①可以化简为，解得，‎ 将代入方程可得，故直线与曲线有且有一个交点，‎ 综上，直线与曲线有且只有一个交点，且交点为．‎ ‎21.解：（Ⅰ）．‎ 由于所以，．‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知．‎ ‎（i）,‎ 而，故．‎ ‎（ii）．‎ 设函数，，‎ 则，．‎ 当时，，所以在上单调递增；‎ 又，因此在上单调递增．‎ 又，所以，即，即．‎ ‎（iii）．‎ 设，．‎ 则，有．‎ 当时，，所以在上单调递增，有．‎ 所以在上单调递增．‎ 又，所以，即，故．‎ 综上可知：．‎ ‎22.解：（Ⅰ）因为直线的极坐标方程为，‎ 即，即．‎ 曲线的参数方程为（是参数），利用同角三角函数的基本关系消去，‎ 可得．‎ ‎（Ⅱ）设点为曲线上任意一点，则点到直线的距离 ‎，‎ 故当时，取最大值为．‎ ‎23.解：（Ⅰ）．‎ ‎∵，‎ ‎∴恒成立当且仅当，‎ ‎∴，即实数的最大值为1．‎ ‎（Ⅱ）当时，‎ ‎∴，‎ ‎∴或 ‎∴，‎ ‎∴实数的取值范围是．‎