2017-2018学年安徽省屯溪第一中学高二下学期期中考试数学（文）试题（解析版）

2017-2018学年安徽省屯溪第一中学高二下学期期中考试数学（文）试题（解析版）

‎2017-2018学年安徽省屯溪第一中学高二下学期期中考试数学（文）试题 一、单选题 ‎1．不等式的解集是 （ ）‎ A. 或 B. ‎ C. 或 D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】分析：利用不等式的解法即可求得结果，在求解的过程中，去掉绝对值符号是最关键的一步，之后移项求得结果.‎ 详解：由可得，解得，‎ 从而得到不等式的解集是，故选B.‎ 点睛：该题考查的是有关绝对值不等式的解法问题，在解题的过程中，关键的步骤是去绝对值符号，这就要求关于绝对值符号如何去，一定要明确.‎ ‎2．设命题，则为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】试题分析：根据否命题的定义，即既否定原命题的条件，又否定原命题的结论，存在的否定为任意，所以命题的否命题应该为，即本题的正确选项为C.‎ ‎【考点】原命题与否命题.‎ ‎3．下列各式的运算结果为纯虚数的是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】分析：首先将选项当中的每个复数都算一遍，求得结果，根据纯虚数的定义，找到结果.‎ 详解：，，，，‎ 通过比较可以知道，只有为纯虚数，故选B.‎ 点睛：该题所考查的是有关复数的问题，在解题的过程中，利用复数的运算法则、纯虚数的定义即可判断结论.‎ ‎4．我们把平面几何里相似的概念推广到空间：如果两个几何体大小不一定相等，但形状完全相同，就称它们是相似体，给出下面的几何体：‎ ‎①两个球体；②两个长方体；③两个正四面体；④两个正三棱柱；⑤两个正四棱锥，则一定是相似体的个数是（ ）‎ A. 4 B. 2 C. 3 D. 1‎ ‎【答案】B ‎【解析】分析：根据题意，结合题中所给的新定义，根据形状相同，大小不一定相同的几何体被视为相似体，逐一判断，可得结论.‎ 详解：两个长方体的长宽高的比值不能确定，两个正三棱柱的高与底面边长的比不能确定，两个正四棱锥的高与底面边长不能确定，所以②④⑤不能确定是正确的，‎ 只有所有的球体和所有的正四面体都是相似体，所以有两个是正确的，故选B.‎ 点睛：该题属于新定义的问题，属于现学现用型，这就要求我们必须把握好题中的条件，然后对选项中的几何体逐一判断，最后求得结果.‎ ‎5．“”是“，使得是真命题”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】B ‎【解析】由“，使得是真命题”，又，则,所以“”是“，使得是真命题”的必要不充分条件，故选B.‎ ‎6．焦点在轴，且焦点到准线的距离为2的抛物线方程为 （ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】分析：根据焦点到准线的距离为2，可得，结合抛物线焦点所在轴以及开口方向，即可求得抛物线的方程.‎ 详解：因为焦点在轴上，所以二次项是关于的，一次项是关于的，‎ 又焦点到准线的距离为，所以，‎ 因为这些都不能确定其开口方向，所以可左可右，故选D.‎ 点睛：该题考查的是有关求抛物线标准方程的问题，在解题的过程中，需要明确的几何意义，之后结合抛物线的开口方向不确定，所以应该有两个，从而求得最后结果.‎ ‎7．运行下列程序，若输入的的值分别为70,30，则输入的的值为（ ）‎ A. 61 B. 68 C. 75 D. 82‎ ‎【答案】C ‎【解析】分析：首先根据题中所给的框图，逐次运行，模拟其运行的过程，最后得出改程序输出的结果.‎ 详解：模拟程序框图的运行过程，如下：‎ 第一次运行：；‎ 第二次运行：；‎ 第三次运行：；‎ 第四次运行：；‎ 第五次运行：，‎ 退出循环，此时，故选C.‎ 点睛：该题考查的是有关程序框图的问题，在解题的过程中，需要根据题意，模拟程序框图的运行过程，得出该程序输出的结果.‎ ‎8．设函数在上可导，其导函数为，且函数的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是（ ）‎ A. 函数有极大值和极小值 B. 函数有极大值和极小值 C. 函数有极大值和极小值 D. 函数有极大值和极小值 ‎【答案】C ‎【解析】分析：首先利用题中所给的函数的图像，判断时对应的点以及在点的两侧的导数的符号，即可判断出函数在哪个点处取得极值以及是极大值还是极小值.‎ 详解：由函数的图像可知，‎ 并且当时，，当时，，‎ 函数有极大值，‎ 又当时，，当时，，‎ 故函数有极小值，故选D.‎ 点睛：该题考查的是有关利用导数研究函数的极值问题，在求解的过程中，关键是要会看函数的图像，能从图像中读到有用的信息，即函数在对应区间上什么时候为正，什么时候为负，什么时候为零，即可判断出函数在对应区间上的单调性，从而判断出函数的极值问题.‎ ‎9．椭圆的一条弦被平分,那么这条弦所在的直线方程是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】分析：首先设出弦的端点，分别代入椭圆方程，之后两式相减，进一步整理，借助于弦的中点坐标，求得弦所在的直线的斜率，之后用点斜式写出直线的方程，化简为一般式即可得结果.‎ 详解：设弦的两个端点，则有，‎ 两式相减得，‎ 整理得，‎ 即弦所在直线的斜率为，‎ 利用点斜式方程求得，‎ 整理得，故选D.‎ 点睛：该题考查的是有关椭圆的中点弦所在直线的方程，该解法是用点差法求得直线的斜率，也可以应用椭圆中的结论（是中点弦所在的直线，是弦的中点）直接求出直线的斜率，利用点斜式求得直线的方程.‎ ‎10．若函数在上可导，,则（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】分析：根据题中所给的条件，联想函数的求导法则，构造新函数，利用导数与单调性的关系确定出函数的单调区间，从而比较出函数值的大小，最后确定出正确结果.‎ 详解：根据可得，‎ 可知当时，，即，‎ 所以可知函数在上是增函数，即，‎ 从而得，故选A.‎ 点睛：该题考查的是有关比较函数值的大小的问题，在解题的过程中，构造新函数就起了关键性的作用，之后利用导数研究其单调性，从而求得正确结果.‎ ‎11．双曲线的左右焦点分别为、，渐近线为，点在第一象限内且在上，若则双曲线的离心率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】分析：分别求得双曲线的两条渐近线的方程，设出点P 的坐标，根据直线的斜率公式，求得直线的斜率及直线的斜率，根据直线平行及垂直的关系，即可求得的关系，根据双曲线的离心率公式，即可求得双曲线的离心率.‎ 详解：设双曲线渐近线的方程为， 的方程为，‎ 则设点坐标为，‎ 则直线的斜率，直线的斜率，‎ 由，则，即（1）‎ 由，则，解得（2），‎ 联立（1）（2），整理得：，‎ 由双曲线的离心率，‎ 所以双曲线的离心率为2，故选B.‎ 点睛：该题考查的是有关双曲线的离心率的求解问题，在解题的过程中，需要先设出点P的坐标，利用两点斜率坐标公式，将对应的直线的斜率写出，再利用两直线平行垂直的条件，得到的关系，之后借助于双曲线中的关系以及离心率的公式求得结果.‎ ‎12．已知，且，现给出如下结论：①；②；③；④其中正确结论的序号为（ ）‎ A. ②③ B. ①④ C. ①③ D. ②④‎ ‎【答案】A ‎【解析】分析：根据题中所给的函数解析式对函数求导，找出函数的极值点，结合题中条件，确定的大小关系，进一步讨论可求得结果.‎ 详解：对函数求导可得，‎ 因为，且，所以，‎ 设，‎ 因为，所以，‎ 所以，所以，‎ 所以，解得，‎ 所以，所以，‎ 所以，故答案为②③，故选A.‎ 点睛：该题属于应用导数解决函数的问题，在解题的过程中，需要应用函数的解析式对函数求导，寻找函数的极值点，从而确定函数的图像的走向，之后借助于，可以将函数解析式用来表示，进一步寻找其中的关系，之后归纳得出结论.‎ 二、填空题 ‎13．设复数满足，则=___________ .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】分析：首先利用题中所给的条件，利用方程的思想，去分母、移项、合并同类项、做除法运算，求得，之后应用复数模的计算公式，求得结果.‎ 详解：由可求得，‎ 所以，所以答案为1.‎ 点睛：该题考查的是有关复数的概念及运算问题，在解题的过程中，需要我们对复数的运算法则比较熟悉，还可以通过设出，利用复数的运算法则，以及复数相等的条件，求得结果.‎ ‎14．函数的单调递减区间为_________ .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】分析：首先对函数求导，由导数小于零求出自变量在定义域内的取值范围，即可求得函数的单调递减区间.‎ 详解：，‎ 令，求得，所以可知函数的递减区间是.‎ 点睛：该题考查的是应用导数研究函数的单调性，要明确导数小于零时，函数单调递减，还有必须要明确定义域优先原则，这里对不等式的解法也要熟练掌握.‎ ‎15．设点分别为椭圆的右焦点和上顶点， 为坐标原点，且的周长为，则实数的值为__________ .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】分析：由的周长，求得，根据椭圆的性质可知，联立即可求得，从而求得答案.‎ 详解：根据题意可知的周长为，‎ 又，可知，结合，可 以解得，故实数的值为2.‎ 点睛：该题考查的是有关椭圆的概念和性质的有关问题，在求解的过程中，需要时刻关注椭圆的定义，以及对应的顶点和焦点的坐标以及相关的线段的长度，之后找出相应的量所满足的等量关系式，最后求得结果.‎ ‎16．如图所示是一个有层的六边形点阵，它的中心是一个点，算作第1层，第2层每边有2个点，第3层每边有3个点，…，第层每边有个点，则这个点阵共有_________个点.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】分析：首先对对题中所给的点阵进行分析可知规律，每层的边上除了端点外还有若干个点，这样经过分析，就可以得到每层的点数等于线段内部的点之和最后再加上留个顶点，从而求得每层的点的个数，之和应用等差数列求和方法求得结果.‎ 详解：根据题中所给的规律，可以断定第 层每条边上有（去掉两个边的端点）个点，则第层共有（）个，‎ 所以这个点阵共有 个点，‎ 所以答案为.‎ 点睛：该题考查的是应用数列的有关问题来解决点阵的点的总数问题，处理上述解析过程中的方法外，还可以通过从第二层开始，每增加一层，就增加六个点，从而利用等差数列求和公式求得结果，注意对第一项要另外加上..‎ 三、解答题 ‎17．已知函数.‎ ‎（1）解不等式；‎ ‎（2）若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】分析：第一问首先应用绝对值的意义，利用零点分段法去掉绝对值符号，，写出分段函数，即可解出不等式的解集，第二问将不等式恒成立转化为其最小值满足条件即可，此时需要用到绝对值不等式的性质.‎ 详解：（1）不等式等价于 或或，解得或 则不等式的解集为 . ‎ ‎（2）‎ ‎∵关于的不等式恒成立，∴，‎ 故实数的取值范围为.‎ 点睛：该题考查的是有关绝对值不等式的问题，一是利用零点分短法解绝对值不等式，将其转化为分段函数或者若干个不等式组来完成，二是利用绝对值不等式的性质，也可以利用绝对值的几何意义，将恒成立问题转化为其最值考虑即可.‎ ‎18．命题：方程方程表示双曲线，命题：函数的定义域为，若命题为真命题，为假命题，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】或.‎ ‎【解析】分析：首先对命题化简，再由命题为真命题，为假命题可知这两个命题是一个为真一个为假，分两种情况，求出结果.‎ 详解：：由，得 , ‎ ‎：令由对恒成立.‎ ‎（1）当时，∴符合题意.‎ ‎（2）当时，，解得,‎ ‎∴, ‎ 又∵命题为真命题，命题为假命题，‎ ‎∴命题一真一假 , ‎ ‎∴或 , ‎ ‎∴或 . ‎ 点睛：该题考查的是有关命题的问题，在求解的过程中，首先将两个命题同时为真时对应的参数的范围求出来，之后根据题意得知是一真一假，可以通过题中所给的方法分类讨论，也可以借助于数轴，只有一条线覆盖的区域即为满足条件的值即可得结果.‎ ‎19．在某次国家领导人会议上，我国领导发表了题为《坚定信心，共谋发展》的重要讲话，引起世界各国的关注，为了了解关注程度，某机构选取了“70后”和“80后”两个年龄段作为调查对象，进行了问卷调查，共调查了120名“80后”，80名“70后”，其中调查的“80后”有40名不关注，其余的全部关注，调查的“70后”有10人不关注，其余的全部关注.‎ ‎（1）根据以上数据完成下列2×2列联表:‎ 关注 不关注 合计 ‎“70后”‎ ‎“80后”‎ 合计 ‎（2）根据2×2列联表，能否在犯错误的概率不超过的前期下，认为“关注与年龄段有关”？请说明理由.‎ 参考公式：‎ 附表：‎ ‎0.50‎ ‎0.40‎ ‎0.25‎ ‎0.15‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ ‎0.455‎ ‎0.708‎ ‎1.323‎ ‎2.072‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ ‎【答案】（1）列联表见解析；（2）能.‎ ‎【解析】分析：第一问根据题中所给的条件，将数据填到表中的对应位置，完成列联表；第二问利用公式求得的值，与临界值比较，即可得到结论.‎ 详解：（1）2×2列联表：‎ 关注 不关注 合计 ‎“70后”‎ ‎80‎ ‎40‎ ‎120‎ ‎“80”‎ ‎70‎ ‎10‎ ‎80‎ 合计 ‎50‎ ‎50‎ ‎200‎ ‎（2）根据列联表计算对照观测值得，能在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为“关注”与“不关注”与年龄有关.‎ 点睛：该题考查的是有关独立检验的问题，在解题的过程中，需要对题中的条件以及数据做相应的分析，之后填到相应的问题，完成列联表，在问有没有把握在犯错误率不超过多少时认为两者有关，这里就需要求的值，这时用好公式即可，之后与临界值比较，从而得到对应的结果.‎ ‎20．某同学在一次研究性学习中发现,以下五个式子的值都等于同一个常数:‎ ‎①；‎ ‎②；‎ ‎③；‎ ‎④；‎ ‎⑤；‎ ‎(1)试从上述五个式子中选择一个,求出这个常数;‎ ‎(2)根据(1)的计算结果,将该同学的发现推广为三角恒等式,并证明你的结论.‎ ‎【答案】（1）；（2）证明见解析.‎ ‎【解析】分析：第一问选择②式，由=，从而求得这个常数的值，第二问得到三角恒等式，证明直接利用两角差的余弦公式代入等式的左边，化简即可得结果.‎ 详解：（1）选择②式，计算如下 ‎= ‎ ‎（2）三角恒等式 ‎ 证明如下：‎ ‎=‎ ‎=‎ ‎=‎ ‎===. ‎ 点睛：该题属于推理归纳证明问题，首先需要从已知的式子中寻求那个定值，该题的解法中选择的是第二个式子，原因在于那个式子中涉及的角比较特殊，所以我们平时做题时也应用向特殊值靠拢，二是应用已知的式子，可以猜想出什么样的结论，对号入座，之后应用差角公式来证明.‎ ‎21．已知椭圆的左、右焦点分别为、，点是椭圆上的一个动点，的周长为6，且存在点使得为正三角形.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）若、、、是椭圆上不重合的四个点，与相交于点，且，若的斜率为，求四边形的面积.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】分析：第一问由题意列出关于的方程组，求得的值，结合隐含条件求得，从而求得椭圆的方程，第二问由已知向量等式可得，又，，则，分别写出所在直线的方程，之后分别于椭圆方程联立，求得的值，代入四边形面积公式求得结果.‎ 详解：（1）设为椭圆的半焦距，依题意，有：解得，‎ ‎∴‎ 故椭圆的方程为：. ‎ ‎（2）解：,又，则.‎ ‎，‎ ‎∴ ‎ ‎∴ ‎ ‎∴‎ 故四边形的面积为. ‎ 点睛：该题考查的是有关直线与椭圆的综合题，涉及到的知识点有椭圆的焦点三角形的周长、从隐含条件中得出所满足的条件，从而求导相关的参数，从而求得椭圆的方程，再者就是有关两直线垂直时对应斜率的关系，还有就是有关直线与椭圆相交时，需要联立方程组，之后根据题意求得香瓜的量即可.‎ ‎22．已知函数.‎ ‎（1）讨论函数的单调性；‎ ‎（2）设函数，当时，若在区间上存在，使得成立，求实数的取值范围.（为自然对数的底数）.‎ ‎【答案】（1），当时， 在内为增函数；当时，在内为减函数，在内为增函数；（2）.‎ ‎【解析】分析：第一问首先指出函数的定义域，之后对函数求导，结合导数大于零函数单调增，导数小于零函数单调减，所以对进行讨论，随着参数的取值的变化，导数的符号有什么样的变化趋势，从而求导最后的结果，第二问将问题转化为最值问题去处理，此时也得借助于导数研究函数的单调性从而确定出函数在哪个点处取得相应的最值，从而求得最后的结果.‎ 详解：（1）函数的定义域为，，当时，在内恒成立，所以函数在内为增函数；‎ 当时，由，得，由得 ‎∴函数在内为减函数，在内为增函数.‎ ‎（2）令 则 欲使在区间上存在，使得，‎ 只需在区间上的最小值小于零。‎ 当，即时，在上单调递减，则的最小值为 ‎∴.解得.∵，；‎ 当，即时，在上单调递增，则的最小值为 ‎∴，解得，∴；‎ 当，即时，在上单调递减，在上单调递增，则的最小值为，∵‎ ‎∴ ‎ ‎∴，此时不成立 综上所述，实数的取值范围为. ‎ 点睛：该题考查的是有关导数的综合应用问题，一是需要注意函数的单调性与导数的关系，当导数大于零时，函数单调增，导数小于零时，函数单调减，再结合参数的取值范围进行讨论，注意对分类讨论思想的应用，再者就是将恒成立问题转化为最值问题来处理是解决该类问题的思路.‎