【数学】2018届一轮复习人教A版第七章第3讲空间点、直线、平面之间的位置关系学案

【数学】2018届一轮复习人教A版第七章第3讲空间点、直线、平面之间的位置关系学案

第3讲　空间点、直线、平面之间的位置关系 ‎,　　　　　　 　　[学生用书P127])‎ ‎1．四个公理 公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内．‎ 公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面．‎ 公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．‎ 公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行．‎ ‎2．空间直线的位置关系 ‎(1)位置关系的分类 ‎(2)异面直线所成的角 ‎①定义：设a，b是两条异面直线，经过空间中任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)．‎ ‎②范围：．‎ ‎(3)定理 空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．‎ ‎3．空间中直线与平面、平面与平面的位置关系 ‎(1)空间中直线与平面的位置关系 位置关系 图形表示 符号表示 公共点 直线a在 平面α内 a⊂α 有无数个 公共点 直线 在平 面外 直线a与 平面α 平行 a∥α 没有 公共点 直线a与 平面α 斜交 a∩α＝A 有且只 有一个 公共点 直线a与 平面α 垂直 a⊥α ‎(2)空间中两个平面的位置关系 位置关系 图形表示 符号表示 公共点 两平面平行 α∥β 没有 公共点 两平 面相 交 斜交 α∩β＝l 有一条 公共 直线 垂直 α⊥β且 α∩β＝a ‎1．辨明三个易误点 ‎(1)正确理解异面直线“不同在任何一个平面内”的含义，不要理解成“不在同一个平面内”．‎ ‎(2)不共线的三点确定一个平面，一定不能丢掉“不共线”的条件．‎ ‎(3)两条异面直线所成角的范围是(0°，90°]．‎ ‎2．证明共线问题的两种途径 ‎(1)先由两点确定一条直线，再证其他点都在这条直线上；‎ ‎(2)直接证明这些点都在同一条特定直线上．‎ ‎3．证明共面问题的两种途径 ‎(1)首先由条件中的部分线(或点)确定一个平面，再证其他线(或点)在此平面内；‎ ‎(2)将所有条件分为两部分，然后分别确定平面，再证明这两个平面重合．‎ ‎1. 下列命题正确的是(　　)‎ A．经过三点确定一个平面 B．经过一条直线和一个点确定一个平面 C．四边形确定一个平面 D．两两相交且不共点的三条直线确定一个平面 ‎　D　[解析] A选项考查公理2，即三点必须不在同一条直线上，才能确定平面；B选项如果点在直线上，则该直线和这个点不能确定平面；C选项中的四边形有可能是空间四边形，只有D是正确的．‎ ‎2. 下列命题是真命题的是(　　)‎ A．m、n是两直线，α，β是两平面，若m⊂α，n⊂β，则m、n是异面直线 B．m、n、l是三条直线，若m⊥n，且l与m成50°角，则l与n成40°角 C．平面α∥平面β，直线m∥α，则m∥β D．在长方体的十二条棱中，将是异面关系的两条棱记为“一对异面直线”，则这十二条棱中共有24对异面直线 ‎　D　[解析] 对于A，m与n可能平行或相交，故A错．对于B，l与n所成的角不确定，故B错．对于C，m可能在平面β内，故C错．对于D，如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，与AA1成为一对异面直线的有BC、DC、B1C1、D1C1共4对．‎ 故异面直线对数为＝24.故D正确．‎ ‎3. 已知空间四边形的两条对角线相互垂直，顺次连接四边中点的四边形一定是(　　)‎ A．空间四边形　　　　　 B．矩形 C．菱形 D．正方形 ‎　B　[解析] 如图所示，易证四边形EFGH为平行四边形．‎ 因为E，F分别为AB，BC的中点，‎ 所以EF∥AC.‎ 又FG∥BD，‎ 所以∠EFG或其补角为AC与BD所成的角．‎ 而AC与BD所成的角为90°，‎ 所以∠EFG＝90°，‎ 故四边形EFGH为矩形．‎ ‎4．如图是正方体或四面体，P，Q，R，S分别是所在棱的中点，则这四个点不共面的一个图是(　　)‎ ‎　D　[解析] A，B，C图中四点一定共面，D中四点不共面．‎ ‎5. 如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，AC与A1B所成角的大小为________．‎ ‎[解析] 连接A1C1与BC1(图略)，由正方体性质知AC∥A1C1.则∠BA1C1即为AC与A1B所成的角，且A1C1＝A1B＝BC1.‎ 所以∠BA1C1＝60°.‎ ‎[答案] 60°‎ ‎　平面的基本性质[学生用书P128]‎ ‎[典例引领]‎ ‎　如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别是AB和AA1的中点．求证：E、C、D1、F四点共面．‎ ‎【证明】　‎ 如图所示，连接CD1、EF、A1B，‎ 因为E、F分别是AB和AA1的中点，‎ 所以EF∥A1B且EF＝A1B.‎ 又因为A1D1BC，所以四边形A1BCD1是平行四边形，‎ 所以A1B∥CD1，所以EF∥CD1，‎ 所以EF与CD1确定一个平面α，‎ 所以E、F、C、D1∈α，即E、C、D1、F四点共面．‎ 本例条件不变，如何证明“CE，D1F，DA交于一点”？‎ ‎[证明] 如图，由本例知EF∥CD1，且EF＝CD1，‎ 所以四边形CD1FE是梯形，‎ 所以CE与D1F必相交，设交点为P，‎ 则P∈CE，且P∈D1F，‎ 又CE⊂平面ABCD，且D1F⊂平面A1ADD1，‎ 所以P∈平面ABCD，且P∈平面A1ADD1.‎ 又平面ABCD∩平面A1ADD1＝AD，所以P∈AD，‎ 所以CE、D1F、DA三线共点．‎ 共点、共线、共面问题的证明方法 ‎(1)证明点共线问题：①公理法：先找出两个平面，然后证明这些点都是这两个平面的公共点，再根据基本公理3证明这些点都在交线上；②同一法：选择其中两点确定一条直线，然后证明其余点也在该直线上．‎ ‎(2)证明线共点问题：先证两条直线交于一点，再证明第三条直线经过该点．‎ ‎(3)证明点、直线共面问题：①纳入平面法：先确定一个平面，再证明有关点、线在此平面内；②辅助平面法：先证明有关的点、线确定平面α，再证明其余元素确定平面β，最后证明平面α、β重合．‎ ‎　已知空间四边形ABCD(如图所示)，E、F分别是AB、AD的中点，G、H分别是BC、CD上的点，且CG＝BC，CH＝DC.求证：‎ ‎(1)E、F、G、H四点共面；‎ ‎(2)三直线FH、EG、AC共点．‎ ‎[证明] (1)连接EF、GH，‎ 因为E、F分别是AB、AD的中点，‎ 所以EF∥BD.‎ 又因为CG＝BC，CH＝DC，‎ 所以GH∥BD，‎ 所以EF∥GH，‎ 所以E、F、G、H四点共面．‎ ‎(2)易知FH与直线AC不平行，但共面，‎ 所以设FH∩AC＝M，‎ 所以M∈平面EFHG，M∈平面ABC.‎ 又因为平面EFHG∩平面ABC＝EG，‎ 所以M∈EG，‎ 所以FH、EG、AC共点．‎ ‎　空间两直线的位置关系[学生用书P129]‎ ‎[典例引领]‎ ‎　(1)在图中，G，N，M，H分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形有________．(填上所有正确答案的序号)‎ ‎(2)如图为正方体表面的一种展开图，则图中的四条线段AB，CD，EF，GH所在直线在原正方体中互为异面的对数为________对．‎ ‎【解析】　(1)图①中，直线GH∥MN；图②中，G，H，N三点共面，‎ 但M∉面GHN，‎ 因此直线GH与MN异面；‎ 图③中，连接MG，GM∥HN，‎ 因此GH与MN共面；‎ 图④中，G，M，N共面，‎ 但H∉面GMN，‎ 因此GH与MN异面．所以在图②④中，GH与MN异面．‎ ‎(2)平面图形的翻折应注意翻折前后相对位置的变化，‎ 则AB，CD，EF和GH在原正方体中，‎ 显然AB与CD，EF与GH，AB与GH都是异面直线，‎ 而AB与EF相交，CD与GH相交，CD与EF平行．‎ 故互为异面的直线有且只有3对．‎ ‎【答案】　(1)②④　(2)3‎ ‎　 ‎ ‎[通关练习]‎ ‎1．若直线l1和l2是异面直线，l1在平面α内，l2在平面β内，l是平面α与平面β 的交线，则下列命题正确的是(　　)‎ A．l与l1，l2都不相交 B．l与l1，l2都相交 C．l至多与l1，l2中的一条相交 D．l至少与l1，l2中的一条相交 ‎　D　[解析] 由直线l1和l2是异面直线可知l1与l2不平行，故l1，l2中至少有一条与l相交．‎ ‎2. 如图，正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，C1C的中点，有以下四个结论：‎ ‎①直线AM与CC1是相交直线；‎ ‎②直线AM与BN是平行直线；‎ ‎③直线BN与MB1是异面直线；‎ ‎④直线AM与DD1是异面直线．‎ 其中正确的结论为________(把你认为正确的结论的序号都填上)．‎ ‎[解析] 直线AM与CC1是异面直线，直线AM与BN也是异面直线，故①②错误．‎ ‎[答案] ③④‎ ‎　异面直线所成的角[学生用书P130]‎ ‎[典例引领]‎ ‎　空间四边形ABCD中，AB＝CD且AB与CD所成的角为30°，E、F分别为BC、AD的中点，求EF与AB所成角的大小．‎ ‎【解】　取AC的中点G，连接EG、FG，则EGAB，FGCD，‎ 由AB＝CD知EG＝FG，‎ 所以∠GEF(或它的补角)为EF与AB所成的角，∠EGF(或它的补角)为AB与CD所成的角．‎ 因为AB与CD所成的角为30°，‎ 所以∠EGF＝30°或150°.‎ 由EG＝FG知△EFG为等腰三角形，‎ 当∠EGF＝30°时，∠GEF＝75°；‎ 当∠EGF＝150°时，∠GEF＝15°.‎ 故EF与AB所成的角为15°或75°.‎ ‎　 ‎ ‎　直三棱柱ABCA1B1C1中，∠BCA＝90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC＝CA＝CC1，则BM与AN所成角的余弦值为(　　)‎ A．　　　　　　　　　　　 B． C． D． ‎　C　[解析] 如图，取BC的中点D，‎ 连接MN，ND，AD，‎ 由于MNB1C1BD，‎ 因此有NDBM，‎ 则ND与NA所成角即为异面直线BM与AN所成角．‎ 设BC＝2，‎ 则BM＝ND＝，AN＝，AD＝，‎ 因此cos∠AND＝＝.‎ ‎,　　　　　　 　　[学生用书P130])‎ ‎——构造直观模型判断空间线面位置关系 ‎　已知m，n是两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，有下列四个命题：‎ ‎①若m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β；‎ ‎②若m∥α，n∥β，m⊥n，则α∥β；‎ ‎③若m⊥α，n∥β，m⊥n，则α∥β；‎ ‎④若m⊥α，n∥β，α∥β，则m⊥n.‎ 其中所有正确的命题是(　　)‎ A．①④　　　　　　　　　 B．②④‎ C．① D．④‎ ‎【解析】　借助于长方体模型来解决本题，对于①，可以得到平面α，β互相垂直，如图(1)所示，故①正确；对于②，平面α、β可能垂直，如图(2)所示，故②不正确；对于③，平面α、β可能垂直，如图(3)所示，故③不正确；对于④，由m⊥α，α∥β可得m⊥β，因为n∥β，所以过n作平面γ，且γ∩β＝g，如图(4)所示，所以n与交线g平行，因为m⊥g，所以m⊥n，故④正确．‎ ‎【答案】　A ‎　(1)此类空间位置关系的判断是一个难点，本题通过构造长方体模型，将已知条件中的线、面分别与长方体中的某些棱、面对应，从而使问题得以解决．‎ ‎(2)构造法实质上是结合题意构造合题意的直观模型，然后将问题利用模型直观地作出判断，这样减少了抽象性，避免了因考虑不全面而导致解题错误．‎ ‎(3)对于线面、面面平行、垂直的位置关系的判定，可构造长方体或正方体化抽象为直观去判断．‎ ‎　1.已知空间三条直线l，m，n，若l与m异面，且l与n异面，则(　　)‎ A．m与n异面 B．m与n相交 C．m与n平行 D．m与n异面、相交、平行均有可能 ‎　D　[解析] 在如图所示的长方体中，m，n1与l都异面，但是m∥n1，所以A，B错误；m，n2与l都异面，且m，n2也异面，所以C错误．‎ ‎2．在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别为棱AA1、CC1的中点，则在空间中与三条直线A1D1，EF，CD都相交的直线有________条．‎ ‎[解析] 法一：如图，在EF上任意取一点M，直线A1D1与M确定一个平面，这个平面与CD有且仅有一个交点N，当M取不同的位置时就确定不同的平面，从而与CD有不同的交点N，而直线MN与这三条异面直线都有交点，所以在空间中与这三条直线都相交的直线有无数条．‎ 法二：在A1D1上任取一点P，过点P与直线EF作一个平面α，因为CD与平面α不平行，所以它们相交，设它们交于点Q，连接PQ(图略)，则PQ与EF必然相交，即PQ为所求直线．由点P的任意性，知有无数条直线与三条直线A1D1，EF，CD都相交．‎ ‎[答案] 无数 ‎,　　　　　　　 　　[学生用书P335(独立成册)])‎ ‎1．四条线段顺次首尾相连，它们最多可确定的平面个数有(　　)‎ A．4个　　　　　　　　　 B．3个 C．2个 D．1个 ‎　A　[解析] 首尾相连的四条线段每相邻两条确定一个平面，所以最多可以确定四个平面．‎ ‎2．(2016·高考山东卷)已知直线a，b分别在两个不同的平面α，β内．则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的(　　)‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎　A　[解析] 若直线a，b相交，设交点为P，则P∈a，P∈b.又a⊂α，b⊂β，所以P∈α，P∈β，故α，β相交．反之，若α，β相交，则a，b可能相交，也可能异面或平行．故“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的充分不必要条件．‎ ‎3．已知l1，l2，l3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是(　　)‎ A．l1⊥l2，l2⊥l3⇒l1∥l3‎ B．l1⊥l2，l2∥l3⇒l1⊥l3‎ C．l1∥l2∥l3⇒l1，l2，l3共面 D．l1，l2，l3共点⇒l1，l2，l3共面 ‎　B　[解析] 在空间中，垂直于同一直线的两条直线不一定平行，故A错；两条平行直线中的一条垂直于第三条直线，则另一条也垂直于第三条直线，B正确；相互平行的三条直线不一定共面，如三棱柱的三条侧棱，故C错；共点的三条直线不一定共面，如三棱锥的三条侧棱，故D错．‎ ‎4．若空间中四条两两不同的直线l1，l2，l3，l4，满足l1⊥l2，l2⊥l3，l3⊥l4，则下列结论一定正确的是(　　)‎ A．l1⊥l4‎ B．l1∥l4‎ C．l1与l4既不垂直也不平行 D．l1与l4的位置关系不确定 ‎　D　[解析] 如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，记l1＝DD1，l2＝DC，l3＝DA，若l4＝AA1，满足l1⊥l2，l2⊥l3，l3⊥l4，此时l1∥l4，可以排除选项A和C.若l4＝DC1，也满足条件，可以排除选项B.故选D.‎ ‎5. 如图，α∩β＝l，A，B∈α，C∈β，且C∉l，直线AB∩l＝M，过A，B，C三点的平面记作γ，则γ与β的交线必经过(　　)‎ A．点A B．点B C．点C但不过点M D．点C和点M ‎　D　[解析] 因为AB⊂γ，M∈AB，所以M∈γ.‎ 又α∩β＝l，M∈l，所以M∈β.‎ 根据公理3可知，M在γ与β的交线上．‎ 同理可知，点C也在γ与β的交线上．‎ ‎6．(2017·郑州模拟) 如图所示，ABCDA1B1C1D1是正方体，O是B1D1的中点，直线A1C交平面AB1D1于点M，则下列结论正确的是(　　)‎ A．A，M，O三点共线 B．A，M，O，A1不共面 C．A，M，C，O不共面 D．B，B1，O，M共面 ‎　A　[解析] 连接A1C1，AC(图略)，则A1C1∥AC，‎ 所以A1，C1，A，C四点共面，所以A1C⊂平面ACC1A1.‎ 因为M∈A1C，所以M∈平面ACC1A1.‎ 又M∈平面AB1D1，‎ 所以M在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上，‎ 同理A，O在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上．‎ 所以A，M，O三点共线．‎ ‎7. 如图，平行六面体ABCDA1B1C1D1中既与AB共面又与CC1共面的棱有________条．‎ ‎ [解析] 依题意，与AB和CC1都相交的棱有BC；与AB相交且与CC1平行有棱AA1，BB1；与AB平行且与CC1相交的棱有CD，C1D1.故符合条件的有5条．‎ ‎[答案] 5‎ ‎8．如图所示，在空间四边形ABCD中，点E、H分别是边AB、AD的中点，点F、G分别是边BC、CD上的点，且＝＝，则下列说法正确的是________．‎ ‎①EF与GH平行；‎ ‎②EF与GH异面；‎ ‎③EF与GH的交点M可能在直线AC上，也可能不在直线AC上；‎ ‎④EF与GH的交点M一定在直线AC上．‎ ‎[解析] 连接EH，FG，依题意，可得EH∥BD，FG∥BD，故EH∥FG，所以E、F、G、H共面．因为EH＝BD，FG＝BD，故EH≠FG，所以EFGH是梯形，EF与GH必相交，设交点为M.因为点M在EF上，故点M在平面ACB上．同理，点M在平面ACD上，所以点M是平面ACB与平面ACD的交点，又AC是这两个平面的交线，所以点M一定在直线AC上．‎ ‎[答案] ④‎ ‎9. 如图所示，正方体的棱长为1，B′C∩BC′＝O，则AO与A′C′所成角的度数为________．‎ ‎ [解析] 连接AC.因为A′C′∥AC，‎ 所以AO与A′C′所成的角就是∠OAC(或其补角)．‎ 因为OC⊥OB，AB⊥平面BB′C′C，‎ 所以OC⊥AB.又AB∩BO＝B，‎ 所以OC⊥平面ABO.‎ 又OA⊂平面ABO，所以OC⊥OA.‎ 在Rt△AOC中，OC＝，AC＝，‎ sin∠OAC＝＝，‎ 所以∠OAC＝30°.即AO与A′C′所成角的度数为30°.‎ ‎[答案] 30°‎ ‎10．已知a，b，c为三条不同的直线，且a⊂平面α，b⊂平面β，α∩β＝c.‎ ‎①若a与b是异面直线，则c至少与a，b中的一条相交；‎ ‎②若a不垂直于c，则a与b一定不垂直；‎ ‎③若a∥b，则必有a∥c；‎ ‎④若a⊥b，a⊥c，则必有α⊥β.‎ 其中正确的命题为________．‎ ‎[解析] ①中若a与b是异面直线，则c至少与a，b中的一条相交，故①正确；②中平面α⊥平面β时，若b⊥c，则b⊥平面α，此时不论a，c是否垂直，均有a⊥b，故②错误；③中当a∥b时，则a∥平面β，由线面平行的性质定理可得a∥c，故③正确；④中若b∥c，则a⊥b，a⊥c时，a与平面β不一定垂直，此时平面α与平面β也不一定垂直，故④错误．‎ ‎[答案] ①③‎ ‎11. 如图所示，A是△BCD所在平面外的一点，E，F分别是BC，AD的中点．‎ ‎ (1)求证：直线EF与BD是异面直线；‎ ‎(2)若AC⊥BD，AC＝BD，求EF与BD所成的角．‎ ‎[解] (1)证明：假设EF与BD不是异面直线，则EF与BD共面，从而DF与BE共面，即AD与BC共面，所以A，B，C，D在同一平面内，这与A是△BCD所在平面外的一点相矛盾．故直线EF与BD是异面直线．‎ ‎(2)取CD的中点G，连接EG，FG，则AC∥FG，EG∥BD，所以相交直线EF与EG所成的角，即为异面直线EF与BD所成的角．‎ 又因为AC⊥BD，则FG⊥EG.‎ 在Rt△EGF中，由EG＝FG＝AC，求得∠FEG＝45°，即异面直线EF与BD所成的角为45°.‎ ‎12．设四面体的六条棱的长分别为1，1，1，1，和a，且长为a的棱与长为的棱异面，则a的取值范围是________．‎ ‎[解析] 构造四面体ABCD，使AB＝a，CD＝，AD＝AC＝BC＝BD＝1，取CD的中点E ‎，则AE＝BE＝，‎ 所以＋>a，所以0

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