【数学】2020届江苏一轮复习通用版6-1平面向量的概念、线性运算及平面向量的坐标表示作业

【数学】2020届江苏一轮复习通用版6-1平面向量的概念、线性运算及平面向量的坐标表示作业

专题六　平面向量 ‎【真题典例】‎ ‎6.1　平面向量的概念、线性运算及平面向量的坐标表示 挖命题 ‎【考情探究】‎ 考点 内容解读 ‎5年考情 预测热度 考题示例 考向 关联考点 向量的线性运算与几何意义 ‎1.几何图形中的向量表示 ‎2.利用向量关系求参数 ‎★★☆‎ 平面向量基本定理及坐标运算 ‎1.利用基向量表示平面向量 ‎2.向量的坐标运算 ‎2015江苏,6‎ 平面向量的坐标与坐标运算 ‎★★☆‎ 分析解读　　江苏在这一部分主要考查平面向量基本定理和线性运算及坐标运算,考查小题时多考查平面向量基本定理,考查大题时主要将向量作为工具求解解三角形等问题.‎ 破考点 ‎【考点集训】‎ 考点一　向量的线性运算与几何意义 ‎1.(2018江苏东台安丰高级中学月考)在△ABC中,∠ABC=120°,BA=2,BC=3,D,E是线段AC的三等分点,则BD·BE的值为　　　　. ‎ 答案　‎‎11‎‎9‎ ‎2.如图所示,在△ABC中,D为BC边上的一点,且BD=2DC,若AC=mAB+nAD(m,n∈R),则m-n=　　　　. ‎ 答案　-2‎ ‎3.已知P是△ABC内一点,且AP+2BP+3CP=0,设Q为CP的延长线与AB的交点,令CP=p,用p表示CQ.‎ 解析　∵AP=AQ+QP,BP=BQ+QP,‎ ‎∴(AQ+QP)+2(BQ+QP)+3CP=0,‎ 即AQ+3QP+2BQ+3CP=0.‎ 又∵A,Q,B三点共线,C,P,Q三点共线,‎ ‎∴设AQ=λBQ,CP=μQP.‎ ‎∴λBQ+3QP+2BQ+3μQP=0,(λ+2)BQ+(3+3μ)QP=0.‎ 又∵BQ,QP为不共线的向量,∴‎λ+2=0,‎‎3+3μ=0.‎ 解得λ=-2,μ=-1.‎ ‎∴CP=-QP=PQ,故CQ=CP+PQ=2CP=2p.‎ 考点二　平面向量基本定理及坐标运算 ‎1.已知向量OA=(1,-3),OB=(2,-1),OC=(m+1,m-2),若点A,B,C能构成三角形,则实数m应满足的条件是　　　　. ‎ 答案　m≠1‎ ‎2.在平行四边形ABCD中,E和F分别是边CD和BC的中点,若AC=λAE+μAF,其中λ,μ∈R,则λ+μ=　　　　. ‎ 答案　‎‎4‎‎3‎ ‎3.(2017江苏南京高淳质检,13)在边长为1的正△ABC中,已知BD=xBA,CE=yCA,x>0,y>0,且x+y=1,则CD·BE的最大值为　　　　. ‎ 答案　-‎‎3‎‎8‎ ‎4.(2018江苏无锡期中,15)已知三点A(1,-1),B(3,0),C(2,1),P为平面ABC上的一点,AP=λAB+μAC,且AP·AB=0,AP·AC=3.‎ ‎(1)求AB·AC;‎ ‎(2)求λ+μ的值.‎ 解析　(1)因为AB=(2,1),AC=(1,2),‎ 所以AB·AC=2+2=4.‎ ‎(2)因为AP·AB=0,所以AP⊥AB.‎ 因为AB=(2,1),‎ 所以可设AP=(a,-2a),‎ 因为AP·AC=3,‎ 所以(a,-2a)·(1,2)=3,‎ 所以a-4a=3,‎ 所以a=-1.‎ 所以AP=(-1,2),‎ 因为AP=λAB+μAC,‎ 所以(-1,2)=λ(2,1)+μ(1,2)=(2λ+μ,λ+2μ),‎ 所以‎-1=2λ+μ,‎‎2=λ+2μ,‎解得λ=-‎4‎‎3‎,‎μ=‎5‎‎3‎,‎ 所以λ+μ=‎1‎‎3‎.‎ 炼技法 ‎【方法集训】‎ 方法一　平面向量的线性运算 ‎1.已知△ABC和点M满足MA+MB+MC=0.若存在实数m使得AB+AC=mAM成立,则m=　　　　. ‎ 答案　3‎ ‎2.如图,在△ABC中,BO为边AC上的中线,BG=2GO,设CD∥AG,若AD=‎1‎‎5‎AB+λAC(λ∈R),则λ的值为　　　　. ‎ 答案　‎‎6‎‎5‎ 方法二　平面向量的坐标运算 ‎1.已知向量a=(1,0),b=(2,1),c=(x,1),若3a-b与c共线,则x的值为　　　　. ‎ 答案　-1‎ ‎2.在矩形ABCD中,AB=‎5‎,BC=‎3‎,P为矩形内一点,且AP=‎5‎‎2‎,AP=λAB+μAD(λ,μ∈R),则‎5‎λ+‎3‎μ的最大值为　　　　. ‎ 答案　‎‎10‎‎2‎ 过专题 ‎【五年高考】‎ A组　自主命题·江苏卷题组 ‎　(2015江苏,6,5分)已知向量a=(2,1),b=(1,-2),若ma+nb=(9,-8)(m,n∈R),则m-n的值为　　　　. ‎ 答案　-3‎ B组　统一命题、省(区、市)卷题组 考点一　向量的线性运算与几何意义 ‎1.(2018课标全国Ⅰ理改编,6,5分)在△ABC中,AD为BC边上的中线,E为AD的中点,则下列正确的是　　　　. ‎ ‎①EB=‎3‎‎4‎AB-‎‎1‎‎4‎AC ‎②EB=‎1‎‎4‎AB-‎‎3‎‎4‎AC ‎③EB=‎3‎‎4‎AB+‎‎1‎‎4‎AC ‎④EB=‎1‎‎4‎AB+‎‎3‎‎4‎AC 答案　①‎ ‎2.(2017课标全国Ⅱ文改编,4,5分)设非零向量a,b满足|a+b|=|a-b|,则下列正确的是　　　　. ‎ ‎①a⊥b;②|a|=|b|;③a∥b;④|a|>|b|.‎ 答案　①‎ ‎3.(2014课标Ⅰ,15,5分)已知A,B,C为圆O上的三点,若AO=‎1‎‎2‎(AB+AC),则AB与AC的夹角为　　　　. ‎ 答案　90°‎ ‎4.(2014课标Ⅰ改编,6,5分)设D,E,F分别为△ABC的三边BC,CA,AB的中点,则EB+FC=　　　　. ‎ 答案　‎AD 考点二　平面向量基本定理及坐标运算 ‎1.(2015课标Ⅰ改编,2,5分)已知点A(0,1),B(3,2),向量AC=(-4,-3),则向量BC=　　　　. ‎ 答案　(-7,-4)‎ ‎2.(2015课标Ⅰ改编,7,5分)设D为△ABC所在平面内一点,BC=3CD,则用AB,AC表示AD为　　　　. ‎ 答案　-‎1‎‎3‎AB+‎‎4‎‎3‎AC ‎3.(2017课标全国Ⅲ理改编,12,5分)在矩形ABCD中,AB=1,AD=2,动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上.若AP=λAB+μAD,则λ+μ的最大值为　　　　. ‎ 答案　3‎ C组　教师专用题组 ‎1.(2009全国Ⅰ文改编,8,5分)设非零向量a、b、c满足|a|=|b|=|c|,a+b=c,则=　　　　. ‎ 答案　120°‎ ‎2.(2011课标全国改编,12,5分)设向量a,b,c满足|a|=|b|=1,a·b=-‎1‎‎2‎,=60°,则|c|的最大值等于　　　　. ‎ 答案　2‎ ‎3.(2013江苏,10,5分)设D,E分别是△ABC的边AB,BC上的点,AD=‎1‎‎2‎AB,BE=‎2‎‎3‎BC.若DE=λ1AB+λ2AC(λ1,λ2为实数),则λ1+λ2的值为　　　　. ‎ 答案　‎‎1‎‎2‎ ‎4.(2010全国Ⅱ改编,10,5分)△ABC中,点D在边AB上,CD平分∠ACB.若CB=a,CA=b,|a|=1,|b|=2,则CD=　　　　.(用a,b表示). ‎ 答案　‎2‎‎3‎a+‎1‎‎3‎b ‎【三年模拟】‎ 一、填空题(每小题5分,共45分)‎ ‎1.(2019届江苏扬州中学高三10月月考)已知向量OA=(k,12),OB=(4,5),OC=(10,k),当A,B,C三点共线时,实数k的值为　　　　. ‎ 答案　-2或11‎ ‎2.(2017江苏南通中学期中,6)如图,在正方形ABCD中,点E是DC的中点,点F是BC上靠近点B的三等分点,那么EF=　　　　　　.(用AB和AD表示) ‎ 答案　‎1‎‎2‎AB-‎‎2‎‎3‎AD ‎3.(2017江苏赣榆高级中学月考)设M为平行四边形ABCD对角线的交点,O为平行四边形ABCD所在平面内任意一点,若OA+OB+OC+OD=λOM,则λ=　　　　. ‎ 答案　4‎ ‎4.(2019届江苏海安高级中学10月月考)在△OAC中,B为AC的中点,若OC=xOA+yOB,则x-y=　　　　. ‎ 答案　-3‎ ‎5.(2019届江苏南通启东中学上学期期初)已知向量a=‎8,‎x‎2‎,b=(x,1),其中x>0,若(a-2b)∥(2a+b),则x=　　　　. ‎ 答案　4‎ ‎6.(2018江苏泰州中学高三期初,11)在△ABC中,AB=BC=2,AC=3,设O是△ABC的内心,若AO=pAB+qAC,则pq的值为　　　　. ‎ 答案　‎‎3‎‎2‎ ‎7.(2019届江苏清江中学模拟)在直角坐标系xOy中,已知点A,B,C是圆x2+y2=4上的动点,且满足AC⊥BC.若点P的坐标为(0,3),则|PA+PB+PC|的最大值为　　　　. ‎ 答案　11‎ ‎8.(2018江苏泰州中学高三期中,13)在△ABC中,过BC边的中线AD上一点E作直线分别交AB,AC于M,N两点,且AE=2ED,设AM=xAB,AN=yAC(xy≠0),则9x+y的最小值为　　　　. ‎ 答案　‎‎16‎‎3‎ ‎9.(2019届江苏苏州模拟)如图,在梯形ABCD中,DC=2AB,P为线段CD上一点,且DC=3PC,E为BC的中点,若EP=λ1AB+λ2AD(λ1,λ2∈R),则λ1+λ2的值为　　　　. ‎ 答案　‎‎1‎‎3‎ 二、解答题(共20分)‎ ‎10.(2019届江苏盐城期中)给定两个长度为1的平面向量OA和OB,它们的夹角为120°,如图所示.点C在以O为圆心的圆弧AB上运动.若OC=xOA+yOB,其中x,y∈R,求x+y的最大值.‎ 解析　以O为坐标原点,OA所在的直线为x轴,OA的方向为x轴的正方向,建立平面直角坐标系,则可知A(1,0),B‎-‎1‎‎2‎,‎‎3‎‎2‎,设C(cos α,sin α)α∈‎‎0,‎‎2π‎3‎,∵OC=xOA+yOB,∴(cos α,sin α)=x-y‎2‎,‎3‎‎2‎y,则有x=cos α+‎3‎‎3‎sin α,y=‎2‎‎3‎‎3‎sin α,所以x+y=cos α+‎3‎sin α=2sinα+‎π‎6‎,所以当α=π‎3‎时,x+y取得最大值2.‎ ‎11.(2017江苏徐州沛县中学质检,20)在平面直角坐标系中,O为坐标原点,A、B、C三点满足OC=‎1‎‎3‎OA+‎2‎‎3‎OB.‎ ‎(1)求证:A、B、C三点共线;‎ ‎(2)求‎|AC|‎‎|CB|‎的值;‎ ‎(3)已知A(1,cos x),B(1+cos x,cos x),x∈‎0,‎π‎2‎,f(x)=OA·OC-‎2m+‎‎2‎‎3‎|AB|的最小值为-‎3‎‎2‎,求实数m的值.‎ 解析　(1)证明:由已知得OC-OA=‎2‎‎3‎(OB-OA),‎ 即AC=‎2‎‎3‎AB,‎ ‎∴AC∥AB.又∵AC、AB有公共点A,∴A、B、C三点共线.‎ ‎(2)由(1)易知,AC=‎2‎‎3‎(AC+CB),∴‎1‎‎3‎AC=‎2‎‎3‎CB,‎ ‎∴AC=2CB,‎ ‎∴‎|AC|‎‎|CB|‎=2.‎ ‎(3)易知C‎1+‎2‎‎3‎cosx,cosx,AB=(cos x,0),‎ ‎∴f(x)=OA·OC-‎2m+‎‎2‎‎3‎|AB|‎ ‎=1+‎2‎‎3‎cos x+cos2x-‎2m+‎‎2‎‎3‎cos x=(cos x-m)2+1-m2,‎ ‎∵x∈‎0,‎π‎2‎,∴cos x∈[0,1].‎ 若m<0,则当cos x=0时,f(x)取得最小值1,与已知矛盾;‎ 若0≤m≤1,则当cos x=m时,f(x)取得最小值1-m2,令1-m2=-‎3‎‎2‎,得m=±‎10‎‎2‎(舍);‎ 若m>1,则当cos x=1时,f(x)取得最小值2-2m,令2-2m=-‎3‎‎2‎,得m=‎7‎‎4‎,因为‎7‎‎4‎>1,所以符合题意.‎ 综上所述,m=‎7‎‎4‎.‎