【数学】2019届一轮复习人教A版 直接证明与间接证明 学案

【数学】2019届一轮复习人教A版 直接证明与间接证明 学案

直接证明与间接证明 ‎【考点梳理】‎ ‎1．直接证明 内容 综合法 分析法 定义 利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立 从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件 思维过程 由因导果 执果索因 框图表示 →→…→‎ →→…→ 书写格式 因为…，所以…或由…，得…‎ 要证…，只需证…，即证…‎ ‎2．间接证明 反证法：一般地，假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法．‎ ‎【考点突破】‎ 考点一、综合法 ‎【例1】在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin Asin B＋sin Bsin C＋cos 2B＝1.‎ ‎(1)求证：a，b，c成等差数列．‎ ‎(2)若C＝，求证：‎5a＝3b.‎ ‎[解析] (1)由已知得sin Asin B＋sin Bsin C＝2sin2B，‎ 因为sin B≠0，‎ 所以sin A＋sin C＝2sin B，‎ 由正弦定理，有a＋c＝2b，‎ 即a，b，c成等差数列．‎ ‎(2)由C＝，c＝2b－a及余弦定理得 ‎(2b－a)2＝a2＋b2＋ab，‎ 即有5ab－3b2＝0，‎ 所以‎5a＝3b.‎ ‎【类题通法】‎ 掌握综合法证明问题的思路 ‎【对点训练】‎ 已知数列{an}的前n项和Sn＝，n∈N .‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式；‎ ‎(2)证明：对任意的n>1，都存在m∈N ，使得a1，an，am成等比数列．‎ ‎[解析] (1)由Sn＝，得a1＝S1＝1，‎ 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝3n－2，当n＝1时也适合．‎ 所以数列{an}的通项公式为an＝3n－2.‎ ‎(2)证明：要使得a1，an，am成等比数列，‎ 只需要a＝a1·am，‎ 即(3n－2)2＝1·(‎3m－2)，‎ 即m＝3n2－4n＋2，而此时m∈N ，且m>n.‎ 所以对任意的n>1，都存在m∈N ，使得a1，an，am成等比数列．‎ 考点二、分析法 ‎【例2】已知a>0，求证：－≥a＋－2.‎ ‎[解析] 要证－≥a＋－2，‎ 只需要证＋2≥a＋＋.‎ 因为a>0，故只需要证2≥2，‎ 即a2＋＋4＋4≥a2＋2＋＋2＋2，‎ 从而只需要证2≥，‎ 只需要证4≥2，‎ 即a2＋≥2，而上述不等式显然成立，故原不等式成立.‎ ‎【类题通法】‎ ‎1．利用分析法证明问题的思路 分析法的证明思路：先从结论入手，由此逐步推出保证此结论成立的充分条件，而当这些判断恰恰都是已证的命题(定义、公理、定理、法则、公式等)或要证命题的已知条件时命题得证．‎ ‎2．分析法证明问题的适用范围 当已知条件与结论之间的联系不够明显、直接，或证明过程中所需用的知识不太明确、具体时，往往采用分析法，特别是含有根号、绝对值的等式或不等式，常考虑用分析法．‎ ‎【对点训练】‎ 若a，b∈(1，＋∞)，证明<.‎ ‎[解析] 要证<，‎ 只需证()2<()2，‎ 只需证a＋b－1－ab<0，‎ 即证(a－1)(1－b)<0.‎ 因为a>1，b>1，‎ 所以a－1>0，1－b<0，‎ 即(a－1)(1－b)<0成立，‎ 所以原不等式成立．‎ 考点三、反证法 ‎【例3】(1)用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x3＋ax＋b＝0至少有一个实数根”时，假设为(　　)‎ A．方程x3＋ax＋b＝0没有实数根 B．方程x3＋ax＋b＝0至多有一个实数根 C．方程x3＋ax＋b＝0至多有两个实数根 D．方程x3＋ax＋b＝0恰好有两个实数根 ‎(2)已知x∈R，a＝x2＋，b＝2－x，c＝x2－x＋1，试证明a，b，c至少有一个不小于1.‎ ‎[答案] (1) A ‎[解析] (1)“至少有一个实数根”的否定是“一个实数根也没有”，即“没有实数根”．‎ ‎(2)假设a，b，c均小于1，‎ 即a<1，b<1，c<1，‎ 则有a＋b＋c<3，‎ 而a＋b＋c＝2x2－2x＋＋3＝22＋3≥3，‎ 两者矛盾，所以假设不成立，‎ 故a，b，c至少有一个不小于1.‎ ‎【类题通法】‎ ‎1．反证法证明问题的3步骤 ‎2．反证法的适用范围 ‎(1)否定性命题；‎ ‎(2)命题的结论中出现“至少”“至多”“唯一”等词语的；‎ ‎(3)当命题成立非常明显，而要直接证明所用的理论太少，且不容易说明，而其逆否命题又是非常容易证明的；‎ ‎(4)要讨论的情况很复杂，而反面情况很少．‎ ‎【对点训练】‎ ‎1．①已知p3＋q3＝2，求证p＋q≤2，用反证法证明时，可假设p＋q≥2；②已知a，b∈R，|a|＋|b|<1，求证方程x2＋ax＋b＝0的两根的绝对值都小于1，用反证法证明时可假设方程有一根x1的绝对值大于或等于1，即假设|x1|≥1.以下正确的是(　　)‎ A．①与②的假设都错误 B．①与②的假设都正确 C．①的假设正确；②的假设错误 D．①的假设错误；②的假设正确 ‎[答案] D ‎[解析] 反证法的实质是否定结论，对于①，其结论的反面是p＋q＞2，所以①不正确；对于②，其假设正确.‎ ‎2．设x，y， ∈R＋，a＝x＋，b＝y＋，c＝ ＋，则a，b，c三个数(　　)‎ A．至少有一个不大于2 B．都小于2‎ C．至少有一个不小于2 D．都大于2‎ ‎[答案] C ‎[解析] 假设a，b，c都小于2，则a＋b＋c＜6，而a＋b＋c＝x＋＋y＋＋ ＋＝＋＋≥2＋2＋2＝6，与a＋b＋c＜6矛盾，‎ ‎∴a，b，c都小于2不成立．‎ ‎∴a，b，c三个数至少有一个不小于2.故选C.‎