2018-2019学年四川省绵阳中学高一下学期第三次月考试数学试题（解析版）

2018-2019学年四川省绵阳中学高一下学期第三次月考试数学试题（解析版）

‎2018-2019学年四川省绵阳中学高一下学期第三次月考试数学试题 一、单选题 ‎1．若且，则下列不等式成立的是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】利用作差法对每一个选项逐一判断分析.‎ ‎【详解】‎ 选项A, 所以a≥b,所以该选项错误；‎ 选项B, ，符合不能确定，所以该选项错误；‎ 选项C, ，符合不能确定，所以该选项错误；‎ 选项D, ，所以，所以该选项正确.‎ 故选：D ‎【点睛】‎ 本题主要考查实数大小的比较，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.‎ ‎2．若是互相垂直的单位向量且，则（ ）‎ A．3 B．-3 C．1 D．-1‎ ‎【答案】B ‎【解析】由向量垂直的数量积表示化简求解.‎ ‎【详解】‎ 由题得 故选：B ‎【点睛】‎ 本题主要考查向量垂直的数量积表示，考查数量积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.‎ ‎3．已知数列为等比数列，且，，则（ ）‎ A．5 B． C．4 D．-4‎ ‎【答案】C ‎【解析】利用等比中项的性质求解.‎ ‎【详解】‎ 由题得.‎ 因为等比数列的奇数项同号，所以.‎ 故选：C ‎【点睛】‎ 本题主要考查等比数列的性质和等比中项的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.‎ ‎4．下列4个命题中，两直线，平面：①若，则平行于经过的任何平面；②若直线平面，则与内任一直线平行；③若，，则；④，，，则．正确命题个数为（ ）‎ A．0 B．1 C．2 D．3‎ ‎【答案】B ‎【解析】利用空间直线和平面的位置关系对每一个命题逐一判断得解.‎ ‎【详解】‎ ‎①若，则平行于经过的任何平面,是错误的，因为a,b有可能在一个平面内；‎ ‎②若直线平面，则与内任一直线平行，是错误的，因为与内任一直线平行或异面；‎ ‎③若，，则，是错误的，因为a和b可能平行，相交或异面；‎ ‎④，，，则．是正确的；‎ 故选：B ‎【点睛】‎ 本题主要考查空间直线和平面的位置关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.‎ ‎5．已知变量满足约束条件，则的最大值为（ ）‎ A．8 B．7 C．6 D．4‎ ‎【答案】B ‎【解析】先画出满足约束条件的平面区域，然后求出目标函数取最大值时对应 的最优解点的坐标，代入目标函数即可求出答案．‎ ‎【详解】‎ 满足约束条件的平面区域如下图所示：‎ 作直线 把直线向上平移可得过点时最小 当，时，取最大值 7，‎ 故答案为 7．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查的知识点是简单线性规划，其中画出满足约束条件的平面区域，找出目标函数的最 优解点的坐标是解答本题的关键．‎ ‎6．圆台上底半径为2，下底半径为6，母线长为5，则圆台的体积为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】作出圆台的轴截面，由圆台的上、下底面半径分别为2，6，构造直角三角形，结合母线长 为5，由勾股定理求出圆台的高．再求圆台的体积.‎ ‎【详解】‎ 作出圆台的轴截面如图所示：‎ 上底面半径，下底面半径，过做垂直，‎ 则 由 故 即圆台的高为3,‎ 所以圆台的体积为.‎ 故选：．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查的知识点是旋转体及其体积的计算，圆台的几何特征，其中画出轴截面，将空间问题转化为平面问题是解答的关键．‎ ‎7．已知是正项等比数列且，与的等差中项为18，则（ ）‎ A．2 B．4 C．8 D．16‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题得到关于的方程组，解方程组即得的值，再求得解.‎ ‎【详解】‎ 由题得.‎ 所以.‎ 故选：C ‎【点睛】‎ 本题主要考查等比数列的性质和等差中项的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.‎ ‎8．已知，与夹角为，则与的夹角为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】先求出，再代向量的夹角公式求解即可.‎ ‎【详解】‎ 由题得，‎ 所以与的夹角为，‎ 所以两向量的夹角为.‎ 故选：C ‎【点睛】‎ 本题主要考查向量的夹角的求法，考查平面向量的数量积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.‎ ‎9．关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】由已知，不等式为，所以或，故选C．‎ ‎10．点为所在平面内一点，则的形状为（ ）‎ A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 ‎【答案】B ‎【解析】由得OA和BC垂直，由得到OA是∠BAC的角平分线，综合即可判断△ABC的形状.‎ ‎【详解】‎ ‎,‎ 所以.‎ AO在∠BAC的角平分线上，‎ 所以AO既在BC边的高上，也是∠BAC的平分线，‎ 所以△ABC是等腰三角形.‎ 故选：B ‎【点睛】‎ 本题主要考查平面向量的加法法则和减法法则的几何应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.‎ ‎11．在中，，，则周长的最大值为（ ）‎ A．8 B．7 C．6 D．5‎ ‎【答案】C ‎【解析】先由得到A=,再利用基本不等式求b+c的最大值，即得三角形周长的最大值.‎ ‎【详解】‎ 由题得 所以 所以,‎ 因为 所以.‎ 由余弦定理得,‎ 所以，‎ 当且仅当b=c=2时取等.‎ 所以.‎ 故选：C ‎【点睛】‎ 本题主要考查正弦定理余弦定理解三角形，考查基本不等式求最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.‎ ‎12．己知等差数列的公差为-1，前项和为，若为某三角形的三边长，且该三角形有一个内角为，则的最大值为（ ）‎ A．25 B．40 C．50 D．45‎ ‎【答案】D ‎【解析】利用已知条件，结合余弦定理，转化求解数列的和，然后求解的最大值．‎ ‎【详解】‎ 等差数列的公差为，为某三角形的三边长，且该三角形有一个内角为，‎ 可得：，‎ 得，所以（舍或，‎ ‎．‎ 所以n=9或n=10时，‎ 故的最大值为．‎ 故选：．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查等差数列的性质和等差数列的前n项和及其最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.‎ 二、填空题 ‎13．若数列的前项和为，则通项公式为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】利用 求解，但要注意验证n=1时 是否成立.‎ ‎【详解】‎ 当n=1时， ；‎ ‎ ‎ 又 ‎ ， ‎ ‎【点睛】‎ 本题考查利用数列前n项和求数列通项公式，属于基础题目，解题中需要注意利用公式求解出的通项公式需要验证n=1时，是否满足题目条件.‎ ‎14．如图，已知为的一条弦，且，则__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】过点O作OA⊥PQ,垂足为A. 则PA=AQ，再利用平面向量的数量积和三角函数求解.‎ ‎【详解】‎ ‎,‎ 过点O作OA⊥PQ,垂足为A. 则PA=AQ.‎ 因为，所以,‎ 所以.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查直线和圆的位置关系，考查平面向量的数量积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.‎ ‎15．已知矩形的周长为16，矩形绕它的一条边旋转形成一个圆柱的侧面积的最大值为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】利用矩形的周长公式、基本不等式的性质、圆柱的侧面积计算公式即可得出．‎ ‎【详解】‎ 如图所示，‎ 设矩形的长与宽分别为，．‎ 则，即．‎ ‎，当且仅当时取等号．‎ 解得．‎ 旋转形成的圆柱的侧面积．‎ 旋转形成的圆柱的侧面积的最大值为．‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了基本不等式求最值、圆柱的侧面积计算公式，属于基础题．‎ ‎16．有三条棱互相平行的五面体，其三视图如图所示，则该五面体外接球的体积为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】先作出三视图对应的原几何体，再求几何体外接球的半径，再求几何体外接球的体积.‎ ‎【详解】‎ 由题得几何体原图是如图所示的直三棱柱ABC-EFG，‎ D,H分别是AB,EF中点，O点时球心，‎ 所以OH=,,‎ 所以,‎ 所以几何体外接球的体积为.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查三视图还原几何体，考查几何体外接球的体积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.‎ 三、解答题 ‎17．在三棱柱中，、、、分别、、、的中点，求证：‎ ‎（1）、、、四点共面；‎ ‎（2）平面．‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．‎ ‎【解析】试题分析：（1）要证明四点共面，只需证，根据中位线，有，所以四点共面；（2）利用中位线，易证，所以平面平面．‎ 试题解析：‎ ‎（1）∵分别为中点，∴，‎ ‎∵三棱柱中，，‎ ‎∴，‎ ‎∴四点共面．…………………………5分 ‎（1）∵分别为中点，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ 又∵分别为三棱柱侧面平行四边形对边中点，‎ ‎∴四边形为平行四边形，，‎ ‎∴平面中有两条直线分别与平面中的两条直线，平行，‎ ‎∴平面．………………………………12分 ‎【考点】证明四点共面及面面平行．‎ ‎18．某单位建造一间背面靠墙的房屋，地面面积为30，房屋正面每平方米造价为1500元，房屋侧面每平方米造价为900元，屋顶造价为5800元，墙高为3米，且不计算背面和地面的费用，问怎样设计房屋能使总造价最低？最低总造价是多少？‎ ‎【答案】房屋正面长为6，侧面宽为5时，总造价最低为59800元.‎ ‎【解析】令房屋地面的正面长为，侧面宽为，总造价为元，求出z的表达式，再利用基本不等式求最低造价.‎ ‎【详解】‎ 令房屋地面的正面长为，侧面宽为，总造价为元，‎ 则，‎ ‎，‎ ‎∵，‎ ‎∴，‎ 当且仅当即时取等号，‎ 答：房屋正面长为6，侧面宽为5时，总造价最低为59800元.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查基本不等式的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.‎ ‎19．设数列的前项和为且.‎ ‎（1）求的通项公式；‎ ‎（2）令，若的前项和为，且恒成立，求的取值范围．‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】（1）利用项和公式求的通项公式；（2）先化简得,再利用裂项相消求解.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）令，则，‎ 当时，，①‎ ‎，②‎ ‎①②得：，‎ ‎∴，即，‎ ‎∴数列为，公比为4的等比数列，‎ ‎∴.‎ ‎（2），‎ ‎∴‎ ‎，‎ ‎∵且恒成立，‎ ‎∴‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查项和公式求通项，考查裂项相消求和，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.‎ ‎20．中，分别是角所对的边且.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）若，当角最大时，求的面积．‎ ‎【答案】（1）4；（2）.‎ ‎【解析】(1)利用正弦定理和余弦定理化简即得解；（2）先求出A最大时，，再求出b,c和sinA，再求的面积．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）∵，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴；‎ ‎（2）时，，‎ ‎∵且，‎ ‎∴，‎ ‎∴当角最大时，，‎ 此时，‎ ‎，‎ ‎∴.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查正弦定理余弦定理解三角形，考查三角形的面积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.‎