- 2021-06-12 发布 |
- 37.5 KB |
- 18页
申明敬告: 本站不保证该用户上传的文档完整性,不预览、不比对内容而直接下载产生的反悔问题本站不予受理。
文档介绍
【数学】青海省海东市2020届高三第四次模拟考试试题(理)(解析版)
青海省海东市2020届高三第四次模拟考试数学试题(理) 一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.设集合,,则 ( ) A. (﹣∞,2) B. (﹣1,0] C. (﹣1,2) D. (﹣1,0) 【答案】B 【解析】∵集合, , ∴, 故选:B 2.已知,若,则a=( ) A. 1 B. C. D. 5 【答案】A 【解析】, ∴,a>0,解得. 故选:A 3.已知,则( ) A. a>b>c B. c>b>a C. a>c>b D. b>a>c 【答案】C 【解析】∵,∴, ∵,∴, ∵,且,∴, ∴, 故选:C. 4.某公司对旗下的甲、乙两个门店在1至9月份的营业额(单位:万元)进行统计并得到如图折线图. 下面关于两个门店营业额的分析中,错误的是( ) A. 甲门店的营业额折线图具有较好的对称性,故而营业额的平均值约为32万元 B. 根据甲门店的营业额折线图可知,该门店营业额的平均值在[20,25]内 C. 根据乙门店的营业额折线图可知,其营业额总体是上升趋势 D. 乙门店在这9个月份中的营业额的极差为25万元 【答案】A 【解析】对于A,甲门店的营业额折线图具有较好的对称性,营业额平均值远低于32万元,A错误. 对于B,甲门店的营业额的平均值为21.6, 即该门店营业额的平均值在区间[20,25]内,B正确. 对于C,根据乙门店的营业额折线图可知,其营业额总体是上升趋势,C正确. 对于D,乙门店在这9个月中的营业额最大值为30万元,最小值为5万元, 则极差为25万元,D正确. 故选:A. 5.若x,y满足约束条件,则最大值为( ) A 5 B. 6 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】由x,y满足约束条件,作出可行域如图, 由,得yx, 由图可知,当直线yx过可行域内点时 直线在y轴上的截距最小,最大. 联立,解得 ∴目标函数z=x﹣2y的最大值为. 故选:D 6.某几何体的三视图如图所示,则其体积是( ) A. B. 36π C. 63π D. 216+9π 【答案】C 【解析】由三视图知,该几何体是圆柱与圆锥的组合体,如图所示; 则该组合体的体积为V=V柱+V锥=π32 6π323=63π. 故选:C 7.著名数学家华罗庚先生曾说过:“数缺形时少直观,形缺数时难入微数形结合百般好,隔裂分家万事休.”在数学的学习和研究中,我们经常用函数的图象来研究函数的性质,也经常用函数的解析式来琢磨函数的图象的特征,如某体育品牌的LOGO为,可抽象为如图所示的轴对称的优美曲线,下列函数中,其图象大致可“完美”局部表达这条曲线的函数是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】观察图象可知,函数的图象关于y轴对称, 对于A选项,,为偶函数, 对于B选项,,为奇函数, 对于C选项,,为偶函数, 对于D选项,,为奇函数, 而选项B,D为奇函数,其图象关于原点对称,不合题意; 对选项A而言,当时,如取,,则有,f(x)<0,不合题意; 故选:C 8.已知函数的图象与x轴的两个相邻交点的距离等于,若,则正数的最小值为( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】∵函数的图象与轴的两个相邻交点的距离等于, ∴, ∴, ∴, 又∵, ∴是的一条对称轴, ∴, , ∴. ∵ 故令,得为最小值. 故选:B. 9.若展开式中x2的项的系数为,则x5的项的系数为( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】由已知得,k=0,1,..,8, 令,解得k=4,∴,解得. 令,得k=2,故x5的系数为. 故选:C. 10.抛物线C:的焦点为F,过F且斜率为的直线l与抛物线C交于M,N两点,点P为抛物线C上的动点,且点P在l的左侧,则面积的最大值为( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】由题意可知直线l的方程为:,设,, 代入抛物线的方程可得,, 由抛物线的性质可得, 设与直线l平行的直线方程为:,代入抛物线的方程可得, 当直线与抛物线相切时,P到直线l的距离有最大值, 所以,解得, 直线l与直线的距离, 所以面积的最大值为, 故选:D. 11.在矩形ABCD中,,,沿矩形对角线BD将折起形成四面体ABCD,在这个过程中,现在下面四个结论:①在四面体ABCD中,当时, ;②四面体ABCD的体积的最大值为;③在四面体ABCD中,BC与平面ABD所成角可能为;④四面体ABCD的外接球的体积为定值.其中所有正确结论的编号为( ) A. ①④ B. ①② C. ①②④ D. ②③④ 【答案】C 【解析】如图,当时,∵,∴平面, ∵平面,∴,即①正确; 当平面平面时,四面体ABCD的体积最大,最大值为,即②正确; 当平面平面时,BC与平面ABD所成的角最大,为,而, ∴BC与平面ABD所成角一定小于,即③错误; 在翻折的过程中,和始终是直角三角形,斜边都是BD,其外接球的球心永远是BD的中点,外接球的直径为BD, ∴四面体ABCD的外接球的体积不变,即④正确. 故正确的有①②④. 故选:C. 12.若对任意的,,,恒成立,则a的最小值为( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】对任意的,,,可知, 则恒成立等价于,即, 令,则函数在上为减函数, ∴, ∴, 再令,, ∴, ∴在上为减函数, ∴, ∴a, 故选:A. 二、填空题. 13.已知向量,,向量在方向上的投影为,则_____. 【答案】2 【解析】由题意可知:向量在方向上的投影为, 两边平方,可得,解得或, 当时,,不符合题意, ∴. 故答案为:2. 14.在中,角,,所对的边分别为,,,已知,,,则的面积为______. 【答案】. 【解析】因为,,,又, 所以,化为,解得, 所以. 故答案为:. 15.若,则_____. 【答案】 【解析】∵, ∴, 代入等式,结合余弦二倍角公式化简可得 . 故答案为:. 16.双曲线C的渐近线方程为,一个焦点为F(0,﹣8),则该双曲线的标准方程为_____.已知点A(﹣6,0),若点P为C上一动点,且P点在x轴上方,当点P的位置变化时,△PAF的周长的最小值为_____. 【答案】 (1). (2). 28 【解析】∵双曲线C的渐近线方程为,一个焦点为F(0,﹣8), ∴,解得a=4,b=4. ∴双曲线的标准方程为; 设双曲线的上焦点为F′(0,8),则|PF|=|PF′|+8, △PAF的周长为|PF|+|PA|+|AF|=|PF′|+|PA|+|AF|+8. 当P点在第二象限,且A,P,F′共线时,|PF′|+|PA|最小,最小值为|AF′|=10. 而|AF|=10,故,△PAF的周长的最小值为10+10+8=28. 故答案为:;28. 三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,每道试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答. (一)必考题: 17.设{an}是一个首项为2,公比为q(q1)的等比数列,且3a1,2a2,a3成等差数列. (1)求{an}的通项公式; (2)已知数列{bn}的前n项和为Sn,b1=1,且1(n≥2),求数列{anbn}的前n项和Tn. 解:(1)因为3a1,2a2,a3成等差数列,所以4a2=3a1+a3, 又{an}是一个首项为2,公比为q(q1)的等比数列, 所以4×2q=3×2+2q2,解得q=3或q=1(舍去), 则; (2)由,且, 可得是首项和公差均为1的等差数列, 所以,所以, 可得n=1时,b1=S1=1; 时,,对于n=1时,该式也成立, 则, 所以 所以, , 两式相减可得 , 所以. 18.如图,在正四棱柱中,,,,,是棱的中点,平面与直线相交于点. (1)证明:直线平面. (2)求二面角的正弦值. (1)证明:平面平面, 平面平面,平面平面, ,由题意得, 设点为的中点,连结,, 是棱的中点,, 平面,平面,平面, ,,, 平面,平面,平面, ,平面平面, 平面,平面. (2)解:,,如图,以为原点,为轴,为轴,为轴,建立空间直角坐标系, ,0,,,1,,,0,, 1,, ,1,,,1,,,0,, 设平面的法向量,,, 则,取,得,,, 设平面的法向量,,, 则,取,得,1,, 设二面角的平面角为, 由, , 二面角的正弦值为. 19.已知0<m<2,动点M到两定点F1(﹣m,0),F2(m,0)的距离之和为4,设点M的轨迹为曲线C,若曲线C过点. (1)求m的值以及曲线C的方程; (2)过定点且斜率不为零的直线l与曲线C交于A,B两点.证明:以AB为直径的圆过曲线C的右顶点. (1)解:设M(x,y),因为|MF1|+|MF2|=4>2m,所以曲线C是以两定点F1,F2为焦点,长半轴长为2的椭圆,所以a=2. 设椭圆C的方程为1(b>0),代入点得b2=1, 由c2=a2﹣b2,得c2=3, 所以,故曲线C的方程为; (2)证明:设直线l:x=ty,A(x1,y1),B(x2,y2), 椭圆的右顶点为P(2,0),联立方程组 消去x得0. △>0,y1+y2,y1y2, 所以 ,∴, 故点P在以AB为直径的圆上,即以AB为直径的圆过曲线C的右顶点. 20.已知函数f(x)=lnx﹣tx+t. (1)讨论f(x)的单调性; (2)当t=2时,方程f(x)=m﹣ax恰有两个不相等的实数根x1,x2,证明:. 解:(1)f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x), 当t≤0时,f′(x)>0恒成立,f(x)在(0,+∞)上单调递增, 当t>0时,令f′(x)>0,得0<x,令f′(x)<0,得x. ∴f(x)在(0,)上单调递增,在(,+∞)上单调递减. 综上所述,当t≤0时,f(x)在(0,+∞)上单调递增; 当t>0时,f(x)在(0,)上单调递增,在(,+∞)上单调递减. (2)证明:由f(x)=m﹣ax,得lnx+(a﹣2)x+2﹣m=0. 令g(x)=lnx+(a﹣2)x+2,则g(x1)=g(x2)=m. 即lnx1+(a﹣2)x1=lnx2+(a﹣2)x2, ∴a﹣2. 不妨设0<x1<x2,要证, 只需证2(2﹣a),即证. 令(c>1),g(c)=2lnc﹣c, ∵g′(c)0. ∴g(c)在(1,+∞)上单调递减,则g(c)<g(1)=0. 故成立. 21.2020年4月8日 零时正式解除离汉通道管控,这标志着封城76天的武汉打开城门了.在疫情防控常态下,武汉市有序复工复产复市,但是仍然不能麻痹大意仍然要保持警惕,严密防范、慎终如始.为科学合理地做好小区管理工作,结合复工复产复市的实际需要,某小区物业提供了A,B两种小区管理方案,为了决定选取哪种方案为小区的最终管理方案,随机选取了4名物业人员进行投票,物业人员投票的规则如下:①单独投给A方案,则A方案得1分,B方案得﹣1分;②单独投给B方案,则B方案得1分,A方案得﹣1分;③弃权或同时投票给A,B方案,则两种方案均得0分.前1名物业人员的投票结束,再安排下1名物业人员投票,当其中一种方案比另一种方案多4分或4名物业人员均已投票时,就停止投票,最后选取得分多的方案为小区的最终管理方案.假设A,B两种方案获得每1名物业人员投票的概率分别为和. (1)在第1名物业人员投票结束后,A方案的得分记为ξ,求ξ的分布列; (2)求最终选取A方案为小区管理方案的概率. 解:(1)由题意知,ξ的所有可能取值为﹣1,0,1, P(ξ=﹣1)=(1),P(ξ=0),P(ξ=1), ∴ξ的分布列为 (2)记M1表示事件“前2名物业人员进行了投票,且最终选取A方案为小区管理方案”, 由(1)知,, 记M2表示事件“前3名物业人员进行了投票,且最终选取A方案为小区管理方案”, , 记M3表示事件“共有4名物业人员进行了投票,且最终选取A方案为小区管理方案”, ①若A方案比B方案多4分,有两类: 第一类,A方案前三次得了一次1分两次0分,最后一次得1分,其概率为; 第二类,A方案前两次得了一次1分一次﹣1分,后两次均得1分,其概率为, ②若A方案比B方案多2分,有三类: 第一类,A方案四次中得了一次1分,其他三次全0分,其概率为; 第二类,A方案前三次得了一次1分,一次0分,一次﹣1分,最后一次得了1分,其概率为; 第三类,A方案前两次得了一次1分一次﹣1分,第三次得1分,第四次得0分,其概率为. 故, ∴最终选取A方案为小区管理方案的概率为. (二)选考题: [选修4-4:坐标系与参数方程] 22.在平面直角坐标系中,已知曲线的参数方程为为参数),以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.曲线的极坐标方程为,曲线与曲线的交线为直线. (1)求直线和曲线的直角坐标方程; (2)直线与轴交于点,与曲线相交于,两点,求的值. 解:(1)已知曲线的参数方程为为参数), 转换为直角坐标方程为①, 曲线的极坐标方程为,整理得, 根据转换为直角坐标方程为②, ∴①②两个方程相减得公共弦所在直线的方程为, 曲线的极坐标方程为, 根据转换为直角坐标方程为; (2)直线与轴交于, ∴直线的参数方程为为参数), 代入到,得, ∴,, 故. [选修4-5:不等式选讲] 23.设函数. (1)求不等式的解集; (2)若方程有两个不等实数根,求a的取值范围. 解:(1), ∵,∴或,∴或,即, ∴不等式的解集为; (2)方程,即, 显然不是方程的根,故, 令, 当x<0时,,当且仅当时取等号, 作出的图象,如图所示: ∵方程有两个不等实数根, ∴由图象可知.查看更多