数学理卷·2018届齐鲁名校教科研协作体（山东、湖北部分重点中学）高考冲刺模拟（2018

数学理卷·2018届齐鲁名校教科研协作体（山东、湖北部分重点中学）高考冲刺模拟（2018

齐鲁名校教科研协作体 山东、湖北部分重点中学2018年高考冲刺模拟试卷（一）‎ 数学（理科）试题 命题：湖北随州一中(刘丽) 审题：山东临沂一中 山东临朐一中 山东沂水一中 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.(原创，容易)已知全集（ ）‎ A.{3} B.{0，3，5} C.{3，5} D.{0，3}‎ ‎[答案]D ‎2.(原创，容易)已知i为虚数单位，现有下面四个命题 p1：复数z1=a+bi与z2=－a+bi，（a，b）在复平面内对应的点关于实轴对称；‎ p2：若复数z满足(1-i)z=1+i，则z为纯虚数；‎ p3：若复数z1，z2满意z1z2，则z2=；‎ p4：若复数z满足z2+1=0，则z＝±i.‎ 其中的真命题为（ ）‎ A.p1，p4 B.p2，p4 C.p1，p3 D.p2，p3‎ ‎[答案]B ‎3.(原创，容易)已知 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎[答案]A ‎4.(原创，容易)在某次学科知识竞赛中（总分100分），若参赛学生成绩服从N（80，2）(>0)，若在(70，90)内的概率为0.8，则落在[90，100]内的概率为（ ）‎ A.0.05 B.0.1 C.0.15 D.0.2‎ ‎[答案]B ‎[解析]由题意可得.‎ ‎[考点]正态分布.‎ ‎5.(原创，容易)某几何体的三视图是网络纸上图中粗线画出的部分，已知小正方形的边长为1，则该几何体中棱长的最大值为（ ）‎ A. B. C. D.4‎ ‎[答案]C ‎6.(原创，容易)要使右边的程序框图输出的S=2cos则判断框内（空白框内）可填入（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎[答案]B ‎7.(原创，中档)已知等差数列的第6项是二项式展开式的常数项，则=（ ）‎ A.160 B.－160 C.320 D.－320‎ ‎[答案]D ‎8.(原创，中档)将函数的图象按以下次序变换：①纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，②向右平移个单位，得到函数的图象，则函数在区间上的对称中心为（ ）‎ A. B.‎ C. D.‎ ‎[答案]D ‎9.(原创，中档)已知点P是双曲线C：的一条渐近线上一点，F1、F2是双曲线的下焦点和上焦点，且以F1F2为直径的圆经过点P，则点P到y轴的距离为（ ）‎ A. B. C.1 D.2‎ ‎[答案]D ‎10.(原创，中档)已知O是平面上的一定点，A、B、C是平面上不共线的三点，若动点P满足 则点P的轨迹一定通过△ABC的（ ）‎ A.内心 B.外心 C.重心 D.垂心 ‎[答案]C ‎11.(原创，难)设直线与椭圆交于A、B两点，过A、B两点的圆与E交于另两点C、D，则直线CD的斜率为（ ）‎ A.－ B.－2 C. D.－4‎ ‎[答案]D ‎[解析]本题来源于教材选修4-4中第38页例4，如图所示，AB、CD是中心为点O的椭圆的两条相交弦，交点为P，两弦AB、CD与椭圆长轴的夹角分别为∠1，∠2，且∠1=∠2，则.‎ ‎[考点]直线与圆、椭圆的综合 ‎12.(改编，难)若函数有三个不同的零点，则实数a的取值范围是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎[答案]A 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.‎ ‎13.(原创，容易)设命题 .‎ ‎[答案].‎ ‎[解析]特称命题的否定是全称命题.‎ ‎[考点]全（特）称命题的否定.‎ ‎14.(原创，容易)直线的倾斜角的取值范围是 .‎ ‎[答案]‎ ‎[解析]若，则直线的倾斜角为90°；若，则直线的斜率k＝设直线的倾斜角为，则，故 ‎，综上可得直线的倾斜角的取值范围是.‎ ‎[考点]直线的倾斜角与斜率的关系.‎ ‎15.(原创，中档)设实数满足的最小值是 .‎ ‎[答案]‎ ‎[解析]不等式组对应的可行域如图，令处取得最小值，在点（1，2）处取得最大值，故的取值范围是 ‎[考点]求线性约束条件下目标函数的最值.‎ ‎16.(改编，难)已知G为△ABC的重心，点M，N分别在边AB，AC上，满足其中则△ABC和△AMN的面积之比为 .‎ ‎[答案]‎ ‎[解析]连接AG并延长交BC于D，此时D为BC的中点，故 设所以.‎ 所以，则.‎ ‎[考点]平面向量的综合应用 三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.‎ ‎17.(本题满分12分)‎ ‎(原创，容易)在等差数列 ‎（Ⅰ）求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）若数列，求数列的前n项和Sn.‎ 解：（Ⅰ）设数列的公差为d，则由 ‎………………………………………………………………4分 所以……………………………………………………… 6分 ‎（Ⅱ) 由(I)得，……………………………………………8分 ‎ ①‎ ‎ ②‎ ‎ ①－②，得，‎ 所以…………………………………………………………………………12分 ‎[考点]等差数列基本量运算、数列求和.‎ ‎18.(本题满分12分)‎ ‎（原创，中档）如图，在四棱锥P-ABCD中，AD⊥平面PCD，PD⊥CD，底面ABCD是梯形，AB∥DC，AB=AD=PD=1，CD=2AB，为棱PC上一点.‎ ‎(Ⅰ)若点是PC的中点，证明：B∥平面PAD；‎ ‎(Ⅱ)试确定的值使得二面角-BD-P为60°.‎ 解析：‎ ‎(Ⅰ)证明：取PD的中点M，连接AM，M，‎ ‎ ，‎ ‎ M∥CD，…………………………………………1分 又AB∥CD，∥AB，QM＝AB，‎ 则四边形ABQM是平行四边形.∥AM.……………………3分 又平面PAD，BQ平面PAD，∥平面PAD.……4分 ‎（Ⅱ）解：由题意可得DA，DC，DP两两垂直，以D为原点，DA，DC，DP所在直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系，‎ 则P(0，1，1)，C(0，2，0)，A(1，0，0)，B(1，1，0).……………… 5分 令 ‎……………………………………… 7分 又易证BC⊥平面PBD，‎ 设平面QBD的法向量为 令…………………………………………………………………9分 ‎，‎ 解得………………………………………………………………………………11分 Q在棱PC上，…………………………………………………12分 ‎[考点]线面平行证明及二面角计算 ‎19.（本题满分12分）‎ ‎（原创 ，中档）《中华人民共和国民法总则》（以下简称《民法总则》）自2017年10月1日起施行。作为民法典的开篇之作，《民法总则》与每个人的一生息息相关.某地区为了调研本地区人们对该法律的了解情况，随机抽取50人，他们的年龄都在区间[25，85]上，年龄的频率分布及了解《民法总则》的人数如下表：‎ 年龄 ‎[25，35)‎ ‎[35，45)‎ ‎[45，55)‎ ‎[55，65)‎ ‎[65，75)‎ ‎[75，85)‎ 频数 ‎5‎ ‎5‎ ‎10‎ ‎15‎ ‎5‎ ‎10‎ 了解《民法总则》‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎8‎ ‎12‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎（Ⅰ）填写下面2×2 列联表，并判断是否有99%的把握认为以45岁为分界点对了解《民法总则》政策有差异；‎ ‎（Ⅱ）若对年龄在[45，55），[65，75）的被调研人中各随机选取2人进行深入调研，记选中的4人中不了解《民法总则》的人数为X，求随机变量X的分布列和数学期望.‎ 解：（Ⅰ）2×2列联表：‎ ‎…………………………………………………………………………………………………………2分 ‎…………………………………………………… 4分 没有99%的把握认为以45岁为分界点对了解《民法总则》政策有差异.……………………5分 ‎（Ⅱ）X的所有可能取值为0，1，2，3，‎ ‎ ‎ ‎…………………………………………………………………………10分 则X的分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P 所以X的数学期望是…………………………………………12分 ‎[考点]统计案例，超几何分布的分布列与期望.‎ ‎20.（本题满分12分）‎ ‎（改编，难）已知椭圆的一个焦点与抛物线的焦点相同，A为椭圆C的右顶点，以A为圆心的圆与直线相交于P，两点，且 ‎（Ⅰ）求椭圆C的标准方程和圆A的方程；‎ ‎（Ⅱ）不过原点的直线与椭圆C交于M、N两点，已知OM，直线，ON的斜率成等比数列，记以OM、ON为直径的圆的面积分别为S1、S2，试探究的值是否为定值，若是，求出此值；若不是，说明理由.‎ 解：(Ⅰ)如图，设T为PQ的中点，连接AT，则AT⊥PQ，‎ ‎………………………………………………2分 由已知得,所以 椭圆C的方程为…………………………………… 4分 ‎……………………………… 6分 ‎(Ⅱ)设直线的方程为 由，‎ 由题设知，………………8分 ‎………………………………………………………………10分 则 故为定值，该定值为.…………………………………………………………………12分 ‎[考点]椭圆的标准方程、抛物线的性质、直线与圆的位置关系，圆的几何性质、圆的方程、直线与椭圆的位置关系.‎ ‎21.（本题满分12分）‎ ‎（改编，难）已知函数 ‎（Ⅰ）若直线且曲线在A处的切线与在B处的切线相互平行，求a的取值范围；‎ ‎（Ⅱ）设在其定义域内有两个不同的极值点且若不等式恒成立，求的取值范围.‎ 解：（Ⅰ）依题意，函数的定义域为（0，），因为曲线在A处的切线与在B处的切线相互平行，所以有解，即方程有解.…………………………………………………………………2分 方程有解转化为函数的图像在上有交点，‎ 如图，令过原点且与函数的图像相切的直线的斜率为，只须 令切点为，所以 ‎，所以………………………………………………………………5分 ‎（Ⅱ）‎ 因为在其定义域内有两个不同的极值点，所以的两个根，即………………………………………………6分 因为 ‎…………8分 令，则，由题意知，不等式上恒成立.‎ 令 如果所以上单调递增，又 上恒成立，符合题意.……………………………………………………………10分 如果时，上单调递增，在上单调递减，又上不能恒小于0，不符合题意，舍去.‎ 综上所述，若不等式恒成立，只须.……………12分 ‎[考点]导数的几何意义，利用导数研究函数的单调性、最值，不等式恒成立问题.‎ 选做题（请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多选，则按所做的第一题计分）‎ ‎22.（本小题满分10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】‎ ‎（原创，容易）在直角坐标系中，直线的参数方程为 以O为极点，轴非负半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为 与圆C交于点O，P，与直线交于点Q.‎ ‎（Ⅰ）求直线的极坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）求线段PQ的长度.‎ 解：（Ⅰ）将直线的参数方程化为普通方程为…………………………………2分 再结合，，得直线的极坐标方程为 ‎…………………………………………………………………………… 5分 ‎（Ⅱ）联立 ‎…………………………………………………7分 联立……………………………………………………………… 9分 则线段PQ的长度为3－1=2.……………………………………………10分 ‎[考点]方程互化，两点间距离的求法.‎ ‎23.（本小题满分10分）【选修4－5：不等式选讲】‎ ‎（原创，容易）已知函数 ‎ （Ⅰ）求不等式 ‎（Ⅱ）若的图像与直线围成图形的面积不小于14，求实数a的取值范围.‎ 解：（Ⅰ）……………………………………………2分 则不等式 解得…………………………………………………………………………………4分 故不等式的解集为………………………………………………5分 ‎（Ⅱ）作出函数的图象，如图.‎ 若的图象与直线围成的图形是三角形，则当时，△ABC的面积取得最大值，‎ 的图象与直线 围成图形的面积不小于14，该图形一定是四边形，即………………………………………………………………………7分 ‎△ABC的面积是6，的面积不小于8.……………………………………… 8分 ‎…………………………………………………9分 又 故实数的取值范围是……………………………………………………………10分 ‎[考点]绝对值不等式解法，三角形面积的求法.‎