数学理卷·2018届山西省临汾一中、忻州一中、长治二中高二上学期第二次名校联考（2016-12）

数学理卷·2018届山西省临汾一中、忻州一中、长治二中高二上学期第二次名校联考（2016-12）

‎2016～2017年度高二上学期第二次名校月考联考 数学试卷（理科）‎ 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.‎ ‎1.设集合，集合，则等于（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2.双曲线的虚轴长是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎3.命题“若，则”的逆否命题为（ ）‎ A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 ‎4.某单位有员工人，其中女员工有人，为做某项调查，拟采用分层抽样法抽取容量为的样本，则男员工应选取的人数是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎5.已知，，则等于（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎6.已知中，，为上一点，且，，则等于（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎7.已知，则的最小值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎8.在区间上任取一个数，则函数的值不小于的概率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎9.一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎10.已知定点，，如果动点满足，则点的轨迹所包围的图形的面积等于（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎11.体积为的球有一个内接正三棱锥，是球的直径，，则三棱锥的体积为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎12.已知为原点，过双曲线（）上的点作两条渐近线的平行线，且与两渐近线的交点分别为，，平行四边形的面积为，则此双曲线的渐近线方程为（ ）‎ A． B． C． D．‎ 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13.已知命题：，，则为___________．‎ ‎14.已知函数，则___________．‎ ‎15.已知约束条件所表示的平面区域为，若直线与区域有公共点，则的取值范围是___________．‎ ‎16.过椭圆的上焦点作一条斜率为的直线与椭圆交于，两点，为坐标原点，则的面积为___________．‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17.（本小题满分10分）‎ 已知等差数列的前项和为，且，．‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）设，求数列的前项和．‎ ‎18.（本小题满分12分）‎ 已知：方程有两个不等的正根；：方程表示焦点在轴上的双曲线．‎ ‎（1）若为真命题，求实数的取值范围；‎ ‎（2）若“或”为真，“且”为假，求实数的取值范围．‎ ‎19.（本小题满分12分）‎ 在中，、，动点满足．‎ ‎（1）求动点的轨迹的方程；‎ ‎（2）若点，经过点作一条直线与轨迹相交于点，，并且为线段的中点，求直线的方程．‎ ‎20.（本小题满分12分）‎ 已知焦点为的抛物线：（）上有一点，以为圆心、为半径的圆被轴截得的弦长为．‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）若倾斜角为且经过点的直线与抛物线相交于、两点，求证：．‎ ‎21.（本小题满分12分）‎ 如图，直三棱柱的底面为正三角形，、分别是、的中点．‎ ‎（1）证明：平面平面；‎ ‎（2）若为中点，且，设三棱锥的体积为，三棱锥与三棱锥的公共部分的体积为，求的值．‎ ‎22.（本小题满分12分）‎ 已知椭圆：（）的上顶点到右顶点的距离为，左焦点为，过点且斜率为的直线交椭圆于，两点．‎ ‎（1）求椭圆的标准方程及的取值范围；‎ ‎（2）在轴上是否存在定点，使恒为定值？若存在，求出点 的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎2016～2017年度高二上学期第二次名校月考联考 数学试卷参考答案（理科）‎ 一、选择题 ‎1. ，．‎ ‎2. 因为，所以虚轴长．‎ ‎3. 由逆否命题的定义知选．‎ ‎4. 男员工应抽取的人数为．‎ ‎5. ，，所以．‎ ‎6. 由．在中，，，于是，，那么．‎ ‎7. 因为，‎ ‎，所以．‎ ‎8. 当时，，当，即 时，则所求概率为．‎ ‎9. 该三视图所对应的直观图如图所示，连接，‎ 所以，，，‎ 从而，体积．‎ ‎10. 设，则由得，化简得，‎ 即，所以所求图形的面积．‎ ‎11. 由题意可得球的半径为，如图，因为是球的直径，所以，，可得，所在小圆圆心为，可由射影定理，所以，，因为为的中心，所以可求出的边长为，面积为，因此，三棱锥的体积为．‎ ‎12. 双曲线的渐近线方程是，设是双曲线上任一点，过平行于：的方程：与方程：交点是，，点到的距离：，因为，则有，而，解得，所以双曲线的渐近线方程为．‎ 二、填空题 ‎13.，‎ ‎14. ．‎ ‎15. 解方程组，得，记，，‎ 易知直线过点，斜率为，‎ 由数形结合知．‎ ‎16. 由已知得，：，联立方程组，‎ 消去得，于是，‎ 设点到直线的距离为，则，‎ 所以．‎ 三、解答题 ‎17.解：（1）设等差数列的首项为，公差为，由题意得……………………3分 解得………………………………………………………………………………………………………4分 ‎．……………………………………………………………………………………………………5分 ‎（2），………………………………………………………………………………7分 ‎……………………………………………………………9分 ‎．……………………………………………………………………………………10分 ‎18.解：（1）由已知方程表示焦点在轴上的双曲线，‎ 因或为真，所以、至少有一个为真．‎ 又且为假，所以、至少有一个为假．‎ 因此，、两命题应一真一假，当为真，为假时，，解得；………9分 当为假，为真时，，解得 ‎．………………………………………………11分 综上，或．………………………………………………………………………………12分 ‎19.解：（1）因为，‎ 所以，根据正弦定理得，又，‎ 所以，．………………………………………………………………………………2分 因此，点的轨迹是以、为焦点的椭圆（除去左右顶点），…………………………………………3分 设它的标准方程为（），‎ 则，，所以，，．…………………………………………………5分 所以点的轨迹的方程为（）．……………………………………………………6分 ‎（2）设，，则 ‎，两方程相减得，‎ 即，…………………………………………………………8分 而，代入得，所以，……………………………11分 所以，直线的方程为．……………………………………………………………………12分 ‎20.解：（1）圆被轴截得的弦长为，‎ ‎①，……………………………………………………………………………2分 又点在抛物线上，②，………………………………………………………………………3分 由①②得，，…………………………………………………………………………………4分 ‎．…………………………………………………………………………………………5分 ‎（2）直线的方程为，联立得．……………………………………7分 设，，则，．…………………………………………………10分 ‎．…………………………………………………………11分 ‎．…………………………………………………………………………………………………12分 ‎21.（1）证明：如图，因为三棱柱是直三棱柱，所以．‎ 又是正三角形的边的中点，所以．又，‎ 所以平面，而平面，‎ 所以平面平面．……………………………………………………………………………4分 ‎（2）解：因为是正三角形，所以．‎ 又三棱柱是直三棱柱，所以．‎ 所以平面，所以．‎ 由题可知，，所以．‎ 在中，，所以．‎ 故三棱锥的体积．……………………………8分 设，，‎ 过作于，连接．‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎．…………………………………………………………………………………9分 ‎，‎ ‎．……………………………………………………………………………10分 三棱锥与三棱锥的公共部分为三棱锥，……………………………11分 ‎,‎ ‎．…………………………………………………………………12分 ‎22.解：（1）由已知可得，得，，．‎ 过点且斜率为的直线：．‎ 由，消去得．‎ 则 或，‎ 所以的取值范围是．……………………………………………………5分 ‎（2）设，，‎ 则，．‎ 又，‎ ‎．……………………………………………6分 假设存在点，则，，‎ 所以 ‎，…………………………………………………………………………8分 要使得（为常数），只要，‎ 从而，‎ 整理得，‎ 解得，从而，‎ 故存在定点．……………………………………………………………………………………12分