浙江专用2020版高考数学一轮复习+专题8立体几何与空间向量+第58练立体几何中的轨迹问题

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浙江专用2020版高考数学一轮复习+专题8立体几何与空间向量+第58练立体几何中的轨迹问题

第58练 立体几何中的轨迹问题 ‎[基础保分练]‎ ‎1.在等腰直角△ABC中,AB⊥AC,BC=2,M为BC的中点,N为AC的中点,D为BC边上一个动点,△ABD沿AD翻折使BD⊥DC,点A在平面BCD上的投影为点O,当点D在BC上运动时,以下说法错误的是(  )‎ A.线段NO为定长 B.CO∈[1,)‎ C.∠AMO+∠ADB>180°‎ D.点O的轨迹是圆弧 ‎2.已知在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,AA1与平面A1B1C1D1垂直,且AD=AB,E为CC1的中点,P在对角面BB1D1D所在平面内运动,若EP与AC成30°角,则点P的轨迹为(  )‎ A.圆 B.抛物线 C.双曲线 D.椭圆 ‎3.(2019·杭州二中模拟)如图,在平行四边形ABCD中,AD=4,CD=2,∠ADC=,点E是线段AD上的一个动点.将△EDC沿EC翻折得到△ED′C(仍在平面ABCD内),连接D′A,则D′A的最小值为(  )‎ A.2-2 B.2-1‎ C. D.+1‎ ‎4.(2019·嵊州模拟)如图,已知矩形ABCD,E是边AB上的点(不包括端点),且AE=AD,将△ADE沿DE翻折至△A′DE,记二面角A′—BC—D为α,二面角A′—CD—E为β,二面角A′—DE—B为γ,则(  )‎ A.α>β B.α<β C.β≥γ D.β≤γ ‎5.如图,在直三棱柱ABC—A1B1C1中,AA1=2,AB=BC=1,∠ABC=90°,外接球的球心为O,点E是侧棱BB1上的一个动点.有下列判断:‎ ‎①直线AC与直线C1E是异面直线;②A1E一定不垂直于AC1;③三棱锥E—AA1O的体积为定值;④AE+EC1的最小值为2.‎ 其中正确的个数是(  )‎ A.1B.2C.3D.4‎ ‎6.如图,在矩形ABCD中,AB=2,AD=1,点E为CD的中点,F为线段CE(端点除外)上一动点.现将△DAF沿AF折起,使得平面ABD⊥平面ABCF.设直线FD与平面ABCF所成的角为θ,则sinθ的最大值为(  )‎ A.B.C.D. ‎7.在正方体ABCD-A1B1C1D1中(如图),已知点P在直线BC1上运动,则下列四个命题:‎ ‎①三棱锥A-D1PC的体积不变;‎ ‎②直线AP与平面ACD1所成的角的大小不变;‎ ‎③二面角P-AD1-C的大小不变;‎ ‎④若M是平面A1B1C1D1上到点D和C1距离相等的点,则M点的轨迹是直线A1D1.‎ 其中真命题的序号是(  )‎ A.①②③B.①②④C.①③④D.②③④‎ ‎8.如图,平面α⊥β,α∩β=l,A,B是l上的两个点,C,D在α内,DA⊥l,CB⊥l,AB=BC=2AD=6,在平面β上有一动点P使得PC,PD与β所成的角相等(P∉l),设二面角P—CD—B的平面角为θ,则tanθ(  )‎ A.仅有最大值 B.仅有最小值 C.既有最大值又有最小值 D.无最值 ‎9.如图,在四面体D—ABC中,AD=BD=AC=BC=5,AB=DC=6.若M为线段AB上的动点(不包含端点),则二面角D—MC—B的余弦值的取值范围是__________.‎ ‎10.(2019·台州模拟)如图,在棱长为2的正四面体S—ABC中,动点P在侧面SAB内,PQ⊥底面ABC,垂足为Q,若PS=PQ,则PC长度的最小值为________.‎ ‎[能力提升练]‎ ‎1.(2019·浙江金华十校联考)在正方体ABCD—A1B1C1D1中,点M,N分别是直线CD,AB上的动点,点P是△A1C1D内的动点(不包括边界),记直线D1P与MN所成角为θ,若θ 的最小值为,则点P的轨迹是(  )‎ A.圆的一部分 B.椭圆的一部分 C.抛物线的一部分 D.双曲线的一部分 ‎2.如图,已知正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为4,点H在棱AA1上,且HA1=1.在侧面BCC1B1内作边长为1的正方形EFGC1,P是侧面BCC1B1内一动点,且点P到平面CDD1C1距离等于线段PF的长.则当点P运动时,|HP|2的最小值是(  )‎ A.21B.22C.23D.25‎ ‎3.如图在正四面体(所有棱长都相等)D-ABC中,动点P在平面BCD上,且满足∠PAD=30°,若点P在平面ABC上的射影为P′,则sin∠P′AB的最大值为(  )‎ A. B. C. D. ‎4.a,b为空间中两条互相垂直的直线,等腰直角三角形ABC的直角边AC所在直线与a,b都垂直,斜边AB以直线AC为旋转轴旋转,若直线AB与a所成角为60°,则AB与b所成角为(  )‎ A.60°B.30°C.90°D.45°‎ ‎5.如图,正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为2,点P在正方形ABCD的边界及其内部运动,平面区域W由所有满足A1P≤的点P组成,则W的面积是____________,四面体P—A1BC的体积的最大值是________.‎ ‎6.(2019·浙大附中模拟)如图,矩形ABCD中,AB=1,BC=,将△ABD沿对角线BD向上翻折,若翻折过程中AC长度在内变化,则点A所形成的运动轨迹的长度为________.‎ 答案精析 基础保分练 ‎1.C 2.A 3.A 4.B 5.C 6.A 7.C 8.D ‎9. 解析 取AB的中点M0,‎ 则CM0=DM0=4,AM0=BM0=3,‎ ‎∵DM0⊥AB,CM0⊥AB,DM0∩CM0=M0,‎ ‎∴AB⊥平面DM0C,又AB⊂平面ABC,‎ ‎∴平面ABC⊥平面DM0C,交线为M0C.‎ 过点D作DO⊥M0C,则DO⊥平面ABC.‎ 先设点M在线段M0B上运动,作OG⊥MC,连接DG,则∠DGO为二面角D—MC—B的平面角的补角.‎ 在△DM0C中,‎ cos∠DM0C==-,‎ sin∠DM0C=,‎ ‎∴DO=4×=,OM0=.‎ 设MM0=t,则CM=,OC=4+=,‎ 又△OGC∽△MM0C⇒=⇒OG=,‎ 在△DOG中,DG==6,‎ ‎∴cos∠DGO==,‎ 又t∈[0,3),∴cos∠DGO∈,由对称性知,二面角D—MC—B的余弦值的取值范围为.‎ ‎10. 解析 作PH⊥AB于点H,连接QH,则∠PHQ为二面角S—AB—C的平面角,设AB的中点为G,S在平面ABC内的射影为O′(O′为△ABC的中心),连接SG,GO′,SO′,则∠SGO′也是二面角S—AB—C的平面角,则sin∠PHQ==sin∠SGO′==,所以PH=PQ,所以PH=PS,所以点P的轨迹是侧面SAB内以AB为准线,以S为焦点的抛物线,SG的中点O 是抛物线的顶点,O到C的距离就是PC的最小值,此时由余弦定理可知,PC2=2+()2-2×××=,所以PCmin=.‎ 能力提升练 ‎1.B [把MN平移到平面A1B1C1D1中,直线D1P与MN所成角为θ,‎ 直线D1P与MN所成角的最小值,是直线D1P与平面A1B1C1D1所成角,‎ 即原问题转化为:直线D1P与平面A1B1C1D1所成角为,点P在以D1为顶点的圆锥的侧面上,‎ 又∵点P是△A1C1D内的动点(不包括边界),‎ ‎∴点P的轨迹是椭圆的一部分.故选B.]‎ ‎2.B [点P到平面CDD1C1距离就是点P到直线CC1的距离,‎ 所以点P到点F的距离等于点P到直线CC1的距离,因此点P的轨迹是以F为焦点,以CC1为准线的抛物线,在面A1ABB1中作HK⊥BB1于K,连接KP,‎ 在Rt△HKP中,|HK|2+|PK|2=|HP|2,而|HK|=4,要想|HP|2最小,只要|PK|最小即可,由题意易求得|PK|=6,所以|HP|2最小值为22,故选B.]‎ ‎3.A [以AD为轴,∠DAP=30°,AP为母线,围绕AD旋转一周,在平面BCD内形成的轨迹为椭圆,‎ 当且仅当点P位于椭圆的短轴端点(图中点M的位置)时,∠P′AB最大,此时AD⊥DM,且DM∥BC.设正四面体D-ABC的各棱长为2,在Rt△ADM中,AD=2,∠MAD=30°,则MD=,AM=.过点D作正四面体D-ABC的高DO,O为底面正三角形ABC的中心,连接AO,作MP′⊥平面ABC于点P′,连接P′O,并延长交AB于点N,因为DM∥BC,MP′⊥平面ABC,DO⊥平面ABC,‎ 所以MP′∥DO且MP′=DO,四边形MP′OD为矩形,‎ 所以P′O=DM=,ON=,‎ 所以P′N=+.‎ 又在正四面体D-ABC中,‎ AO=×2×=,‎ 所以DO==,‎ 所以MP′=.‎ 在Rt△AMP′中,AP′==,‎ 于是在△AP′N中,由正弦定理可得=,解得sin∠P′AB=,故选A.]‎ ‎4.A [由题意知,a,b,AC三条直线两两相互垂直,画出图形如图,不妨设图中所示正方体棱长为1,‎ 故|AC|=1,|AB|=,‎ 斜边AB以直线AC为旋转轴,则A点保持不变,B点的运动轨迹是以C为圆心,1为半径的圆,以C为坐标原点,以CD所在直线为x轴,CB所在直线为y轴,CA所在直线为z轴,建立空间直角坐标系,则D(1,0,0),A(0,0,1),直线a的方向单位向量a=(0,1,0),|a|=1,直线b的方向单位向量b=(1,0,0),|b|=1,‎ 设B点在运动过程中的坐标B′(cosθ,sinθ,0),‎ 其中θ为B′C与CD的夹角,θ∈[0,2π),‎ ‎∴AB′在运动过程中的向量 =(cosθ,sinθ,-1),||=,‎ 与b所成夹角为β∈,‎ 与a所成夹角为α∈,‎ ‎|cosβ|==,‎ ‎|cosα|==,‎ 当与a夹角为60°时,即α=,‎ ‎|sinθ|=|cosα|==,‎ 当与a的夹角为120°时,α=,‎ ‎|sinθ|==,‎ ‎∵cos2θ+sin2θ=1,‎ ‎∴|cosβ|=|cosθ|=,‎ ‎∵β∈,∴β=或,此时AB与b所成角为60°.]‎ ‎5.  解析 由题意可知,满足A1P≤的点P是以A1为球心,为半径的球及其内部的点,又因为点P在正方形ABCD的边界及其内部运动,所以平面区域W是以A为圆心,1为半径的圆的,所以可知W的面积是;点A1到平面PBC的距离为h=2,所以四面体P—A1BC的体积为·h·S△PBC=·S△PBC,所以当点P是AD的中点时,S△PBC取得最大值为2,四面体P—A1BC的体积取得最大值.‎ ‎6.π 解析 如图1,过点A作AO⊥BD,垂足为点O,过点C作直线AO的垂线,垂足为点E,‎ 则易得AO=OE=,CE=1.在图2中,由旋转的性质易得点A在以点O为圆心,以AO为半径的圆上运动,且BD垂直于圆O所在的平面.又因为CE∥BD,所以CE垂直于圆O所在的平面,设当A运动到点A1处时,CA1=,当A运动到点A2处时,CA2=,则有CE⊥EA1,CE⊥EA2,则易得EA1=,EA2=,则易得△OEA2是以O为顶点的等腰直角三角形,在△OEA1中,由余弦定理易得cos∠EOA1=-,所以∠EOA1=120°,所以∠A1OA2=30°,所以点A所形成的轨迹为半径为OA=,圆心角∠A1OA2=30°的圆弧,所以运动轨迹的长度为×π×=π.‎
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