- 2021-06-12 发布 |
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文档介绍
专题11+基本不等式及其应用-冲刺2019高考数学二轮复习核心考点特色突破
专题11 基本不等式及其应用 【自主热身,归纳总结】 1、已知a>0, b>0,且+=,则ab的最小值是________. 【答案】:2 【解析】 利用基本不等式,化和的形式为积的形式. 因为=+≥2,所以ab≥2,当且仅当==时,取等号. 2、已知正数满足,则的最小值为 . 【答案】9 【解析】: =9. 3、已知正实数x,y满足,则x + y 的最小值为 . 【答案】: 4、已知a,b为正数,且直线 ax+by-6=0与直线 2x+(b-3)y+5=0互相平行,则2a+3b的最小值为________. 【答案】25 【解析】:由于直线ax+by-6=0与直线2x+(b-3)y+5=0互相平行,所以a(b-3)=2b,即+=1(a,b均为正数),所以2a+3b=(2a+3b)=13+6≥13+6×2=25(当且仅当=即a=b=5时取等号). 5、已知正实数满足,则的最小值为 . 【答案】8 【解析】:因为,所以.又因为,所以,所以,当且仅当,即时等号成立. 易错警示 在应用基本不等式时,要注意它使用的三个条件“一正二定三相等”.另外,在应用基本不等式时,要注意整体思想的应用. 6、设实数x,y满足x2+2xy-1=0,则x2+y2的最小值是________. 【答案】 思路分析1 注意到条件与所求均含有两个变量,从简化问题的角度来思考,消去一个变量,转化为只含有一个变量的函数,从而求它的最小值.注意中消去y较易,所以消去y. 解法1 由x2+2xy-1=0得y=,从而x2+y2=x2+2=+-≥2-=,当且仅当x=±时等号成立. 思路分析2 由所求的结论x2+y2想到将条件应用基本不等式,构造出x2+y2,然后将x2+y2求解出来. 解法2 由x2+2xy-1=0得1-x2=2xy≤mx2+ny2,其中mn=1(m,n>0),所以(m+1)x2+ny2≥1,令m+1=n,与mn=1联立解得m=,n=,从而x2+y2≥=. 7、若正实数满足,则的最小值是 ▲ . 【答案】、8 【解析】: 因为正实数满足, 所以,当且仅当,即,又,即,等号成立,即取得最小值. 8、若实数x,y满足xy+3x=3,则+的最小值为________. 【答案】: 8 解法1 因为实数x,y满足xy+3x=3,所以y=-3(y>3), 所以+=y+3+=y-3++6≥2+6=8,当且仅当y-3=,即y=4时取等号,此时x= ,所以+的最小值为8. 解法2 因为实数x,y满足xy+3x=3,所以y=-3(y>3),y-3=-6>0, 所以+=+=-6++6≥2+6=8,当且仅当-6=,即x=时取等号,此时y=4,所以+的最小值为8. 解后反思 从消元的角度看,可以利用等式xy+3x=3消“实数x”或消“实数y”,无论用哪种消元方式,消元后的式子结构特征明显,利用基本不等式的条件成熟. 9、 已知正数a,b满足+=-5,则ab的最小值为________. 【答案】. 36 【解析】:因为正数a,b满足+=-5,所以-5≥2,当且仅当9a=b时等号成立,即ab-5-6≥0,解得≥6或≤-1(舍去),因此ab≥36,从而(ab)min=36. 10、已知α,β均为锐角,且cos(α+β)=,则tanα的最大值是________. 【答案】 11、 已知正数x,y满足+=1,则+的最小值为________. 【答案】25 【解析】:因为=1-,所以+=+=+9x=4++9(x-1)+9=13++9(x-1)=13++9(x-1).又因为=1->0,所以x>1,同理y>1,所以13++9(x-1)≥13+2=25,当且仅当x=时取等号,所以+的最小值为25. 12、 已知a+b=2,b>0,当+取最小值时,实数a的值是________. 【答案】: -2 解法1 +=+=++≥-+2=,当且仅当a<0,且=,即a=-2,b=4时取等号. 解法2 因为a+b=2,b>0,所以+=+(a<2). 设f(a)=+(a<2), 则f(a)= 当a<0时,f(a)=--,从而f′(a)=-=,故当a<-2时,f′(a)<0;当-2<a<0时,f′(a)>0,故f(a)在(-∞,-2)上是减函数,在(-2,0)上是增函数,故当a=-2时,f(a)取得极小值;同理,当0≤a<2时,函数f(a)在a=处取得极小值.综上,当a=-2时,f(a)min=. 【问题探究,变式训练】 :例1、 已知正数x,y满足x+y=1,则+的最小值为________. 【答案】: 解法1 令x+2=a,y+1=b,则a+b=4(a>2,b>1),+=(a+b)=≥(5+4)=,当且仅当a=,b=,即x=,y=时取等号. 解法2 (幂平均不等式)设a=x+2,b=y+1,则+=+=+≥=. 解法3 (常数代换)设a=x+2,b=y+1,则+=+=+=++≥,当且仅当a=2b时取等号. 【变式1】、已知实数x,y满足x>y>0,且x+y≤2,则+的最小值为________. 【答案】 设解得所以x+y=≤2,即m+n≤4.设t=+=+,所以4t≥(m+n)=3++≥3+2.即t≥,当且仅当=,即m=n时取等号. 【变式2】、已知x,y为正实数,则+的最大值为 . .【答案】: 【解析1】:令,从而得,故,当且仅当,即时等号成立。 解法2 设BD=CD=m,AD=n,则由已知得7(2m)2+2(m2+n2)=4,所以15m2+n2=2≥2mn,所以mn≤,当且仅当15m2=n2时取等号,此时m2=,所以面积的最大值为. 例3、 若实数x,y满足2x2+xy-y2=1,则的最大值为________. 【答案】. 【解析】: 在2x2+xy-y2=1中,独立变量有两个,因为用x表示y或用y表示x均不方便,可引入第三个变量来表示x,y. 由2x2+xy-y2=1,得(2x-y)(x+y)=1,设2x-y=t,x+y=,其中t≠0.则x=t+,y=-t,从而x-2y=t-,5x2-2xy+2y2=t2+,记u=t-,则==≤=,当且仅当u=,即u=时取等号,即最大值为. 【变式1】、 已知正实数x,y满足5x2+4xy-y2=1,则12x2+8xy-y2的最小值为________. 【答案】: 解法1(双变量换元) 因为x>0,y>0,且满足5x2+4xy-y2=1,由此可得(5x-y)(x+y)=1,令u=5x-y,v=x+y,则有u>0,v>0,uv=1,并且x=,y=,代入12x2+8xy-y2=122+8··-2=≥===,当且仅当u=3v,uv=1,即u=,v=,亦即x=,y=时,12x2+8xy-y2取得最小值. 解法2(常数1的代换) 因为x>0,y>0,且满足5x2+4xy-y2 =1,由此可得(5x-y)(x+y)=1,因为x>0,y>0,x+y>0,所以5x-y>0,即有0<<5,令t=,则0查看更多