专题11+基本不等式及其应用-冲刺2019高考数学二轮复习核心考点特色突破

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专题11+基本不等式及其应用-冲刺2019高考数学二轮复习核心考点特色突破

专题11 基本不等式及其应用 ‎【自主热身,归纳总结】‎ ‎1、已知a>0, b>0,且+=,则ab的最小值是________.‎ ‎【答案】:2 ‎ ‎【解析】 利用基本不等式,化和的形式为积的形式.‎ 因为=+≥2,所以ab≥2,当且仅当==时,取等号.‎ ‎2、已知正数满足,则的最小值为 . ‎ ‎【答案】9‎ ‎【解析】: =9.‎ ‎3、已知正实数x,y满足,则x + y 的最小值为 . ‎ ‎ 【答案】: ‎ ‎4、已知a,b为正数,且直线 ax+by-6=0与直线 2x+(b-3)y+5=0互相平行,则2a+3b的最小值为________. ‎ ‎【答案】25 ‎ ‎【解析】:由于直线ax+by-6=0与直线2x+(b-3)y+5=0互相平行,所以a(b-3)=2b,即+=1(a,b均为正数),所以2a+3b=(2a+3b)=13+6≥13+6×2=25(当且仅当=即a=b=5时取等号).‎ ‎5、已知正实数满足,则的最小值为 .‎ ‎【答案】8‎ ‎【解析】:因为,所以.又因为,所以,所以,当且仅当,即时等号成立.‎ 易错警示 在应用基本不等式时,要注意它使用的三个条件“一正二定三相等”.另外,在应用基本不等式时,要注意整体思想的应用.‎ ‎ 6、设实数x,y满足x2+2xy-1=0,则x2+y2的最小值是________.‎ ‎【答案】 ‎ 思路分析1 注意到条件与所求均含有两个变量,从简化问题的角度来思考,消去一个变量,转化为只含有一个变量的函数,从而求它的最小值.注意中消去y较易,所以消去y.‎ 解法1 由x2+2xy-1=0得y=,从而x2+y2=x2+2=+-≥2-=,当且仅当x=±时等号成立.‎ 思路分析2 由所求的结论x2+y2想到将条件应用基本不等式,构造出x2+y2,然后将x2+y2求解出来.‎ 解法2 由x2+2xy-1=0得1-x2=2xy≤mx2+ny2,其中mn=1(m,n>0),所以(m+1)x2+ny2≥1,令m+1=n,与mn=1联立解得m=,n=,从而x2+y2≥=.‎ ‎7、若正实数满足,则的最小值是 ▲ .‎ ‎【答案】、8 ‎ ‎【解析】: 因为正实数满足,‎ 所以,当且仅当,即,又,即,等号成立,即取得最小值.‎ ‎8、若实数x,y满足xy+3x=3,则+的最小值为________.‎ ‎【答案】: 8 ‎ 解法1 因为实数x,y满足xy+3x=3,所以y=-3(y>3),‎ 所以+=y+3+=y-3++6≥2+6=8,当且仅当y-3=,即y=4时取等号,此时x=‎ ,所以+的最小值为8.‎ 解法2 因为实数x,y满足xy+3x=3,所以y=-3(y>3),y-3=-6>0,‎ 所以+=+=-6++6≥2+6=8,当且仅当-6=,即x=时取等号,此时y=4,所以+的最小值为8.‎ 解后反思 从消元的角度看,可以利用等式xy+3x=3消“实数x”或消“实数y”,无论用哪种消元方式,消元后的式子结构特征明显,利用基本不等式的条件成熟.‎ ‎9、 已知正数a,b满足+=-5,则ab的最小值为________.‎ ‎【答案】. 36 ‎ ‎【解析】:因为正数a,b满足+=-5,所以-5≥2,当且仅当9a=b时等号成立,即ab-5-6≥0,解得≥6或≤-1(舍去),因此ab≥36,从而(ab)min=36.‎ ‎10、已知α,β均为锐角,且cos(α+β)=,则tanα的最大值是________.‎ ‎【答案】 ‎ ‎11、 已知正数x,y满足+=1,则+的最小值为________.‎ ‎【答案】25 ‎ ‎【解析】:因为=1-,所以+=+=+9x=4++9(x-1)+9=13++9(x-1)=13++9(x-1).又因为=1->0,所以x>1,同理y>1,所以13++9(x-1)≥13+2=25,当且仅当x=时取等号,所以+的最小值为25.‎ ‎12、 已知a+b=2,b>0,当+取最小值时,实数a的值是________.‎ ‎【答案】: -2‎ 解法1 +=+=++≥-+2=,当且仅当a<0,且=,即a=-2,b=4时取等号.‎ 解法2 因为a+b=2,b>0,所以+=+(a<2).‎ 设f(a)=+(a<2),‎ 则f(a)= 当a<0时,f(a)=--,从而f′(a)=-=,故当a<-2时,f′(a)<0;当-2<a<0时,f′(a)>0,故f(a)在(-∞,-2)上是减函数,在(-2,0)上是增函数,故当a=-2时,f(a)取得极小值;同理,当0≤a<2时,函数f(a)在a=处取得极小值.综上,当a=-2时,f(a)min=.‎ ‎【问题探究,变式训练】 ‎ ‎:例1、 已知正数x,y满足x+y=1,则+的最小值为________.‎ ‎【答案】:  ‎ 解法1 令x+2=a,y+1=b,则a+b=4(a>2,b>1),+=(a+b)=≥(5+4)=,当且仅当a=,b=,即x=,y=时取等号.‎ 解法2 (幂平均不等式)设a=x+2,b=y+1,则+=+=+≥=.‎ 解法3 (常数代换)设a=x+2,b=y+1,则+=+=+=++≥,当且仅当a=2b时取等号.‎ ‎【变式1】、已知实数x,y满足x>y>0,且x+y≤2,则+的最小值为________.‎ ‎【答案】 ‎ 设解得所以x+y=≤2,即m+n≤4.设t=+=+,所以4t≥(m+n)=3++≥3+2.即t≥,当且仅当=,即m=n时取等号.‎ ‎【变式2】、已知x,y为正实数,则+的最大值为 .‎ ‎.【答案】: ‎ ‎【解析1】:令,从而得,故,当且仅当,即时等号成立。 ‎ 解法2 设BD=CD=m,AD=n,则由已知得7(2m)2+2(m2+n2)=4,所以15m2+n2=2≥2mn,所以mn≤,当且仅当15m2=n2时取等号,此时m2=,所以面积的最大值为.‎ 例3、 若实数x,y满足2x2+xy-y2=1,则的最大值为________.‎ ‎【答案】.  ‎ ‎【解析】: 在2x2+xy-y2=1中,独立变量有两个,因为用x表示y或用y表示x均不方便,可引入第三个变量来表示x,y.‎ 由2x2+xy-y2=1,得(2x-y)(x+y)=1,设2x-y=t,x+y=,其中t≠0.则x=t+,y=-t,从而x-2y=t-,5x2-2xy+2y2=t2+,记u=t-,则==≤=,当且仅当u=,即u=时取等号,即最大值为.‎ ‎【变式1】、 已知正实数x,y满足5x2+4xy-y2=1,则12x2+8xy-y2的最小值为________.‎ ‎【答案】:  ‎ 解法1(双变量换元) 因为x>0,y>0,且满足5x2+4xy-y2=1,由此可得(5x-y)(x+y)=1,令u=5x-y,v=x+y,则有u>0,v>0,uv=1,并且x=,y=,代入12x2+8xy-y2=122+8··-2=≥===,当且仅当u=3v,uv=1,即u=,v=,亦即x=,y=时,12x2+8xy-y2取得最小值.‎ 解法2(常数1的代换) 因为x>0,y>0,且满足5x2+4xy-y2‎ ‎=1,由此可得(5x-y)(x+y)=1,因为x>0,y>0,x+y>0,所以5x-y>0,即有0<<5,令t=,则00,f(t)单调递增,所以当t=时,f(t)取极小值,也是最小值f=.‎ 此时x=2y,结合5x2+4xy-y2=1,解得x=,y=,即当x=,y=时,12x2+8xy-y2取得最小值.‎ 解法3(基本不等式) 因为x>0,y>0,设u>0,v>0,则ux2+vy2≥2xy.12x2+8xy-y2≥12x2+8xy-y2+(2xy-ux2-vy2),即12x2+8xy-y2≥(12-u)x2+(8+2)xy-(v+1)y2.令(12-u)x2+(8+2)xy-(v+1)y2=t(5x2+4xy-y2)=t,则12-u=5t,8+2=4t,v+1=t,解得t=,u=,v=,‎ 所以12x2+8xy-y2=+≥+2=x2+xy-y2=(5x2+4xy-y2)=,当且仅当x=2y,结合5x2+4xy-y2=1,解得x=,y=,即当x=,y=时,12x2+8xy-y2取得最小值.‎ ‎【变式2】、若正实数x,y满足(2xy-1)2=(5y+2)(y-2),则x+的最大值为________.‎ ‎【答案】:. -1 ‎ 解法1 令x+=z,则2xy=2yz-1,代入(2xy-1)2=(5y+2)(y-2)整理得(4z2-5)y2-8(z-1)y+8=0 (*),由题意得y-2≥0,该方程在[2,+∞)应有解,故Δ≥0,即64(z-1)2-32(4z2-5)≥0,化简得2z2+4z-7≤0, 故00,y1·y2=>4,故方程必有大于2的实根,所以x+的最大值为-1.‎ 解法2 (2xy-1)2=(5y+2)(y-2),即2=,则x=,所以 x+= + ‎ = +-1‎ ‎ ≤ -1‎ ‎ =-1,‎ 当且仅当 =+1,即y=>2时等号成立,所以x+的最大值为-1.‎ 解法3 由(2xy-1)2=(5y+2)(y-2)得2=,‎ 即2=9-2,即2+2=9,‎ 所以9=2+2≥2x-++22,所以x+≤-1.‎ ‎【变式3】、若实数x,y满足x2-4xy+4y2+4x2y2=4,则当x+2y取得最大值时,的值为________.‎ ‎【答案】:2‎ 思路分析 设x=a,2y=b,则问题变简单了.‎ 设x=a,2y=b,则实数a,b满足(a-b)2+(ab)2=4.‎ 因为(a+b)2=(a-b)2+4ab=4-(ab)2+4ab=8-(ab-2)2≤8,‎ 当且仅当a=b=时,a+b取最大值2,此时x=2y,所以=2.‎ ‎【关联1】、 已知对满足x+y+4=2xy的任意正实数x,y,都有x2+2xy+y2-ax-ay+1≥0,则实数a的取值范围是________.‎ ‎【答案】:  ‎ ‎【解析】:对于正实数x,y,由x+y+4=2xy得x+y+4=2xy≤,解得x+y≥4,‎ 不等式x2+2xy+y2-ax-ay+1≥0可化为(x+y)2-a(x+y)+1≥0,‎ 令t=x+y(t≥4),则该不等式可化为t2-at+1≥0,即a≤t+对于任意的t≥4恒成立,‎ 令u(t)=t+(t≥4),则u′(t)=1-=>0对于任意的t≥4恒成立,从而函数u(t)=t+(t≥4)为单调递增函数,所以u(t)min=u(4)=4+=,于是a≤. ‎ ‎【关联2】、 设实数x,y满足-y2=1,则3x2-2xy的最小值是________.‎ ‎【答案】. 6+4 ‎ 解法1 因为-y2=1,所以3x2-2xy==,令k=∈,则3x2-2xy==,再令t=3-2k∈(2,4),则k=,故3x2-2xy==≥=6+4,当且仅当t=2时等号成立.‎ 解法2 令t=3x2-2xy,则y=,代入方程-y2=1并化简得8x4+(4-6t)x2+t2=0,令u=x2≥4,则8u2+(4-6t)u+t2=0在[4,+∞)上有解,从而由得t2-12t+4≥0,解得t≥6+4,当取得最小值时,u=2+满足题意.‎ 解法3 因为-y2=1=,所以令+y=t,则-y=,从而则3x2-2xy=6+2t2+≥6+4,当且仅当t2=时等号成立.‎
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