江苏省南通市海安县南莫中学2019-2020学年高一上学期期中考试数学试卷

江苏省南通市海安县南莫中学2019-2020学年高一上学期期中考试数学试卷

高一数学试题 一、选择题（本题共12小题，每小题5分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）‎ ‎1. 已知集合，则为（　　）‎ A. B. C. D. ‎2. 下列四组函数中，表示相同函数的一组是（　　）‎ A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 ‎3.下列等式一定正确的是（　　）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎4.当时，在同--平面直角坐标系中，函数与的图像是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎5. 已知，则，，的大小关系是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎6. 函数的定义域为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎7. 已知函数，函数在下列区间一定存在零点（　 　）‎ A. B. C. D.‎ ‎8. 在上，满足的的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎9. 已知，则的解集为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎10. 已知满足对任意，都有成立，那么的取值范围是（　 　）‎ A. B. C. D.‎ ‎11. 当时，函数的值域为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎12. 已知函数，直线与函数的图象有三个交点、、，它们的横坐标分别为，则的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分共20分）‎ ‎13. 如图所示，阴影部分表示的角的集合为（含边界） （用弧度表示）．‎ ‎14. 已知函数有两个零点，则实数的取值范围是 ．‎ ‎15. 若函数在区间内单调递增，则实数 的取值范围为 。‎ ‎16. 定义在上的偶函数在上单调递减，且，则满足的集合为 ．‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17.（本题满分10分） 已知集合，集合.‎ ‎（1）求当时，，；  ‎ ‎（2）若，求实数的取值范围．‎ ‎18. （本题满分12分）计算：‎ ‎（1）已知，求的值．‎ ‎（2）求值：．‎ ‎19.（本题满分12分） 已知.‎ ‎（1）化简；‎ ‎（2）若是第二象限，且，求的值．‎ ‎20. （本题满分12分）某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的收益与投资额成正比，投资股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比。已知投资1万元时两类产品的收益分别为0.125万元和0.5万元（如图）．‎ ‎（1）分别写出两种产品的收益与投资的函数关系．‎ ‎（2）该家庭现有20万元资金，全部用于理财投资，问：怎么分配资金能使投资获得最大收益，其最大收益是多少万元？‎ ‎21. （本题满分12分）已知函数为对数函数，并且它的图象经过点，函数在区间上的最小值为，其中．‎ ‎（1）求函数的解析式；‎ ‎（2）求函数的最小值的表达式.‎ ‎22. （本题满分12分）已知函数，是奇函数．‎ ‎（1）求，的值；‎ ‎（2）证明：是区间上的减函数；‎ ‎（3）若，求实数的取值范围．‎ ‎2019~2020学年度第一学期期中测试 高一数学试题答案和解析 一、选择题：‎ ‎1-5：DDCCA 6-10：BACCD 11、12：DB ‎1.【答案】D ‎【解析】‎ 解：∵集合， ∴． ‎ 故选：D．‎ 先分别求出集合A，B，由此能求出．‎ 本题考查并集的求法，考查并集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．‎ ‎2.【答案】D ‎【解析】‎ 解：A．与的解析式不同，两函数不相同；‎ B.的定义域为，的定义域为，定义域不同，两函数不相同；‎ C．与的解析式不同，两函数不相同；‎ D.的定义域为R，的定义域为R，定义域和解析式都相同，两函数相同．‎ 故选：D．‎ 通过化简解析式可发现选项A、C的两函数的解析式不同，两函数不相同，而选项B的两函数定义域不同，两函数也不相同，只能选D．‎ 考查函数的定义，判断两函数是否相同的方法：看解析式和定义域是否都相同．‎ ‎3.【答案】C ‎【解析】‎ A，若x，y均为负数，不对；‎ B，根据指数幂的运算性质，2m×2n=2m+n，B不对；‎ C，根据指数幂的运算性质，C正确；‎ D，若x为负数，不对．‎ 故选C．‎ ‎4.【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：先将函数y=a﹣x化成指数函数形式，再结合函数的单调性同时考虑这两个函数的单调性即可判断出结果 解：∵函数y=a﹣x与可化为函数y=，其底数大于1，是增函数，‎ 又y=logax，当0＜a＜1时是减函数，两个函数是一增一减，前增后减．‎ 故选C．‎ 考点：对数函数的图象与性质；指数函数的图象与性质．‎ ‎5.【答案】A ‎【解析】‎ 解：因为所以，，。‎ 故选：A．‎ 转化为同底数：，，，根据函数单调性判断答案．‎ 本题考查了指数函数的单调性，属于容易题．‎ ‎6.【答案】B ‎【解析】‎ 解：要使函数有意义，应满足，解得或，故函数的定义域为：；‎ 故选：B．‎ 求函数的定义域，首先分母不等于0，再根据对数函数和根号有意义的条件进行求解；‎ 此题主要考查函数的定义域及其求法，注意二次根号有意义的条件及分母不能为0；‎ ‎7.【答案】A ‎【解析】解：，，，，，，‎ ‎，由函数零点判定定理可知，在上一定存在零点．‎ 故选：A．‎ 由已知函数解析式分别求得，，，，的值，再由函数零点的判定得答案．‎ 本题考查函数零点的判定，考查函数值的求法，是基础题．‎ ‎8.【答案】C ‎【解析】‎ 解：上，满足的的取值范围：.‎ 故选：C．‎ 直接利用正弦函数的性质求解即可．‎ 本题考查正弦函数的图象与性质，三角函数线的应用，考查计算能力．‎ ‎9.【答案】C ‎【解析】‎ 解：∵，令，则，‎ ‎∴，∴，‎ 由，得，解得或，∴的解集为.‎ 故选：C．‎ 令，则，求出，从而，由此能求出的解集．‎ 本题考查方程的解集的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．‎ ‎10.【答案】D ‎【解析】‎ 满足对任意，都有成立，‎ 所以分段函数是减函数，所以，，解得．‎ 故选：D．‎ ‎11.【答案】D ‎【解析】‎ 解：，设，∵，∴，‎ 则函数等价为，∵，∴，即函数的值域为．‎ 故选：D．‎ 利用换元法将函数转化为关于的一元二次函数，利用一元二次函数的图象和性质即可求出函数的值域．‎ 本题主要考查函数值域的求法，利用换元法将函数转化为关于的一元二次函数是解决本题的关键．‎ ‎12.【答案】B ‎【解析】解：，‎ 设函数的图象与直线的交点对应横坐标分别为、、，‎ 则，，所以，故选：B．‎ 由分段函数的图象的作法得，作出的图象，‎ 由函数图象的性质得：设函数的图象与直线的交点对应横坐标分别为、、，则，，所以，得解.‎ 本题考查了分段函数的图象的作法及函数图象的性质，属中档题 二、填空题：‎ ‎13. 14. 15. 16. ‎ ‎13.【答案】‎ ‎【解析】‎ 解：如图，阴影部分表示的角位于一、三象限，在第一象限，；在第三象限，，‎ ‎∴阴影部分表示的角的集合为（含边界）：‎ 或，．‎ 故答案为：．‎ 阴影部分表示的角位于一、三象限，在第一象限，；在第三象限，，由此能求出阴影部分表示的角的集合（含边界）．‎ 本题表示角的集合的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意终边相同的角的集合的合理运用．‎ ‎14.【答案】‎ ‎【解析】‎ 解：由函数有两个零点，可得有两个零点，‎ 从而可得函数函数的图象有两个交点，‎ 结合函数的图象可得，时符合条件，故答案为：.‎ 由函数有两个零点，可得有两个零点，从而可得函数函数的图象有两个交点，结合函数的图象可求的范围.‎ 本题主要考查函数的零点以及数形结合方法，数形结合是数学解题中常用的思想方法，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质．‎ ‎15.【答案】≤m＜2.‎ ‎【分析】‎ 首先根据对数的性质可得-x2+4x+5＞0，据此即可求出函数的定义域；‎ 计算可知，二次函数y=-x2+4x+5图象的对称轴为x=2，结合对数的性质以及复合函数单调性可知f(x)的单调递增区间为（2，5）；为其子区间。‎ ‎【详解】根据对数的性质可得-x2+4x+5＞0，解得-1＜x＜5.因为二次函数y=-x2+4x+5图象的对称轴为x=2，‎ 由复合函数单调性可得函数的单调递增区间为（2，5），‎ 要使函数在区间内单调递增，只需 ‎ 解关于m的不等式组得≤m＜2.‎ ‎16.【答案】‎ ‎【解析】‎ 解：∵定义在上的偶函数在上单调递减，∴偶函数在上单调递增，‎ 又∵，∴，若，则，或，‎ 解得，或.故答案为：.‎ 根据偶函数在对称区间上单调性相反，可判断出函数的单调性，结合，可将不等式转化为，或，进而根据对数的性质解得答案．‎ 本题考查的知识点是函数的奇偶性与单调性，其中由已知分析出函数的单调性，进而将抽象不等式具体化是解答的关键．‎ 三、解答题：‎ ‎17.【答案】解：（1）当时，，‎ ‎∴，‎ ‎.‎ ‎（2）由得：，则有：，解得：，即：，‎ ‎∴实数的取值范围为.‎ ‎【解析】‎ ‎（1）由题意可得，，根据集合的基本运算可求 ‎（2）由得，结合数轴可求的范围 本题主要考查了集合的交集、并集的基本运算，集合包含关系的应用，解题的关键是准确利用数轴 ‎18.【答案】解：（1），．‎ ‎（2）原式．‎ ‎【解析】（1）利用即可得出．‎ ‎（2）利用指数与对数运算性质即可得出．‎ 本题考查了指数与对数运算性质、乘法公式应用，考查了推理能力与计算能力，属于基 础题．‎ ‎19.【答案】解：（1）.‎ ‎（2）由得，，‎ ‎∵是第二象限，∴.‎ ‎【解析】‎ ‎（1）由条件利用诱导公式进行化简所给的式子，可得的解析式．‎ ‎（2）利用诱导公式、同角三角函数的基本关系，求得的值．‎ 本题主要考查应用诱导公式化简三角函数式，要特别注意符号的选取，这是解题的易错点，属于基础题．‎ ‎20.【答案】（1） ； （2）.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）根据题意，得，，代入点的坐标，求的的值，即可可得到两种产品的收益与投资的函数关系；（2）投资债券类产品万元，则股票类投资为万元，令，换元利用二次函数的性质，即可求解其最大收益．‎ 试题解析：（1），，，，‎ ‎（2）设：投资债券类产品万元，则股票类投资为万元．令，则 所以当，即万元时，收益最大，万元．‎ 考点：函数的实际应用问题．‎ ‎21.【答案】解：（1）设，的图象经过点，‎ ‎∴，即，∴，∴，∴，，‎ ‎（2）设，∵，∴，即，‎ 则，对称轴为.‎ ‎①当时，在上是增函数，.‎ ‎②当时，在上是减函数，在上是增函数，，‎ ‎③当时，在上是减函数，，‎ 综上所述，.‎ ‎【解析】‎ ‎（1）代入点的坐标，求出的值，从而求出的解析式；‎ ‎（2）设，通过讨论的范围，求出函数的最小值即可；‎ 本题考查了求对数函数的解析式，考查函数的单调性、最值问题，考查分类讨论思想，是一道中档题．‎ ‎22.【答案】（1）解：∵函数，是奇函数，‎ ‎∴，且，即，.‎ ‎（2）证明：由（1）得，，设任意且，‎ ‎∴，∵，∴，∴‎ ‎，‎ 又∵，，∴，∴.‎ ‎∴是区间上的减函数．‎ ‎（3）解：∵，∴，∵奇函数，∴，∵是区间上的减函数，‎ ‎∴即有，∴，‎ 则实数的取值范围是.‎ ‎【解析】‎ ‎（1）由于函数是奇函数，且有意义，则，定义域关于原点对称，列出方程，即可得到，；‎ ‎（2）运用单调性的定义，注意作差、变形，同时运用指数函数的单调性，即可判断符号，得到结论成立；‎ ‎（3）运用奇函数的定义和函数是区间上的减函数，得到不等式组，注意定义域的运用，解出它们即可得到范围．‎ 本题考查函数的性质和运用，考查函数的奇偶性和单调性的定义和判断，以及运用解不等式，注意定义域，考查运算能力，属于中档题和易错题．‎