江西省吉安市2018-2019学年高二下学期期末考试数学（理）试题

江西省吉安市2018-2019学年高二下学期期末考试数学（理）试题

吉安市2018-2019学年高二下学期期末考试数学试卷（理科）‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.推理“①圆内接四边形的对角和为；②等腰梯形是圆内接四边形；③”中的小前提是（　）‎ A. ① B. ② C. ③ D. ①和②‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由演绎推理三段论可知, ①是大前提；②是小前提；③是结论。‎ ‎【详解】由演绎推理三段论可知, ①是大前提；②是小前提；③是结论，故选B。‎ ‎【点睛】本题主要考查演绎推理的一般模式。‎ ‎2.复数在复平面内所对应的点位于（　）‎ A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直接利用复数代数形式的运算法则化简，再利用复数的几何意义即可求出。‎ ‎【详解】，所以在复平面内，复数对应的点的坐标是 ，位于第三象限，故选C。‎ ‎【点睛】本题主要考查复数代数形式的四则运算法则的应用，以及复数的几何意义。‎ ‎3.将两个随机变量之间的相关数据统计如表所示：‎ 根据上述数据，得到的回归直线方程为，则可以判断（　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据最小二乘法，求出相关量，，即可求得的值。‎ ‎【详解】因为， ，‎ ‎，‎ 所以，‎ ‎ ，故选C。‎ ‎【点睛】本题主要考查利用最小二乘法求线性回归方程，意在考查学生的数学运算能力。‎ ‎4.下面是利用数学归纳法证明不等式（，且的部分过程：“……，假设当时，＋＋…＋，故当时，有　　　　，因为　　　　，故＋＋…＋，……”，则横线处应该填（　）‎ A. ＋＋…＋+＜，‎ B. ＋＋…＋，‎ C. 2＋＋…＋+，‎ D. 2＋＋…＋，‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 分析】‎ 由归纳假设，推得的结论，结合放缩法，便可以得出结论。‎ ‎【详解】假设当时，＋＋…＋，故当时，＋＋…＋+＜，因为 ‎，‎ ‎＋＋…＋，故选A。‎ ‎【点睛】本题主要考查数学归纳法的步骤，以及放缩法的运用，意在考查学生的逻辑推理能力。‎ ‎5.若随机变量服从正态分布，则（　）‎ 参考数据：若，则,，‎ A. 0.84 B. 0.9759 C. 0.8185 D. 0.6826‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意可知，，所以，‎ 由公式即可求出。‎ ‎【详解】根据题意可知，，所以 ‎ ‎ ‎，故选A。‎ ‎【点睛】本题主要考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，意在考查数形结合思想，化归与转化思想的应用。‎ ‎6.（　　）‎ A. ＋2 B. ＋4 C. ＋2 D. ＋4‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意，先利用定积分性质可得，‎ ‎，‎ 然后利用微积分基本定理计算，利用定积分的几何意义计算，即可求出答案。‎ ‎【详解】因为，‎ ‎，，‎ 所以，‎ 故选A。‎ ‎【点睛】本题主要考查利用定积分的性质、几何意义以及微积分基本定理计算定积分。‎ ‎7.4名老师、2位家长以及1个学生站在一排合影，要求2位家长不能站在一起，学生必须和4名老师中的王老师站在一起，则共有（　　）种不同的站法．‎ A. 1920 B. 960 C. 1440 D. 720‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先将学生和王老师捆绑成一个团队，再将团队与另外3个老师进行排列，最后将两位家长插入排好的队中即可得出。‎ ‎【详解】完成此事分三步进行：（1）学生和王老师捆绑成一个团队，有种站法；（2）将团队与另外3个老师进行排列，有种站法；（3）将两位家长插入排好的队中，有 种站法，根据分步计数原理，所以有种不同的站法，故选B。‎ ‎【点睛】本题主要考查分步乘法计数原理、捆绑法以及插空法的应用。‎ ‎8.小红和小明利用体育课时间进行投篮游戏，规定双方各投两次，进球次数多者获胜．已知小红投篮命中的概率为，小明投篮命中的概率为，且两人投篮相互独立，则小明获胜的概率为（　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意可知，用表示小明、小红的进球数 ，所以当小明获胜时，进球情况应该是，由相互独立事件同时发生的乘法公式以及互斥事件的概率加法公式，即可求得。‎ ‎【详解】由题意可知，用表示小明、小红的进球数 ，所以当小明获胜时，进球情况应该是，小明获胜的概率是 ‎ ‎ 故选D。‎ ‎【点睛】本题主要考查相互独立事件同时发生的乘法公式以及互斥事件的概率加法公式的应用，意在考查学生分类讨论思想意识以及运算能力。‎ ‎9.某大学推荐7名男生和5名女生参加某企业的暑期兼职，该企业欲在这12人中随机挑选3人从事产品的销售工作，记抽到的男生人数为，则（　）‎ A. 2 B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 依题意可得，X可能取值为0,1,2,3，分别求出概率，再由期望公式即可求出。‎ ‎【详解】依题意可得，X的可能取值为0,1,2,3，则 ‎，，‎ ‎，，‎ 所以。‎ ‎【点睛】本题主要考查离散型随机变量期望的求法。‎ ‎10.设函数为自然对数的底数）在上单调递增，则实数的取值范围为（　　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据单调性与导数的关系，有在上恒成立，将恒成立问题转化成最值问题，利用导数，研究的单调性，求出最小值，即可得到实数的取值范围。‎ ‎【详解】依题意得，在上恒成立，即 ‎ 在上恒成立，设，令，，‎ ‎ ，所以，，‎ ‎，故选D。‎ ‎【点睛】本题主要考查函数单调性与导数的关系，将函数在某区间单调转化为导数 或者的恒成立问题，再将其转化为最值问题，是解决此类问题的常规思路。‎ ‎11.对于一个数三次方，我们可以分解为若干个数字的和如下所示：‎ ‎…，‎ 根据上述规律，的分解式中，等号右边的所有数的个位数之和为（　）‎ A. 71 B. 75 C. 83 D. 88‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 观察可知，等式右边的数为正奇数，故在之前，总共使用了个正奇数，因此，，故所有数的个位数之和为83.‎ ‎【详解】观察可知，等式右边的数为正奇数，故在之前，总共使用了个正奇数，所以的分解式中第一个数为，最后一个是，因此，所有数的个位数之和为83，故选C。‎ ‎【点睛】本题主要考查学生的归纳推理能力。‎ ‎12.定义在上的函数满足为自然对数的底数），其中为的导函数，若，则的解集为（　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由，以及，联想到构造函数，所以等价为，通过导数求的单调性，由单调性定义即可得出结果。‎ ‎【详解】设，等价为，‎ ‎，故在上单调递减，所以，解得，‎ 故选C ‎【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性的问题，利用单调性定义解不等式，如何构造函数是解题关键，意在考查学生数学建模能力。‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.‎ ‎13.若实数满足，且，则_____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先通过复数代数形式的四则运算法则对等式进行运算，再利用复数相等求出，最后由复数的模的计算公式求出。‎ ‎【详解】因为，所以已知等式可变形为，‎ 即， 解得 ， ‎ ‎。‎ ‎【点睛】本题主要考查复数代数形式的四则运算法则，复数相等的概念以及复数的模的计算公式的应用。‎ ‎14.已知函数，则曲线在处的切线方程为_____‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用导数的几何意义，求出切线斜率，由点斜式即可求得切线方程。‎ ‎【详解】因为，所以，切点坐标为，‎ 故切线方程为：即。‎ ‎【点睛】本题主要考查利用导数的几何意义求函数曲线在某点处的切线方程。‎ ‎15.在1，2，3，…，80这八十个数中，随机抽取一个数作为数，将分别除以3，5，7后所得余数按顺序拼凑成一个具有三位数字的数，例如，时，时，．若，则_____.‎ ‎【答案】49‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由的个位数字为0，所以一定是7的倍数，它可能的取值为7，14，21,28,35,42,49,56,63,70,77，再分别求出它们所对应的数，可知。‎ ‎【详解】由的个位数字为0，所以一定是7的倍数，它可能的取值为7，14，21,28,35,42,49,56,63,70,77，它们所对应的数分别为 ‎120,240,010,130,200,020,140,210,030,100,220，故。‎ ‎【点睛】本题主要考查合情推理，列举找规律。‎ ‎16.为了宣传校园文化，让更多的学生感受到校园之美，某校学生会组织了6个小队在校园最具有代表性的3个地点进行视频拍摄，若每个地点至少有1支小队拍摄，则不同的分配方法有_____种（用数字作答）‎ ‎【答案】540‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先将6个小队分成三组，有三种组合，然后再分配，即可求出结果。‎ ‎【详解】（1）若按照进行分配有种方案；‎ ‎（2）若按照进行分配有种方案；‎ ‎（3）若按照进行分配有种方案；‎ 由分类加法原理，所以共有种分配方案。‎ ‎【点睛】本题主要考查分类加法计数原理，以及排列组合的相关知识应用。易错点是平均分配有重复，注意消除重复。‎ 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎（一）必考题：共60分.‎ ‎17.设．‎ ‎（Ⅰ）求的值；‎ ‎（Ⅱ）求的值．‎ ‎【答案】（Ⅰ）16；（Ⅱ）1049.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）赋值，令即可求出；（Ⅱ）分别令，两式相加，‎ 可以求得，单独求出，继而求出。‎ ‎【详解】(I)令,解得. ‎ ‎(II)令,即,‎ 令,即,‎ 两式相加，,‎ 而，‎ 故.‎ ‎【点睛】本题主要考二项式定理和赋值法的应用。‎ ‎18.我国是枇把生产大国，在对枇杷的长期栽培和选育中，形成了众多的品种．成熟的枇杷味道甜美，营养颇丰，而且中医认为枇杷有润肺、止咳、止渴的功效．因此，枇杷受到大家的喜爱．某果农调查了枇杷上市时间与卖出数量的关系，统计如表所示：‎ 结合散点图可知，线性相关．‎ ‎（Ⅰ）求关于的线性回归方程＝（其中，用假分数表示）；‎ ‎（Ⅱ）计算相关系数，并说明（I）中线性回归模型的拟合效果．‎ 参考数据：；‎ 参考公式：回归直线方程＝中的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：‎ ‎；相关系数 ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ），因为，所以拟合效果较好。‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）利用最小二乘法求线性回归方程；（Ⅱ）直接依据公式计算相关系数，比较即可。‎ ‎【详解】（1）， ，‎ ‎，‎ ‎，‎ 所以＝，‎ 则，‎ 故所求线性回归方程为；‎ ‎（II），‎ 故 ‎＝‎ ‎,‎ 故（I）中线性回归模型的拟合效果较好.‎ ‎【点睛】本题主要考查线性回归方程的求法以及相关系数的计算与应用。‎ ‎19.完成下列证明：‎ ‎（Ⅰ）求证：；‎ ‎（Ⅱ）若，求证：.‎ ‎【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）证明见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）运用分析法，两边平方，化简配方即可得证；（Ⅱ）运用变形和基本不等式，即可得证。‎ ‎【详解】（I）要证：≥‎ 只需证：≥，‎ 即证：，‎ 即证：,‎ 即证：，即证：，‎ 这显然成立，故.‎ ‎（II）依题意， ‎ 因为，故，‎ 故 当且仅当，即，‎ 即时等号成立.‎ ‎【点睛】本题主要考查不等式的证明的方法——分析法和综合法，意在考查学生运用分析法和使用基本不等式时涉及到的变形能力，化简能力以及推理能力。‎ ‎20.对一批产品的内径进行抽查，已知被抽查的产品的数量为200，所得内径大小统计如表所示：‎ ‎（Ⅰ）以频率估计概率，若从所有的这批产品中随机抽取3个，记内径在的产品个数为X，X的分布列及数学期望；‎ ‎（Ⅱ）已知被抽查的产品是由甲、乙两类机器生产，根据如下表所示的相关统计数据，是否有的把握认为生产产品的机器种类与产品的内径大小具有相关性．‎ 参考公式：，（其中为样本容量）．‎ ‎0.050‎ ‎0.010‎ ‎0.001‎ k ‎3.841‎ ‎6635‎ ‎10.828‎ ‎【答案】（Ⅰ）分布列见解析，；（Ⅱ）没有.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）由频率分布表可知，任取1件产品，内径在[26，28)的概率，所以，根据二项分布的计算公式分别求出时的概率，列出分布列，再根据期望公式求出期望；（Ⅱ）首先依题意填写列联表，再求得的观测值，结合临界值表即可得出结论。‎ ‎【详解】(I)任取1件产品，内径在[26，28)的概率，‎ 故，‎ ‎，‎ ‎＝，‎ ‎＝，‎ ‎＝，‎ 故X的分布列为：‎ X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P 故；‎ ‎（II）依题意，所得列联表如下所示 内径小于28mm 内径不小于28mm 总计 甲机器生产 ‎68‎ ‎32‎ ‎100‎ 乙机器生产 ‎60‎ ‎40‎ ‎100‎ 总计 ‎128‎ ‎72‎ ‎200‎ 的观测值为，‎ 故没有99%的把握认为生产产品的机器种类与产品的内径大小具有相关性。‎ ‎【点睛】本题主要考查离散型随机变量的分布列与期望的求法，独立性检验的基本思想及其应用。‎ ‎21.已知函数为自然对数的底数）．‎ ‎（Ⅰ）求函数的单调区间；‎ ‎（Ⅱ）若，证明：关于的不等式在上恒成立．‎ ‎【答案】（Ⅰ）的单调递增区间为和，单调递减区间为；（Ⅱ）证明见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）根据导数求解函数单调区间的步骤，确定定义域，求导，解导数不等式或 ，中间涉及到解含参的一元二次不等式的解法，注意分类讨论；（Ⅱ）构造函数 ‎，再利用题目条件进行放缩，得到，转化为求函数的最小值，即可证出。‎ ‎【详解】定义域为R，‎ ‎,‎ 令，‎ 则，‎ 则 结合二次函数图像可知，‎ 当时，；‎ 当时，；‎ 当时，；‎ 故函数的单调递增区间为和，‎ 单调递减区间为；‎ ‎（II）令，‎ 当时，，‎ 而，‎ 故，‎ 故，‎ 令，‎ 故，故函数在上单调递减，‎ 则，‎ 则，‎ 即关于x的不等式在上恒成立.‎ ‎【点睛】本题主要考查利用导数求函数的单调区间问题，最值问题，证明恒成立问题，涉及到转化与化归思想的应用。灵活构造函数是解决本题的关键，合理放缩也是关键点，意在考查学生的逻辑推理、数学运算和数学建模的能力。‎ ‎（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．‎ 选修4-4：坐标系与参数方程 ‎22.在直角坐标系中，曲线C的参数方程为为参数．在以原点为极点，为参数）．在以原点为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线的极坐标方程为．‎ ‎（Ⅰ）求曲线C的普通方程和直线的直角坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）设，直线与曲线C交于M，N两点，求的值．‎ ‎【答案】（Ⅰ），；（Ⅱ）7.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）直接把曲线C的参数方程平方相加，可以消除参数，得到普通方程，结合极坐标与直角坐标的互化公式可得直线的直角坐标方程；（Ⅱ）先写出直线的标准式参数方程，代入曲线方程，化为关于的一元二次方程，再由根与系数的关系及的几何意义，即可求出。‎ ‎【详解】(I) 曲线C的普通方程:，‎ 直线l的直角坐标方程：；‎ ‎（II）设直线l的参数方程为（t为参数）‎ 代入，‎ 得，故；‎ 设对应的对数分别为，‎ 则，‎ 故.‎ ‎【点睛】本题主要考查曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化，参数方程与普通方程的互化。易错点是在应用直线参数方程中参数的几何意义时，参数方程必须是标准式，否则容易导致错误。‎ 选修4-5：不等式选讲 ‎23.已知函数．‎ ‎（Ⅰ）求不等式的解集；‎ ‎（Ⅱ）若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（Ⅰ）或；（Ⅱ）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）由绝对值的意义，利用零点分段法解不等式；（Ⅱ）通过变形，将 在上恒成立，转化为，由绝对值不等式的性质即可求得的最小值，继而得到的范围。‎ ‎【详解】(I )依题意，‎ 当时，原式化为 解得.故,‎ 当时,原式化为 解得，故;‎ 当时，原式化为：，‎ 解得：，故，‎ 解集为：或.‎ ‎（II）‎ 即：‎ 因为 当且仅当时等号成立；‎ 故，即实数m的取值范围为.‎ ‎【点睛】本题主要考查绝对值不等式的解法以及绝对值不等式的性质应用，意在考查学生数学运算能力。‎ ‎ ‎