2018届二轮复习导数的应用课件（全国通用）

2018届二轮复习导数的应用课件（全国通用）

第 二 节　 导数的应用 考点梳理 考纲速览 命题解密 热点预测 1. 利用导数研究函数的单调性 . 2. 利用导数研究函数的极值与最值 . 3. 导数的综合应用及实际应用 . 1. 了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间 ( 其中多项式函数一般不超过三次 ). 2. 了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值 ( 其中多项式函数一般不超过三次 ) ；会求闭区间上函数的最大值、最小值 ( 其中多项式函数一般不超过三次 ). 3. 会利用导数解决某些实际问题 . 　　主要考查运用导数研究函数的单调性和极值；以实际问题为背景考查导数在生活中的优化问题的应用，以解答题的形式考查导数与解析几何、不等式、方程等知识相结合的问题 . 　　预测高考对本部分的考查仍将突出导数的工具性作用 . 重点考查利用导数研究函数的极值、最值及单调性等问题 . 结合单调性与最值求参数范围、证明不等式内容是高考热点 . 知识点一 导数与函数的单调性、极值 1. 函数的单调性与导数 在某个区间 ( a ， b ) 内，如果 f ′( x ) __ 0 ，那么函数 y ＝ f ( x ) 在这个区间内单调递增；如果 f ′( x ) __ 0 ，那么函数 y ＝ f ( x ) 在这个区间内单调递减 . > < 2. 函数极值的概念 (1) 判断 f ( x 0 ) 是极值的方法 一般地，当函数 f ( x ) 在点 x 0 处连续时， ① 如果在 x 0 附近的左侧 _______ ，右侧 _______ ，那么 f ( x 0 ) 是极大值； ② 如果在 x 0 附近的左侧 _______ ，右侧 _______ ，那么 f ( x 0 ) 是极小值 . f ′( x )>0 f ′( x )<0 f ′( x )>0 f ′( x )<0 (2) 求可导函数极值的步骤 ① 求 f ′( x ) ； ② 求方程 ________ 的根； ③ 检查 f ′( x ) 的方程 _________ 的根的左右两侧导数值的符号 . 如果左正右负，那么 f ( x ) 在这个根处取得 ________ ；如果左负右正，那么 f ( x ) 在这个根处取得 ________ . (3) 极大值点、极小值点统称为极值点，极大值、极小值统称为极值 . f ′( x ) ＝ 0 f ′( x ) ＝ 0 极大值 极小值 知识点二 导数函数的最值及在实际生活中的应用 1. 函数的最值 (1) 在闭区间 [ a ， b ] 上连续的函数 f ( x ) 在 [ a ， b ] 上必有最大值与 _______ . (2) 若函数 f ( x ) 在 [ a ， b ] 上单调递增，则 f ( a ) 为函数的最小值， f ( b ) 为函数的 _______ ；若函数 f ( x ) 在 [ a ， b ] 上单调递减，则 f ( a ) 为函数的最大值， f ( b ) 为函数的最小值 . (3) 设函数 f ( x ) 在 [ a ， b ] 上连续，在 ( a ， b ) 内可导，求 f ( x ) 在 [ a ， b ] 上的最大值和最小值的步骤如下： ① 求 f ( x ) 在 ( a ， b ) 内的极值； ② 将 f ( x ) 的各极值与 _________ 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值 . 最小值 最大值 f ( a ) ， f ( b ) 2. 解决优化问题的基本思路 【 名师助学 】 1 . 本部分知识可以归纳为： (1) 三个步骤：求函数单调区间的三个步骤： ① 确定定义域； ② 求导函数 f ′( x ) ； ③ 由 f ′( x )>0( 或 f ′( x )<0) 求出相应的单调区间 . (2) 两个条件： ① f ′( x )>0 在 ( a ， b ) 上成立是 f ( x ) 在 ( a ， b ) 上单调递增的充分不必要条件 . ② 对于可导函数 f ( x ) ， f ′( x 0 ) ＝ 0 是函数 f ( x ) 在 x ＝ x 0 处有极值的必要不充分条件 . 2 . 注意单调函数的充要条件 ， 尤其对于已知单调性求参数值 ( 范围 ) 时 ， 隐含恒成立思想 . 3 . 求极值、最值时 ， 要求步骤规范、表格齐全；含参数时 ， 要讨论参数的大小 . 求函数单调区间与函数极值时要养成列表的习惯 ，可使问题直观且有条理，减少失分的可能 . 方法 1 利用导数研究函数的单调性 1. 由 f ′( x )>0( f ′( x )<0) 的解集确定函数 f ( x ) 的单调增 ( 减 ) 区间 . 若遇不等式中带有参数时，可分类讨论求得单调区间 . 2. 由函数的单调性求参数的取值范围的方法 (1) 可导函数在某一区间上单调，实际上就是在该区间上 f ′( x ) ≥ 0( 或 f ′( x ) ≤ 0)( f ′( x ) 在该区间的任意子区间内都不恒等于 0) 恒成立，然后分离参数，转化为求函数的最值问题，从而获得参数的取值范围； (2) 可导函数在某一区间上存在单调区间，实际上就是 f ′ ( x )>0( 或 f ′( x )<0) 在该区间上存在解集，这样就把函数的单调性问题转化成了不等式问题； (3) 若已知 f ( x ) 在区间 I 上的单调性，区间 I 中含有参数时，可先求出 f ( x ) 的单调区间，令 I 是其单调区间的子集，从而可求出参数的取值范围 . 方法 2 导数与极值（最值 1. 求函数 f ( x ) 极值的方法 求函数的极值应先确定函数的定义域，再解方程 f ′( x ) ＝ 0 ，再判断 f ′( x ) ＝ 0 的根是否是极值点，可通过列表的形式进行分析，若遇极值点含参数不能比较大小时，则需分类讨论 . 2. 求函数 f ( x ) 在区间 [ a ， b ] 上的最值的方法 (1) 若函数在区间 [ a ， b ] 上单调递增或递减， f ( a ) 与 f ( b ) 一个为最大值，一个为最小值； (2) 若函数在闭区间 [ a ， b ] 内有极值，要先求出 [ a ， b ] 上的极值，与 f ( a ) ， f ( b ) 比较，最大的是最大值，最小的是最小值，可列表完成 . [ 解题指导 ] [ 点评 ] 　 将方程的根转化为函数图象交点问题 ， 进一步转化为求函数的极大 ( 极小 ) 值问题 . 方法 3 利用导数解决生活中的优化问题 利用导数解决生活中优化问题的一般步骤 (1) 分析实际问题中各量之间的关系，找出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系 y ＝ f ( x ) ，根据实际意义确定定义域； (2) 求函数 y ＝ f ( x ) 的导数 f ′( x ) ，解方程 f ′( x ) ＝ 0 得出定义域内的实根，确定极值点； (3) 比较函数在区间端点和极值点处的函数值大小，获得所求的最大 ( 小 ) 值； (4) 还原到原实际问题中作答 . [ 点评 ] 　 解答本题的关键是设出未知量 ， 列出函数关系式 ， 然后分类讨论 ， 利用导数求最值 ， 还要注意函数定义域的范围 . 方法 4 构造函数证明不等式恒成立问题 利用导数证明不等式的方法 (1) 证明 f ( x )< g ( x ) ， x ∈ ( a ， b ) ，可以构造函数 F ( x ) ＝ f ( x ) － g ( x ) ，如果 F ′( x )<0 ，则 F ( x ) 在 ( a ， b ) 上是减函数，同时若 F ( a ) ≤ 0 ，由减函数的定义可知， x ∈ ( a ， b ) 时，有 F ( x )<0 ，即证明了 f ( x )< g ( x ). (2) 证明 f ( x )> g ( x ) ， x ∈ ( a ， b ) ，可以构造函数 F ( x ) ＝ f ( x ) － g ( x ) ，如果 F ′( x )>0 ，则 F ( x ) 在 ( a ， b ) 上是增函数，同时若 F ( a ) ≥ 0 ，由增函数的定义可知， x ∈ ( a ， b ) 时，有 F ( x )>0 ，即证明了 f ( x )> g ( x ). 【 例 4】 设函数 f ( x ) ＝ x ＋ ax 2 ＋ b ln x ，曲线 y ＝ f ( x ) 过 P (1 ， 0) ，且在 P 点处的切线斜率为 2. (1) 求 a ， b 的值； (2) 证明： f ( x ) ≤ 2 x － 2. [ 点评 ] 　 1. 运用导数证明不等式 f ( x )> g ( x ) 成立的一般步骤： 第一步：构造 h ( x ) ＝ f ( x ) － g ( x ) ； 第二步：求 h ′( x ) ； 第三步：判断 h ( x ) 的单调性； 第四步：确定 h ( x ) 的最小值； 第五步：证明 h ( x ) min >0 成立； 第六步：得出所证结论 . 2 . 利用导数知识证明不等式是导数应用的一个重要方面 ， 也是高考的一个新热点 ， 其关键是构造适当的函数 ， 判断区间端点对应的函数值与 0 的关系 ， 实际就是利用求导的方法去研究函数的单调性 ，并通过单调性证明不等式 .