高考文科数学复习：夯基提能作业本 (59)

高考文科数学复习：夯基提能作业本 (59)

第三节　空间点、直线、平面之间的位置关系 A组　基础题组 ‎1.下列说法正确的是(　　)‎ A.若a⊂α,b⊂β,则a与b是异面直线 B.若a与b异面,b与c异面,则a与c异面 C.若a,b不同在平面α内,则a与b异面 D.若a,b不同在任何一个平面内,则a与b异面 ‎2.已知空间中有三条线段AB,BC和CD,且∠ABC=∠BCD,那么直线AB与CD的位置关系是(　　)‎ A.AB∥CD B.AB与CD异面 C.AB与CD相交 D.AB∥CD或AB与CD异面或AB与CD相交 ‎3.设A、B、C、D是空间中四个不同的点,下列命题中,不正确的是(　　)‎ A.若AC与BD共面,则AD与BC共面 B.若AC与BD是异面直线,则AD与BC是异面直线 C.若AB=AC,DB=DC,则AD=BC D.若AB=AC,DB=DC,则AD⊥BC ‎4.若空间三条直线a,b,c满足a⊥b,b⊥c,则直线a与c(　　)‎ A.一定平行 B.一定相交 C.一定是异面直线 D.平行、相交或异面 ‎5.l1,l2,l3是空间三条不同的直线,则下列命题正确的是(　　)‎ A.l1⊥l2,l2⊥l3⇒l1⊥l3‎ B.l1⊥l2,l2∥l3⇒l1⊥l3‎ C.l1∥l2∥l3⇒l1,l2,l3共面 D.l1,l2,l3共点⇒l1,l2,l3共面 ‎6.如图,平行六面体ABCD-A1B1C1D1中既与AB共面又与CC1共面的棱有　　　　条. ‎ ‎7.对于空间三条直线,有下列四个条件:‎ ‎①三条直线两两相交且不共点;‎ ‎②三条直线两两平行;‎ ‎③三条直线共点;‎ ‎④有两条直线平行,第三条直线和这两条直线都相交.‎ 其中使三条直线共面的充分条件是　　　　. ‎ ‎8.空间四边形两对角线的长分别为6和8,所成的角为45°,连接各边中点所得四边形的面积是　　　　. ‎ ‎9.如图所示,在四面体ABCD中作截面PQR,若PQ、CB的延长线交于点M,RQ、DB的延长线交于点N,RP、DC的延长线交于点K.求证:M、N、K三点共线.‎ ‎10.如图所示,A是△BCD所在平面外的一点,E,F分别是BC,AD的中点.‎ ‎(1)求证:直线EF与BD是异面直线;‎ ‎(2)若AC⊥BD,AC=BD,求EF与BD所成的角.‎ B组　提升题组 ‎11.(2015广东,6,5分)若直线l1和l2是异面直线,l1在平面α内,l2在平面β内,l是平面α与平面β的交线,则下列命题正确的是(　　)‎ A.l与l1,l2都不相交 B.l与l1,l2都相交 C.l至多与l1,l2中的一条相交 D.l至少与l1,l2中的一条相交 ‎12.如图,ABCD-A1B1C1D1是长方体,O是B1D1的中点,直线A1C交平面AB1D1于点M,则下列结论正确的是(　　)‎ A.A,M,O三点共线 B.A,M,O,A1不共面 C.A,M,C,O不共面 D.B,B1,O,M共面 ‎13.如图,在三棱锥A-BCD中,AB=AC=BD=CD=3,AD=BC=2,点M,N分别为AD,BC的中点,则异面直线AN,CM所成的角的余弦值是　　　　. ‎ ‎14.已知正方体ABCD-A1B1C1D1中,E、F分别为D1C1、C1B1的中点,AC∩BD=P,A1C1∩EF=Q.‎ ‎(1)求证:D、B、F、E四点共面;‎ ‎(2)若A1C交平面DBFE于R点,求证:P、Q、R三点共线.‎ ‎15.如图,在三棱锥P-ABC中,PA⊥底面ABC,D是PC的中点.已知∠BAC=π‎2‎,AB=2,AC=2‎3‎,PA=2.‎ ‎(1)求三棱锥P-ABC的体积;‎ ‎(2)求异面直线BC与AD所成角的余弦值.‎ 答案全解全析 A组　基础题组 ‎1.D　由异面直线的定义可知选D.‎ ‎2.D　若三条线段共面,则直线AB与CD相交或平行;若三条线段不共面,则直线AB与CD是异面直线.‎ ‎3.C　若AB=AC,DB=DC,AD不一定等于BC,C不正确.‎ ‎4.D　当a,b,c共面时,a∥c;当a,b,c不共面时,a与c可能异面也可能相交.‎ ‎5.B　A选项,l1⊥l2,l2⊥l3,则l1与l3的位置关系可能是相交、平行或异面;B选项正确;C选项,l1∥l2∥l3,则l1,l2,l3可能共面,也可能不共面;D选项不正确,如长方体中共顶点的三条棱所在直线,这三条直线不共面.‎ ‎6.答案　5‎ 解析　与AB和CC1都相交的棱有BC;与AB相交且与CC1平行的棱有AA1,BB1;与AB平行且与CC1相交的棱有CD,C1D1.故符合条件的有5条.‎ ‎7.答案　①④‎ 解析　易知①中的三条直线一定共面;三棱柱三侧棱两两平行,但不共面,故②不符合;三棱锥三侧棱交于一点,但不共面,故③不符合;④中两条直线平行可确定一个平面,第三条直线和这两条直线都相交,则第三条直线也在这个平面内,故三条直线共面.‎ ‎8.答案　6‎‎2‎ 解析　如图,已知空间四边形ABCD,对角线AC=6,BD=8,易证四边形EFGH为平行四边形,∠EFG或∠FGH为AC与BD所成的45°角,故S四边形EFGH=3×4sin 45°=6‎2‎.‎ ‎9.证明　∵M∈直线PQ,直线PQ⊂平面PQR,‎ M∈直线BC,直线BC⊂平面BCD,‎ ‎∴M是平面PQR与平面BCD的一个公共点,‎ 即M在平面PQR与平面BCD的交线上.‎ 同理可证:N、K也在平面PQR与平面BCD的交线上.‎ 又如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线,故M、N、K三点共线.‎ ‎10.解析　(1)证明:假设EF与BD不是异面直线,则EF与BD共面,从而DF与BE共面,即AD与BC共面,所以A,B,C,D在同一平面内,这与A是△BCD所在平面外的一点相矛盾.故直线EF与BD是异面直线.‎ ‎(2)取CD的中点G,连接EG,FG,则AC∥FG,EG∥BD,所以相交直线EF与EG所成的角(或其补角)即为异面直线EF与BD所成的角.‎ 又因为AC⊥BD,AC=BD,则FG⊥EG,FG=EG.‎ 所以∠FEG=45°,即异面直线EF与BD所成的角为45°.‎ B组　提升题组 ‎11.D　解法一:如图1,l1与l2是异面直线,l1与l平行,l2与l相交,故A,B不正确;如图2,l1与l2是异面直线,l1,l2都与l相交,故C不正确,选D.‎ 解法二:因为l分别与l1,l2共面,故l与l1,l2要么都不相交,要么至少与l1,l2中的一条相交.若l与l1,l2都不相交,则l∥l1,l∥l2,从而l1∥l2,与l1,l2是异面直线矛盾,故l至少与l1,l2中的一条相交,选D.‎ ‎12.A　连接A1C1,AC,则A1C1∥AC,所以A1,C1,C,A四点共面,所以A1C⊂平面ACC1A1,因为M∈A1C,所以M∈平面ACC1A1,又M∈平面AB1D1,所以M在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上,同理,O也在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上,所以A,M,O三点共线.‎ ‎13.答案　‎‎7‎‎8‎ 解析　如图所示,连接DN,取线段DN的中点K,连接MK,CK.‎ ‎∵M为AD的中点,∴MK∥AN,‎ ‎∴∠KMC(或其补角)为异面直线AN,CM所成的角.‎ ‎∵AB=AC=BD=CD=3,AD=BC=2,N为BC的中点,‎ ‎∴易求得AN=DN=CM=2‎2‎,∴MK=‎2‎.‎ 在Rt△CKN中,CK=‎(‎2‎‎)‎‎2‎+‎‎1‎‎2‎=‎3‎.‎ 在△CKM中,由余弦定理,得cos∠KMC=‎(‎2‎‎)‎‎2‎+(2‎2‎‎)‎‎2‎-(‎‎3‎‎)‎‎2‎‎2×‎2‎×2‎‎2‎=‎7‎‎8‎.‎ ‎14.证明　(1)如图所示.‎ 因为EF是△D1B1C1的中位线,‎ 所以EF∥B1D1.‎ 又在正方体AC1中,B1D1∥BD,‎ 所以EF∥BD.‎ 所以EF与BD可确定一个平面,‎ 即D、B、F、E四点共面.‎ ‎(2)在正方体AC1中,设平面ACC1A1为α,平面DBFE为β.‎ 因为Q∈A1C1,所以Q∈α,‎ 又Q∈EF,所以Q∈β,则Q是α与β的公共点,‎ 同理,P也是α与β的公共点,所以α∩β=PQ.‎ 又因为A1C∩β=R,所以R∈A1C,R∈α且R∈β,‎ 则R∈PQ,故P、Q、R三点共线.‎ ‎15.解析　(1)因为PA⊥底面ABC,所以PA是三棱锥P-ABC的高.又S△ABC=‎1‎‎2‎×2×2‎3‎=2‎3‎,所以三棱锥P-ABC的体积为V=‎1‎‎3‎S△ABC·PA=‎1‎‎3‎×2‎3‎×2=‎4‎‎3‎‎3‎.‎ ‎(2)如图,取PB的中点E,连接DE,AE,则ED∥BC,所以∠ADE(或其补角)是异面直线BC与AD所成的角.‎ 易知PB=2‎2‎,PC=4,BC=4,则在△ADE中,DE=2,AE=‎2‎,AD=2,‎ 所以cos∠ADE=‎2‎‎2‎‎+‎2‎‎2‎-(‎‎2‎‎)‎‎2‎‎2×2×2‎=‎3‎‎4‎.‎ 故异面直线BC与AD所成角的余弦值为‎3‎‎4‎.‎