高中数学必修4同步练习：平面几何中的向量方法

高中数学必修4同步练习：平面几何中的向量方法

必修四 2.5.1平面几何中的向量方法 一、选择题 ‎1、已知点O，N，P在△ABC所在平面内，且||＝||＝||，＋＋＝0，·＝PB·＝·，则点O，N，P依次是△ABC的(　　)‎ A．重心、外心、垂心 B．重心、外心、内心 C．外心、重心、垂心 D．外心、重心、内心 ‎2、已知非零向量与满足·＝0且·＝，则△ABC的形状是(　　)‎ A．三边均不相等的三角形 B．直角三角形 C．等腰(非等边)三角形 D．等边三角形 ‎3、已知点A(，1)，B(0,0)，C(，0)，设∠BAC的平分线AE与BC相交于E，那么有＝λ，其中λ等于(　　)‎ A．2 B. C．－3 D．－ ‎4、若O是△ABC所在平面内一点，且满足|－|＝|＋－2|，则△ABC的形状是(　　)‎ A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 ‎5、已知直线l1：3x＋4y－12＝0，l2：7x＋y－28＝0，则直线l1与l2的夹角是(　　)‎ A．30° B．45°‎ C．135° D．150°‎ ‎6、点O是三角形ABC所在平面内的一点，满足·＝·＝·，则点O是△ABC的(　　)‎ A．三个内角的角平分线的交点 B．三条边的垂直平分线的交点 C．三条中线的交点 D．三条高的交点 ‎7、在△ABC中，已知A(4,1)、B(7,5)、C(－4,7)，则BC边的中线AD的长是(　　)‎ A．2 B. C．3 D. 二、填空题 ‎8、在直角坐标系xOy中，已知点A(0,1)和点B(－3,4)，若点C在∠AOB的平分线上且||＝2，则＝__________________.‎ ‎9、设平面上有四个互异的点A、B、C、D，已知(＋－2)·(－)＝0，则△ABC的形状一定是__________．‎ ‎10、已知平面上三点A、B、C满足||＝3，||＝4，||＝5.则·＋·＋·＝________________.‎ ‎11、如图，在△ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB、AC于不同的两 点M、N，若＝m，＝n，则m＋n的值为__________________．‎ 三、解答题 ‎12、求证：△ABC的三条高线交于一点．‎ ‎13、P是正方形ABCD对角线BD上一点，PFCE为矩形．求证：PA＝EF且PA⊥EF.‎ ‎14、在△ABC中，A(4,1)，B(7,5)，C(－4,7)，求∠A的平分线的方程．‎ 以下是答案 一、选择题 ‎1、C ‎　[如图，∵＋＋＝0，‎ ‎∴＋＝－.依向量加法的平行四边形法则，知|N|＝2||，故点N为△ABC的重心．‎ ‎∵·＝·，‎ ‎∴(－)·＝·＝0.‎ 同理·＝0，·＝0，‎ ‎∴点P为△ABC的垂心．‎ 由||＝||＝||，知点O为△ABC的外心．]‎ ‎2、D　[由·＝0，得角A的平分线垂直于BC.∴AB＝AC.‎ 而·＝cos〈，〉＝，又〈，〉∈[0°，180°]，∴∠BAC＝60°.‎ 故△ABC为正三角形，选D.]‎ ‎3、C ‎[如图所示，由题知∠ABC＝30°，∠AEC＝60°，CE＝，∴＝3，∴＝－3.]‎ ‎4、B　[∵|－|＝||＝|－|，‎ ‎|＋－2|＝|＋|，‎ ‎∴|－|＝|＋|，‎ ‎∴四边形ABDC是矩形，且∠BAC＝90°.‎ ‎∴△ABC是直角三角形．]‎ ‎5、B　[设l1、l2的方向向量为v1，v2，则 v1＝(4，－3)，v2＝(1，－7)，‎ ‎∴|cos〈v1，v2〉|＝＝＝.‎ ‎∴l1与l2的夹角为45°.]‎ ‎6、D　[∵·＝·，‎ ‎∴(－)·＝0.‎ ‎∴·＝0.‎ ‎∴OB⊥AC.同理OA⊥BC，OC⊥AB，‎ ‎∴O为垂心．]‎ ‎7、B　[BC中点为D，＝，‎ ‎∴||＝.]‎ 二、填空题 ‎8、 解析　‎ 已知A(0,1)，B(－3,4)，‎ 设E(0,5)，D(－3,9)，‎ ‎∴四边形OBDE为菱形．‎ ‎∴∠AOB的角平分线是菱形OBDE的对角线OD.‎ 设C(x1，y1)，||＝3，‎ ‎∴＝.‎ ‎∴(x1，y1)＝×(－3,9)＝，‎ 即＝.‎ ‎9、等腰三角形 解析　∵(＋－2)·(－)‎ ‎＝[(－)＋(－)]·(－)‎ ‎＝(＋)·(－)＝2－2‎ ‎＝||2－||2＝0，‎ ‎∴||＝||，∴△ABC是等腰三角形．‎ ‎10、－25‎ 解析　△ABC中，B＝90°，cos A＝，cos C＝，‎ ‎∴·＝0，·＝4×5×＝－16，‎ ‎·＝5×3×＝－9.‎ ‎∴·＋·＋·＝－25.‎ ‎11、2‎ 解析　∵O是BC的中点，‎ ‎∴＝(＋)＝＋，‎ ‎∴＝－＝(－1)＋.‎ 又∵＝－，∥，‎ ‎∴存在实数λ，使得＝λ，即 化简得m＋n＝2.‎ 三、解答题 ‎12、证明　‎ 如图所示，已知AD，BE，CF是△ABC的三条高．‎ 设BE，CF交于H点，‎ 令＝b，＝c，＝h，‎ 则＝h－b，＝h－c，＝c－b.‎ ‎∵⊥，⊥，‎ ‎∴(h－b)·c＝0，(h－c)·b＝0，‎ 即(h－b)·c＝(h－c)·b 整理得h·(c－b)＝0，∴·＝0‎ ‎∴AH⊥BC，∴与共线．‎ AD、BE、CF相交于一点H.‎ ‎13、证明　以D为坐标原点，DC所在直线为x轴，DA所在直线为y轴，建立平面直角坐标系如图所示，设正方形边长为1，||＝λ，则A(0,1)，‎ P，E，F，‎ 于是＝，＝.‎ ‎∴||＝＝，‎ 同理||＝，‎ ‎∴||＝||，∴PA＝EF.‎ ‎∴·＝＋＝0，‎ ‎∴⊥.∴PA⊥EF.‎ ‎14、解　＝(3,4)，＝(－8,6)，‎ ‎∠A的平分线的一个方向向量为：‎ ‎＋＝＋＝.‎ ‎∵∠A的平分线过点A.‎ ‎∴所求直线方程为－(x－4)－(y－1)＝0.‎ 整理得：7x＋y－29＝0.‎