数学文·辽宁省师大附中2017届高三上学期期中考试数学文试卷 Word版含解析

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数学文·辽宁省师大附中2017届高三上学期期中考试数学文试卷 Word版含解析

2016-2017 学年辽宁省师大附中高三(上)期中数学试卷(文科)   一、选择题:(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.) 1.已知集合 A={x∈Z|x(x﹣3)≤0},B={x|lnx<1},则 A∩B=(  ) A.{0,1,2} B.{1,2,3} C.{1,2} D.{2,3} 2.复数 i(1﹣2i)=(  ) A.﹣2+i B.2+i C.2﹣i D.﹣2﹣i 3.设 a∈R,则“a>1”是“a2>1”的(  ) A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.既非充分也非必要条件 4.在△ABC 中,设 = , = ,且| |=2,| |=1, • =﹣1,则| |=(  ) A.1 B. C. D.2 5.已知实数 x,y 满足 ,则 z=(x﹣1)2+y2 的最大值是(  ) A.1 B.9 C.2 D.11 6.设 f(x)为定义在 R 上的奇函数,且是周期为 4 的周期函数,f(1)=1,则 f(﹣1)+f (8)=(  ) A.﹣2 B.﹣1 C.0 D.1 7.已知△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若 a2=b2+c2﹣bc,a=3,则△ABC 的周长的最大值为(  ) A.2 B.6 C. D.9 8.一个棱锥的三视图如图(尺寸的长度单位为 m),则该棱锥的全面积是(单位:m2).(  ) A. B. C. D. 9.设等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 S3=9,S6=36,则 a7+a8+a9=(  ) A.81 B.54 C.45 D.18 10.已知三棱锥 S﹣ABC 的底面是以 AB 为斜边的等腰直角三角形,AB=2,SA=SB=SC=2, 则三棱锥的外接球的球心到平面 ABC 的距离是(  ) A. B.1 C. D. 11.已知函数 f(x)=x3+ax2+bx+c,x∈[﹣2,2]表示的曲线过原点,且在 x=±1 处的切线斜 率均为﹣1,给出以下结论: ①f(x)的解析式为 f(x)=x3﹣4x,x∈[﹣2,2]; a b a b a b ②f(x)的极值点有且仅有一个; ③f(x)的最大值与最小值之和等于 0. 其中正确的结论有(  ) A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.3 个 12.如图,已知双曲线 C: ﹣ =1(a>0,b>0)的右顶点为 A,O 为坐标原点,以 A 为圆心的圆与双曲线 C 的某渐近线交于两点 P、Q,若∠PAQ=60°且 =3 ,则双曲线 C 的离心率为(  ) A. B. C. D.   二、填空题(每题 5 分,满分 20 分,将答案填在答题纸上) 13.函数 f(x)=lnx 的图象在点 x=1 处的切线方程是  . 14.已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 a3+a4+a5=12,则 S7 的值为  . 15.已知 x>0,y>0, + +1=2,则 2x+y 的最小值为  . 16.已知椭圆 + =1(a>b>0)的离心率 e= ,A,B 是椭圆的左、右顶点,P 是椭 圆上不同于 A,B 的一点,直线 PA,PB 斜倾角分别为 α,β,则|tanα﹣tanβ|的最小值 为  .   三、解答题(本大题共 5 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17.(12 分)已知函数 f(x)=cosx(2 sinx﹣cosx)+asin2x 的一个零点是 . (1)求函数 f(x)的最小正周期; (2)令 x∈[﹣ , ],求此时 f(x)的最大值和最小值. 18.(12 分)如图,正方形 ABCD 所在平面与三角形 CDE 所在平面相交于 CD,AE⊥平面 CDE,且 AE=1,AB=2. (Ⅰ)求证:AB⊥平面 ADE; (Ⅱ)求凸多面体 ABCDE 的体积. 19.(12 分)已知数列{an}的前 n 项和 Sn 满足 Sn=p(Sn﹣an)+ (p 为大于 0 的常数),且 a1 是 6a3 与 a2 的等差中项. (Ⅰ)求数列{an}的通项公式; (Ⅱ)若 an•bn=2n+1,求数列{bn}的前 n 项和 Tn. 20.(12 分)已知抛物线 C:x2=4y,过点 P(t,0)(其中 t>0)作互相垂直的两直线 l1, l2,直线 l1 与抛物线 C 相切于点 Q(在第一象限内),直线 l2 与抛物线 C 相交于 A,B 两 点. (Ⅰ)当 t=1 时,求直线 l1 的方程; (Ⅱ)求证:直线 l2 恒过定点. 21.(12 分)设函数,f(x)=lnx+ ,k∈R. (1)若曲线 y=f(x)在点(e,f(e))处的切线与直线 x﹣2=0 垂直,求 f(x)的单调递减 区间和极小值(其中 e 为自然对数的底数); (2)若对任意 x1>x2>0,f(x1)﹣f(x2)<x1﹣x2 恒成立,求 k 的取值范围.   请考生在第 22、23 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.作答时请写清 题号.[选修 4-4:坐标系与参数方程] 22.(10 分)在平面直角坐标系 xOy 中,已知曲线 C1: + =1,以 O 为极点,x 轴的 正半轴极轴,取相同的单位长度建立极坐标系,直线 l 的方程为:ρ(2cosθ﹣sinθ)=6. (1)试写出直线 l 的直角坐标方程和曲线 C1 的参数方程; (2)在曲线 C1 上求一点 P,使点 P 到直线 l 的距离最大,并求出最大值.   [选修 4-5:不等式选讲] 23.已知 a 和 b 是任意非零实数. (1)求 的最小值. (2)若不等式|2a+b|+|2a﹣b|≥|a|(|2+x|+|2﹣x|)恒成立,求实数 x 的取值范围.   2016-2017 学年辽宁省师大附中高三(上)期中数学试卷 (文科) 参考答案与试题解析   一、选择题:(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.) 1.(2016•江西校级三模)已知集合 A={x∈Z|x(x﹣3)≤0},B={x|lnx<1},则 A∩B=(  ) A.{0,1,2} B.{1,2,3} C.{1,2} D.{2,3} 【考点】交集及其运算. 【专题】集合. 【分析】求出 A 中 x 的范围,确定出整数解得到 A,求出 B 中不等式的解集确定出 B,找 出 A 与 B 的交集即可. 【解答】解:由 A 中不等式解得:0≤x≤3,x∈Z,即 A={0,1,2,3}, 由 B 中不等式变形得:lnx<lne, 解得:0<x<e,即 B=(0,e), 则 A∩B={1,2}. 故选:C. 【点评】此题考查了交集及其运算,熟练掌握交集的定义是解本题的关键.   2.(2015•甘肃校级模拟)复数 i(1﹣2i)=(  ) A.﹣2+i B.2+i C.2﹣i D.﹣2﹣i 【考点】复数代数形式的乘除运算. 【专题】计算题. 【分析】利用两个复数代数形式的乘法法则,虚数单位 i 的幂运算性质,求得结果. 【解答】解:∵复数 i(1﹣2i)=i﹣2i2=2+i, 故选 B. 【点评】本题主要考查两个复数代数形式的乘法法则,虚数单位 i 的幂运算性质,属于基础 题.   3.(2016•上海)设 a∈R,则“a>1”是“a2>1”的(  ) A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.既非充分也非必要条件 【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断. 【专题】转化思想;定义法;简易逻辑. 【分析】根据不等式的关系,结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可. 【解答】解:由 a2>1 得 a>1 或 a<﹣1, 即“a>1”是“a2>1”的充分不必要条件, 故选:A. 【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断,利用不等式的关系结合充分条件和必要 条件的定义是解决本题的关键,比较基础.   4.(2016•江西校级三模)在△ABC 中,设 = , = ,且| |=2,| |=1, • =﹣1,则| |=(  ) A.1 B. C. D.2 【考点】平面向量数量积的运算. 【专题】计算题;转化思想;向量法;平面向量及应用. 【分析】根据向量的数量积的运算,先求出 与 的夹角为 θ,再根据余弦定理即可求出 答案. 【解答】解:设 = , = ,设 与 的夹角为 θ, ∵| |=2,| |=1, • =﹣1, ∴ • =| |•| |cosθ=2×1×cosθ=﹣1, ∴cosθ= , ∴θ=120°, ∴∠ACB=60°, 由余弦定理可得| |2=| |2+| |2﹣2| |•| |cos60°=4+1﹣2×2×1× =3, ∴| |= , 故选:C. 【点评】本题考查了向量的数量积的运算和余弦定理,考查运算能力,属于中档题   5.(2016 秋•沙河口区校级期中)已知实数 x,y 满足 ,则 z=(x﹣1)2+y2 的 最大值是(  ) A.1 B.9 C.2 D.11 【考点】简单线性规划. 【专题】计算题;数形结合;数形结合法;不等式. 【分析】画出平面区域,利用 z=(x﹣1)2+y2 的几何意义表示为区域内的点与(1,0)的 距离的平方最大值求得. 【解答】解:x,y 满足的平面区域如图:z=(x﹣1)2+y2 的几何意义表示为区域内的点与(1,0)的距离的平方最大值,显然到 D 的距离最大,所 以 z=(x﹣1)2+y2 的最大值 z=(1﹣1)2+32=9; 故选 B. a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b 【点评】本题考查了简单线性规划问题;一般的,正确画出平面区域,利用目标函数的几何 意义求最值是常用方法.   6.(2015•滨州二模)设 f(x)为定义在 R 上的奇函数,且是周期为 4 的周期函数,f(1) =1,则 f(﹣1)+f(8)=(  ) A.﹣2 B.﹣1 C.0 D.1 【考点】函数奇偶性的性质. 【专题】函数的性质及应用. 【分析】根据函数的周期性得出 f(x+4)=f(x).奇偶性得出 f(﹣x)=﹣f(x),化简得出 f(﹣1)+f(8)=﹣f(1)+f(0),即可求解. 【解答】解:∵f(x)为定义在 R 上的奇函数, ∴f(0)=0,f(﹣x)=﹣f(x) ∵f(x)是周期为 4 的周期函数, ∴f(x+4)=f(x). ∵f(1)=1, ∴f(﹣1)+f(8)=﹣f(1)+f(0)=﹣1 故选:B 【点评】本题考查了函数的性质,运用求解函数值,难度不大,属于容易题,关键是掌握好 性质的定义式.   7.(2016 秋•沙河口区校级期中)已知△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c, 若 a2=b2+c2﹣bc,a=3,则△ABC 的周长的最大值为(  ) A.2 B.6 C. D.9 【考点】余弦定理;正弦定理. 【专题】计算题;转化思想;综合法;解三角形. 【分析】由已知利用余弦定理可求 A,利用 a=3 和 sinA 的值,根据正弦定理表示出 b 和 c, 代入三角形的周长 a+b+c 中,利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化为一 个角的正弦函数,根据正弦函数的值域即可得到周长的最大值. 【解答】解:∵a2=b2+c2﹣bc,可得:bc=b2+c2﹣a2, ∴cosA= = , ∵A∈(0,π), ∴A= , ∴由 a=3,结合正弦定理得: = =2 , ∴b=2 sinB,c=2 sinC, 则 a+b+c=3+2 sinB+2 sinC =3+2 sinB+2 sin( ﹣B) =3+3 sinB+3cosB =3+6sin(B+ ), 可知周长的最大值为 9. 故选:D. 【点评】此题考查学生灵活运用正弦、余弦定理化简求值,灵活运用两角和与差的正弦函数 公式化简求值,掌握正弦函数的值域,是一道中档题.   8.(2016•福安市校级模拟)一个棱锥的三视图如图(尺寸的长度单位为 m),则该棱锥的全 面积是(单位:m2).(  ) A. B. C. D. 【考点】由三视图求面积、体积. 【专题】计算题;图表型. 【分析】由三视图可以看出,此几何体是一个侧面与底面垂直的三棱锥,垂直于底面的侧面 是一个高为 2,底连长也为 2 的等腰直角三角形,底面与垂直于底面的侧面全等,此两面的 面积易求,另两个与底面不垂直的侧面是全等的,可由顶点在底面上的射影作出此两侧面底 边的高,将垂足与顶点连接,此线即为侧面三角形的高线,求出侧高与底面的连长,用三角 形面积公式求出此两侧面的面积,将四个面的面积加起来即可 【解答】解:由三视图可以看出,此几何体是一个侧面与底面垂直且底面与垂直于底面的侧 面全等的三棱锥 由图中数据知此两面皆为等腰直角三角形,高为 2,底面连长为 2,故它们的面积皆为 =2, 由顶点在底面的投影向另两侧面的底边作高,由等面积法可以算出,此二高线的长度长度相 等,为 , 将垂足与顶点连接起来即得此两侧面的斜高,由勾股定理可以算出,此斜高为 2 ,同理 可求出侧面底边长为 , 可求得此两侧面的面积皆为 = , 故此三棱锥的全面积为 2+2+ + = , 故选 A. 【点评】本题考点是由三视图求几何体的面积、体积,考查对三视图的理解与应用,主要考 查对三视图与实物图之间的关系,用三视图中的数据还原出实物图的数据,再根据相关的公 式求表面积与体积,本题求的是三棱锥的全面积,做本题时要注意本题中的规律应用,即四 个侧面两两相等,注意到这一点,可以大大降低运算量.三视图的投影规则是主视、俯视 长对正;主视、左视高平齐,左视、俯视 宽相等.   9.(2016 秋•沙河口区校级期中)设等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 S3=9,S6=36,则 a7+a8+a9=(  ) A.81 B.54 C.45 D.18 【考点】等比数列的前 n 项和. 【专题】计算题;转化思想;等差数列与等比数列. 【分析】由等比数列的性质可得 S3,S6﹣S3,S9﹣S6,…成等比数列,由已知数据易得答 案. 【解答】解:由等比数列的性质可得 S3,S6﹣S3,S9﹣S6,…成等比数列,并设其公比为 q, 又由题意可得 S3=9,S6﹣S3=36﹣9=27, ∴q= =3, ∴a7+a8+a9=S9﹣S6=27×3=81. 故选:A. 【点评】本题考查等比数列的求和公式和性质,属基础题.   10.(2016 秋•沙河口区校级期中)已知三棱锥 S﹣ABC 的底面是以 AB 为斜边的等腰直角 三角形,AB=2,SA=SB=SC=2,则三棱锥的外接球的球心到平面 ABC 的距离是(  ) A. B.1 C. D. 【考点】球内接多面体. 【专题】综合题;空间位置关系与距离. 【分析】据三棱锥 S﹣ABC 的底面是以 AB 为斜边的等腰直角三角形,SA=SB=SC,可得 S 在面 ABC 上的射影为 AB 中点 H,SH⊥平面 ABC,在面 SHC 内作 SC 的垂直平分线 MO 与 SH 交于 O,则 O 为 SABC 的外接球球心,OH 为 O 与平面 ABC 的距离,由此可得结 论. 【解答】解:∵三棱锥 S﹣ABC 的底面是以 AB 为斜边的等腰直角三角形,SA=SB=SC, ∴S 在面 ABC 上的射影为 AB 中点 H,∴SH⊥平面 ABC. ∴SH 上任意一点到 A、B、C 的距离相等. ∵SH= ,CH=1,在面 SHC 内作 SC 的垂直平分线 MO 与 SH 交于 O,则 O 为 SABC 的 外接球球心. ∵SC=2, ∴SM=1,∠OSM=30°, ∴SO= ,∴OH= ,即为 O 与平面 ABC 的距离. 故选:A. 【点评】本题考查点到面的距离的计算,考查学生分析解决问题的能力,确定 OHO 与平面 ABC 的距离是关键.   11.(2014•北京校级模拟)已知函数 f(x)=x 3+ax2+bx+c,x∈[﹣2,2]表示的曲线过原点, 且在 x=±1 处的切线斜率均为﹣1,给出以下结论: ①f(x)的解析式为 f(x)=x3﹣4x,x∈[﹣2,2]; ②f(x)的极值点有且仅有一个; ③f(x)的最大值与最小值之和等于 0. 其中正确的结论有(  ) A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.3 个 【考点】利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究函数的极值. 【专题】导数的概念及应用. 【分析】首先利用导数的几何意义及函数 f(x)过原点,列方程组求出 f(x)的解析式; 则命题①可得出判断;最后令 f′(x)=0,求出 f(x)的极值点,进而求得 f(x)的单调区 间与最值,则命题②③得出判断. 【解答】解:函数 f(x)=x3+ax2+bx+c 的图象过原点,可得 c=0; 又 f′(x)=3x2+2ax+b,且 f(x)在 x=±1 处的切线斜率均为﹣1, 则有 ,解得 a=0,b=﹣4. 所以 f(x)=x3﹣4x,f′(x)=3x2﹣4. ①可见 f(x)=x3﹣4x,因此①正确; ②令 f′(x)=0,得 x=± .因此②不正确; 所以 f(x)在[﹣ , ]内递减, 且 f(x)的极大值为 f(﹣ )= ,极小值为 f( )=﹣ ,两端点处 f (﹣2)=f(2)=0, 所以 f(x)的最大值为 M= ,最小值为 m=﹣ ,则 M+m=0,因此③正确. 所以正确的结论为①③, 故选 C. 【点评】本题考查了利用导数研究曲线上某点切线方程,应用导数求函数的极值点,最大值 与最小值等基础知识,考查运算求解能力,属于中档题.   12.(2016•日照二模)如图,已知双曲线 C: ﹣ =1(a>0,b>0)的右顶点为 A,O 为坐标原点,以 A 为圆心的圆与双曲线 C 的某渐近线交于两点 P、Q,若∠PAQ=60°且 =3 ,则双曲线 C 的离心率为(  ) A. B. C. D. 【考点】双曲线的简单性质. 【专题】计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】确定△QAP 为等边三角形,设 AQ=2R,则 OP=R,利用勾股定理,结合余弦定理, 即可得出结论. 【解答】解:因为∠PAQ=60°且 =3 , 所以△QAP 为等边三角形, 设 AQ=2R,则 OP=R, 渐近线方程为 y= x,A(a,0),取 PQ 的中点 M,则 AM= 由勾股定理可得(2R)2﹣R2=( )2, 所以(ab)2=3R2(a2+b2)① 在△OQA 中, = ,所以 7R2=a2② ①②结合 c2=a2+b2,可得 = . 故选:B. 【点评】本题考查双曲线的性质,考查余弦定理、勾股定理,考查学生的计算能力,属于中 档题.   二、填空题(每题 5 分,满分 20 分,将答案填在答题纸上) 13.(2012 秋•增城市期末)函数 f(x)=lnx 的图象在点 x=1 处的切线方程是 y=x﹣1 . 【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程. 【专题】导数的综合应用. 【分析】先 x=1 代入解析式求出切点的坐标,再求出函数的导数后代入求出 f′(1),即为所 求的切线斜率,再代入点斜式进行整理即可. 【解答】解:把 x=1 代入 f(x)=lnx 得,f(1)=ln1=0, ∴切点的坐标为:(1,0), 由 f′(x)=(lnx)′= ,得在点 x=1 处的切线斜率 k=f′(1)=1, ∴在点 x=1 处的切线方程为:y=x﹣1, 故答案为:y=x﹣1. 【点评】本题考查了导数的几何意义和直线点斜式方程,关键求出某点处切线的斜率即该点 处的导数值,还有切点的坐标,利用切点在曲线上和切线上.   14.(2012 秋•广州期末)已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 a3+a4+a5=12,则 S7 的值为  28 . 【考点】等差数列的前 n 项和. 【专题】计算题. 【分析】利用等差数列的性质可求得 a4,而 S7=7a4,从而可求得 S7 的值,. 【解答】解:∵{an}为等差数列,a3+a4+a5=12, ∴3a4=12, ∴a4=4, 又 S7=7a4=28. 故答案为:28. 【点评】本题考查等差数列的前 n 项和,着重考查利用等差数列的性质,属于中档题.   15.(2013•新余二模)已知 x>0,y>0, + +1=2,则 2x+y 的最小值为 8 . 【考点】基本不等式. 【专题】不等式的解法及应用. 【分析】利用“乘 1 法”和基本不等式的性质即可得出. 【解答】解:∵x>0,y>0, + +1=2, ∴2x+y=(2x+y) =4+ =8,当且仅当 y=2x=4 时取等号. ∴2x+y 的最小值为 8. 故答案为:8. 【点评】本题考查了“乘 1 法”和基本不等式的性质,属于基础题.   16.(2016•江西校级三模)已知椭圆 + =1(a>b>0)的离心率 e= ,A,B 是椭圆 的左、右顶点,P 是椭圆上不同于 A,B 的一点,直线 PA,PB 斜倾角分别为 α,β,则|tanα﹣tanβ| 的最小值为 1 . 【考点】椭圆的简单性质. 【专题】方程思想;转化思想;不等式的解法及应用;圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】利用椭圆的标准方程及其性质可得:kPA•kPB=﹣ ,即 tanαtanβ=﹣ =﹣ , 由|tanα﹣tanβ|=|tanα|+|tanβ|,再利用基本不等式的性质即可得出. 【解答】解:∵离心率 e= = = , ∴ = . 设 P(x0,y0),椭圆顶点 A(﹣a,0),B(a,0),kPA= , kPA•kPB= , 又 =1,∴ , ∴kPA•kPB=﹣ , 即 tanαtanβ=﹣ =﹣ , ∴|tanα﹣tanβ|=|tanα|+|tanβ|≥2 =1.当且仅当|tanα|=|tanβ|=1 时取 等号. ∴|tanα﹣tanβ|的最小值为 1, 故答案为:1. 【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、基本不等式的性质、斜率计算公式,考查了 推理能力与计算能力,属于中档题.   三、解答题(本大题共 5 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17.(12 分)(2016•日照二模)已知函数 f(x)=cosx(2 sinx﹣cosx)+asin2x 的一个零点 是 . (1)求函数 f(x)的最小正周期; (2)令 x∈[﹣ , ],求此时 f(x)的最大值和最小值. 【考点】三角函数中的恒等变换应用;正弦函数的图象. 【专题】转化思想;综合法;三角函数的求值. 【分析】(1)将 f(x)化简,将( ,0)代入求得 a=1,将其化简为 f(x)=2sin (2x﹣ ),求周期, (2)x∈[﹣ , ],2x﹣ ∈[ , ],由正弦函数图象求得 f(x)的最大值和 最小值. 【解答】解:(1)f(x)=cosx(2 sinx﹣cosx)+asin2x=2 sinxcosx﹣cos2x+asin2x, = sin2x﹣cos2x+asin2x,一个零点是 , 代入求得 a=1, ∴f(x)=2sin(2x﹣ ), f(x)的最小正周期为 π, (2)x∈[﹣ , ],2x﹣ ∈[ , ], ∴f(x)的最大值为 ,最小值﹣2. 【点评】本题主要考查两角和差的正弦公式,二倍角公式,正弦函数的单调性的应用,属于 中档题.   18.(12 分)(2016 秋•沙河口区校级期中)如图,正方形 ABCD 所在平面与三角形 CDE 所 在平面相交于 CD,AE⊥平面 CDE,且 AE=1,AB=2. (Ⅰ)求证:AB⊥平面 ADE; (Ⅱ)求凸多面体 ABCDE 的体积. 【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积;直线与平面垂直的判定. 【专题】证明题;数形结合;等体积法;空间位置关系与距离. 【分析】(Ⅰ)推导出 AE⊥CD,CD⊥AD,从而 CD⊥平面 ADE,再由 AB∥CD,能证明 AB ⊥平面 ADE. (Ⅱ)凸多面体 ABCDE 的体积 V=VB﹣CDE+VB﹣ADE,由此能求出结果. 【解答】证明:(Ⅰ)∵AE⊥平面 CDE,CD⊂平面 CDE, ∴AE⊥CD, 又在正方形 ABCD 中,CD⊥AD,AE∩AD=A, ∴CD⊥平面 ADE, 又在正方形 ABCD 中,AB∥CD, ∴AB⊥平面 ADE.…(6 分) 解:(Ⅱ)连接 BD,设 B 到平面 CDE 的距离为 h, ∵AB∥CD,CD⊂平面 CDE, ∴AB∥平面 CDE,又 AE⊥平面 CDE, ∴h=AE=1,又 = , ∴ = , 又 = = , ∴凸多面体 ABCDE 的体积 V=VB﹣CDE+VB﹣ADE= .…(12 分) 【点评】本题考查线面垂直的证明,考查多面体的体积的求法,是中档题,注意空间思维能 力的培养.   19.(12 分)(2014•锦州一模)已知数列{an}的前 n 项和 Sn 满足 Sn=p(Sn﹣an)+ (p 为 大于 0 的常数),且 a1 是 6a3 与 a2 的等差中项. (Ⅰ)求数列{an}的通项公式; (Ⅱ)若 an•bn=2n+1,求数列{bn}的前 n 项和 Tn. 【考点】数列递推式;数列的求和. 【专题】等差数列与等比数列. 【分析】(I)当 n≥2 时,利用 an=Sn﹣Sn﹣1 即可得出 an,n=1 时单独考虑,再利用等比数 列的通项公式即可得出; (II)由(I)得 ,利用“错位相减法”即可得出其前 n 项和. 【解答】解:(I)当 n=1 时, ,得 . 当 n≥2 时, , , 两式相减得 an=pan﹣1,即 . 故{an}是首项为 ,公比为 p 的等比数列, ∴ . 由题意可得:2a1=6a3+a2, , 化为 6p2+p﹣2=0. 解得 p= 或 (舍去). ∴ = . (II)由(I)得 , 则 , +(2n﹣1)×2n+(2n+1)×2n+1, 两式相减得﹣Tn=3×2+2×(22+23+…+2n)﹣(2n+1)×2n+1 = =﹣2﹣(2n﹣1)×2n+1, ∴ . 【点评】熟练掌握:当 n≥2 时,利用 an=Sn﹣Sn﹣1,a1=S1;等比数列的通项公式,“错位相 减法”是解题的关键.   20.(12 分)(2016•江西校级三模)已知抛物线 C:x2=4y,过点 P(t,0)(其中 t>0)作 互相垂直的两直线 l1,l2,直线 l1 与抛物线 C 相切于点 Q(在第一象限内),直线 l2 与抛物 线 C 相交于 A,B 两点. (Ⅰ)当 t=1 时,求直线 l1 的方程; (Ⅱ)求证:直线 l2 恒过定点. 【考点】抛物线的简单性质. 【专题】方程思想;分析法;直线与圆;圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】(Ⅰ)当 t=1 时,设直线 l1 的斜率为 k,则直线 l1 的方程为 y=k(x﹣1),代入抛物 线的方程,运用直线和抛物线相切的条件:判别式为 0,即可得到所求直线的方程; (Ⅱ)设直线 l1 的斜率为 k,则 l1 直线的方程为 y=k(x﹣t),代入抛物线的方程,运用直线 和抛物线相切的条件:判别式为 0,可得 t=k,再由两直线垂直的条件:斜率之积为﹣1,求 得直线 l2 的斜率及方程,进而得到定点. 【解答】解:(Ⅰ)当 t=1 时,设直线 l1 的斜率为 k, 则直线 l1 的方程为 y=k(x﹣1), 与抛物线方程联立 可得:x2﹣4kx+4k=0, 由于直线 l1 与抛物线 C 相切,所以△=16k2﹣16k=0, 求得:k=0 或 k=1,根据点 Q 在第一象限内,所以 k=1, 从而直线 l1 的方程为 x﹣y﹣1=0; 证明:(Ⅱ)设直线 l1 的斜率为 k,则 l1 直线的方程为 y=k(x﹣t), 与抛物线方程联立 可得:x2﹣4kx+4kt=0, 由于直线 l1 与抛物线 C 相切,所以△=16k2﹣16kt=0,解得:t=k, 故 Q 点坐标为(2t,t2),所以直线 l1 的斜率为 , 又 l1⊥l2,故设 l2 的方程为: ,即 , 则直线 l2 恒过定点(0,1). 【点评】本题考查抛物线和直线相切的条件,注意联立方程运用判别式为 0,考查两直线垂 直的条件:斜率之积为﹣1,以及直线方程运用,考查运算能力,属于中档题.   21.(12 分)(2015•山西三模)设函数,f(x)=lnx+ ,k∈R. (1)若曲线 y=f(x)在点(e,f(e))处的切线与直线 x﹣2=0 垂直,求 f(x)的单调递减 区间和极小值(其中 e 为自然对数的底数); (2)若对任意 x1>x2>0,f(x1)﹣f(x2)<x1﹣x2 恒成立,求 k 的取值范围. 【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用;利用导数研究曲线上某点切线方程. 【专题】导数的概念及应用;导数的综合应用. 【分析】(1)先利用导数的几何意义求出 k 的值,然后利用导数求该函数单调区间及其极值; (2)由题意可知,函数 f(x)﹣x 在(0,+∞)上递增,即该函数的导数大于等于零在 (0,+∞)恒成立,然后转化为导函数的最值问题来解. 【解答】解:(1)由已知得 . ∵曲线 y=f(x)在点(e,f(e))处的切线与直线 x﹣2=0 垂直,∴此切线的斜率为 0. 即 f′(e)=0,有 ,解得 k=e. ∴ ,由 f′(x)<0 得 0<x<e,由 f′(x)>0 得 x>e. ∴f(x)在(0,e)上单调递减,在(e,+∞)上单调递增,当 x=e 时 f(x)取得极小值 . 故 f(x)的单调递减区间为(0,e),极小值为 2. (2)条件等价于对任意 x1>x2>0,f(x1)﹣x1<f(x2)﹣x2(*)恒成立. 设 h(x)=f(x)﹣x=lnx+ . ∴(*)等价于 h(x)在(0,+∞)上单调递减. 由 在(0,+∞)上恒成立, 得 恒成立. 所以 ( 对 k= ,h′(x)=0 仅在 x= 时成立), 故 k 的取值范围是[ ,+∞). 【点评】本题考查了导数的几何意义(切线问题)以及利用导数如何研究函数单调性、极值 的基本思路,属于基础题型.   请考生在第 22、23 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.作答时请写清 题号.[选修 4-4:坐标系与参数方程] 22.(10 分)(2014•安阳一模)在平面直角坐标系 xOy 中,已知曲线 C1: + =1,以 O 为极点,x 轴的正半轴极轴,取相同的单位长度建立极坐标系,直线 l 的方程为:ρ (2cosθ﹣sinθ)=6. (1)试写出直线 l 的直角坐标方程和曲线 C1 的参数方程; (2)在曲线 C1 上求一点 P,使点 P 到直线 l 的距离最大,并求出最大值. 【考点】简单曲线的极坐标方程. 【专题】坐标系和参数方程. 【分析】(1)根据 x=ρcosθ,y=ρsinθ 把直线 l 的极坐标方程化为直角坐标方程,利用同角三 角函数的基本关系把曲线 C1 的直角坐标方程化为参数方程. (2)设点 P( cosθ,2sinθ),求得点 P 到直线 l 的距离为 d= , 利用正弦函数的值域求得 d 的最大值. 【解答】解:(1)直线 l 的方程为:ρ(2cosθ﹣sinθ)=6,即 2x﹣y﹣6=0. 曲线 C1: + =1 的参数方程为 (θ 为参数). (2)设点 P( cosθ,2sinθ),则点 P 到直线 l 的距离为 d= = , 故当 sin( ﹣θ)=﹣1 时,d 取得最大值为 =2 . 【点评】本题主要考查把极坐标方程化为直角坐标方程的方法,点到直线的距离公式的应用, 两角和的正弦公式、正弦函数的值域,属于基础题.   [选修 4-5:不等式选讲] 23.(2015•大连二模)已知 a 和 b 是任意非零实数. (1)求 的最小值. (2)若不等式|2a+b|+|2a﹣b|≥|a|(|2+x|+|2﹣x|)恒成立,求实数 x 的取值范围. 【考点】绝对值三角不等式. 【专题】计算题;压轴题. 【分析】(1)利用绝对值不等式的性质可得 ≥ = =4. (2)由题意可得|2+x|+|2﹣x|≤ 恒成立,由于 的最 小值为 4,故有 x 的 范围即为不等式|2+x|+|2﹣x|≤4 的解集,解绝对值不等式求得实数 x 的取值范围. 【解答】解:(1)∵ ≥ = =4, 故 的最小值为 4. (2)若不等式|2a+b|+|2a﹣b|≥|a|(|2+x|+|2﹣x|)恒成立, 即|2+x|+|2﹣x|≤ 恒成立,故|2+x|+|2﹣x|不大于 的最小值.(4 分) 由(1)可知, 的最小值为 4,当且仅当(2a+b)(2a﹣b)≥0 时取等号, ∴ 的最小值等于 4.(8 分) ∴x 的范围即为不等式|2+x|+|2﹣x|≤4 的解集. 解不等式得﹣2≤x≤2,故实数 x 的取值范围为[﹣2,2]. (10 分) 【点评】本题考查查绝对值不等式的解法,函数的恒成立问题,体现了转化的数学思想.  
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