安徽省六安市舒城中学2019-2020学年高二上学期期末考试数学（理）试题 含答案

安徽省六安市舒城中学2019-2020学年高二上学期期末考试数学（理）试题 含答案

舒城中学2019-2020学年度第一学期期末考试 高二理数 ‎（总分：150分 时间：120分钟）‎ 第I卷 一.选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一个是符合要求的,请你将符合要求的项的序号填在括号内) ‎ ‎1．命题“”的否定是 （ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2．抛物线的焦点坐标为 （ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎3．已知，则“且”是“”的 （ ）‎ A．充要条件 B．必要非充分条件 C．充分非必要条件 D．既非充分也非必要条件 ‎4．从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是 （ ）‎ A．“至少有1个白球”和“都是红球” B．“至少有2个白球”和“至多有1个红球”‎ C．“恰有1个白球” 和“恰有2个白球” D．“至多有1个白球”和“都是红球”‎ ‎5．掷两颗均匀的骰子，则点数之和为5的概率等于 （　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎6．方程表示的曲线为 （ ）‎ A．一个圆 B．半个圆 C．两个半圆 D．两个圆 ‎7．椭圆的左右焦点分别为，点在椭圆上，若，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎8．执行如图所示的程序框图，则输出Z的值是 （ ）‎ 舒中高二期末理数 第1页 (共4页)‎ A．21 B．‎22 ‎C．23 D．24‎ ‎9．2019年是新中国成立七十周年，新中国成立以来，我国文化事业得到了充分发展，尤其是党的十八大以来，文化事业发展更加迅速，下图是从2013 年到 2018 年六年间我国公共图书馆业机构数（个）与对应年份编号的散点图（为便于计算，将 2013 年编号为 1，2014年编号为 2，…，2018年编号为 6，把每年的公共图书馆业机构个数作为因变量，把年份编号从1到6作为自变量进行回归分析），得到回归直线，给出下列结论，其中正确的个数是（　　）‎ ‎①公共图书馆业机构数与年份有较强的正相关性；‎ ‎②公共图书馆业机构数平均每年增加13.743个； ‎ ‎③预测2019年公共图书馆业机构数约为3192个.‎ A．0 B．‎1 ‎C．2 D．3‎ ‎10．“纹样”是中国艺术宝库的瑰宝，“火纹”‎ 是常见的一种传统纹样．为了测算某火纹纹样(如图阴影部分所示)的面积，作一个边长为5的正方形将其包含在内，并向该正方形内随机投掷1000个点，己知恰有400个点落在阴影部分，据此可估计阴影部分的面积是（ ） ‎ A．2 B．‎3 ‎C．10 D．15‎ ‎11．已知空间三点坐标分别为，又点在平面ABC内，则的值 （ ） ‎ A． B．‎1 ‎C．10 D．11‎ ‎12．已知：函数，、为其图像上任意两点，则直线的斜率的最小值为 （ ）‎ A． B． C． D．‎ 第Ⅱ卷 二.填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,请你将正确的答案填在空格处) ‎ ‎13．总体由编号为01，02，03，...,49，50的50个个体组成，利用随机数表（以下选取了随机数表中的第1行和第2行）选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第9列开始由左向右读取，则选出来的第5个个体的编号为__________．‎ ‎78 16 65 72 08 02 63 14 07 02 43 69 69 38 74‎ ‎32 04 94 23 49 55 80 20 36 35 48 69 97 28 01‎ ‎14．在上随机地取一个数，则事件“直线与圆相交”发生的概率为_________.‎ ‎15．双曲线的左、右焦点分别是，过作倾斜角为的直线交双曲线右支于点，若垂直于轴，则双曲线的离心率为 .‎ ‎16．已知，若且,则 的取值范围为__________．‎ 三.解答题(本大题共6小题,共70分.请你注意解答本题时,一定要详细地写出文字说明、证明过程及演算步骤等)‎ ‎17.（本大题满分10分）已知命题甲：关于的不等式的解集为实数集,命题乙：关于的方程有两个不相等的实根.‎ ‎（1）若甲、乙都是真命题，求实数的取值范围；‎ ‎（2）若甲、乙中至少有一个是真命题，求实数的取值范围.‎ ‎18.（本大题满分12分‎20090423‎ ）已知动圆过定点，且与直线相切.‎ ‎（1）求动圆圆心的轨迹的方程；‎ ‎（2）设是轨迹上异于原点的两个不同点，直线和的斜率分别为，且，证明直线恒过定点，并求出该定点的坐标 ‎19.（本大题满分12分）如图，在四棱锥中，底面是矩形，是的中点，平面，且，．‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）求与平面所成角的正弦值；‎ ‎（3）求二面角的余弦值．‎ 舒中高二期末理数 第4页 (共4页)‎ ‎20.（本大题满分12分）某城市户居民的月平均用电量（单位：度），以 ‎，，，，，，分组的频率分布直方图如图．‎ ‎（1）求直方图中的值；‎ ‎（2）求月平均用电量的众数和中位数；‎ ‎（3）在月平均用电量为，，，的四组用户中，用分层抽样的方法抽取户居民，则月平均用电量在的用户中应抽取多少户？‎ ‎21.（本题满分12分）已知函数，．‎ ‎（1）求函数图像在点处的切线方程；‎ ‎（2）若不等式对于任意的均成立，求实数的取值范围．‎ ‎22.（本大题满分12分）如图，椭圆的离心率为，其左焦点到点的距离为，不过原点的直线与椭圆相交于两点，且线段被直线平分.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）求面积取最大值时直线的方程.‎ 舒城中学2019～2020学年度第一学期期末 舒城中学 高 班 姓名 考号 ‎ ‎ ‎ 高二数学试卷 ‎（总分：150分 时间：120分钟）‎ 第I卷 一.选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一个是符合要求的,请你将符合要求的项的序号填在括号内) ‎ ‎1．命题“”的否定是（ C ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2．抛物线的焦点坐标为（ B ）‎ A． B． C． D．‎ ‎3．已知，则“且”是“”的（ C ）‎ A．充要条件 B．必要非充分条件 C．充分非必要条件 D．既非充分也非必要条件 ‎4．从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是（ C ）‎ A．“至少有1个白球”和“都是红球” B．“至少有2个白球”和“至多有1个红球”‎ C． “恰有1个白球” 和“恰有2个白球” D．“至多有1个白球”和“都是红球”‎ ‎5．掷两颗均匀的骰子，则点数之和为5的概率等于（　B　）‎ A． B． C． D．‎ ‎6．方程表示的曲线为（ C ）‎ A．一个圆 B．半个圆 C．两个半圆 D．两个圆 ‎7．椭圆的左右焦点分别为，点在椭圆上，若，则（ A ）‎ A． B． C． D．‎ ‎8．执行如图所示的程序框图，则输出Z的值是（ A ）‎ A．21 B．‎22 ‎C．23 D．24‎ ‎9．2019年是新中国成立七十周年，新中国成立以来，我国文化事业得到了充分发展，尤其是党的十八大以来，文化事业发展更加迅速，下图是从2013 年到 2018 年六年间我国公共图书馆业机构数（个）与对应年份编号的散点图（为便于计算，将2013 年编号为 1，2014 年编号为 2，…，2018年编号为 6，把每年的公共图书馆业机构个数作为因变量，把年份编号从 1 到 6 作为自变量进行回归分析），得到回归直线，‎ 给出下列结论，其中正确的个数是（　D　）‎ ‎①公共图书馆业机构数与年份有较强的正相关性；‎ ‎②公共图书馆业机构数平均每年增加13.743个； ‎ ‎③预测2019年公共图书馆业机构数约为3192个.‎ A．0 B．‎1 ‎C．2 D．3‎ ‎10．“纹样”是中国艺术宝库的瑰宝，“火纹”是常见的一种传统纹样．为了 测算某火纹纹样(如图阴影部分所示)的面积，作一个边长为5的正方形将其 包含在内，并向该正方形内随机投掷1000个点，己知恰有400个点落在阴影 部分，据此可估计阴影部分的面积是（ C ） ‎ A．2 B．‎3 ‎C．10 D．15‎ ‎11．已知空间三点坐标分别为，又点在平面ABC内，则的值 （ D ） ‎ A． B．‎1 ‎C．10 D．11‎ ‎12．已知：函数，、为其图像上任意两点，则直线的斜率的最小值为（ B ）‎ A． B． C． D．‎ 第Ⅱ卷 二.填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,请你将正确的答案填在空格处) ‎ ‎13．总体由编号为01，02，03，...,49，50的50个个体组成，利用随机数表（以下选取了随机数表中的第1行和第2行）选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第9列开始由左向右读取，则选出来的第5个个体的编号为____43______．‎ ‎78 16 65 72 08 02 63 14 07 02 43 69 69 38 74‎ ‎32 04 94 23 49 55 80 20 36 35 48 69 97 28 01‎ ‎14．在上随机地取一个数，则事件“直线与圆相交”发生的概率为_________.‎ ‎15．双曲线的左、右焦点分别是，过作倾斜角为的直线交双曲线右支于点，若垂直于轴，则双曲线的离心率为 .‎ ‎16．已知，若且,则的取值范围__．‎ 三.解答题(本大题共6小题,共70分.请你注意解答本题时,一定要详细地写出文字说明、证明过程及演算步骤等)‎ ‎17.（本大题满分10分）已知命题甲：关于的不等式的解集为实数集,命 题乙：关于的方程有两个不相等的实根.‎ ‎（1）若甲、乙都是真命题，求实数的取值范围；‎ ‎（2）若甲、乙中至少有一个是真命题，求实数的取值范围.‎ ‎17．(1) (2)a>1或a<-4‎ ‎【详解】‎ 命题甲：由题得 命题乙：由题得或.‎ ‎（1）若甲、乙都是真命题，所以；‎ ‎（2）假设甲、乙两个命题都是假命题，甲是假命题，则或，乙是假命题，则,所以.‎ 如果甲、乙中至少有一个是真命题，则a>1或a<4.‎ ‎18.（本大题满分12分‎20090423‎ ）已知动圆过定点，且与直线相切.‎ ‎（1）求动圆圆心的轨迹的方程；‎ ‎（2）设是轨迹上异于原点的两个不同点，直线和的斜率分别为，且，证明直线恒过定点，并求出该定点的坐标 ‎【解析】（1）设为动圆圆心，为记为，过点作直线的垂线，垂足为，‎ 由题意知：即动点到定点与定直线的距离相等，‎ 由抛物线的定义知，点的轨迹为抛物线，其中为焦点，为准线，‎ 所以轨迹方程为；‎ ‎（2）如图，设，由题意得，‎ 由题意知直线的斜率存在，从而设AB方程为，显然，‎ 将与联立消去，得 由韦达定理知 由，即 将①式代入上式整理化简可得：，‎ 所以AB方程为过定点.‎ ‎19.（本大题满分12分）如图，在四棱锥中，底面是矩形，是的中点，平面，且，．‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）求与平面所成角的正弦值；‎ ‎（3）求二面角的余弦值．‎ （1） 略 ……………………………………………… ……4分 （2） ‎∵是矩形，‎ ‎∴，‎ 又∵平面，‎ ‎∴，，即，，两两垂直，‎ ‎∴以为原点，，，分别为轴，轴，轴建立如图空间直角坐标系，‎ 由，，得，，，，，，‎ 则，，，‎ 设平面的一个法向量为，‎ 则，即，令，得，，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ 故与平面所成角的正弦值为．………………………………8‎ ‎（）由（）可得，‎ 设平面的一个法向量为，‎ 则，即，令，得，，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ 故二面角的余弦值为．……………………12分 ‎20.（本大题满分12分）某城市户居民的月平均用电量（单位：度），以，，，，，，分组的频率分布直方图如图．‎ ‎（1）求直方图中的值；‎ ‎（2）求月平均用电量的众数和中位数；‎ ‎（3）在月平均用电量为，，，的四组用户中，用分层 抽样的方法抽取户居民，则月平均用电量在的用户中应抽取多少户？‎ ‎20．（1）；（2），；（3）．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）由直方图的性质可得（0.002+0.0095+0.011+0.0125+x+0.005+0.0025）×20=1，解方程可得；（2）由直方图中众数为最高矩形上端的中点可得，可得中位数在[220，240）内，设中位数为a，解方程（0.002+0.0095++0.011）×20+0.0125×（a-220）=0.5可得；（3）可得各段的用户分别为25，15，10，5，可得抽取比例，可得要抽取的户数 试题解析：(1)由直方图的性质可得(0.002＋0.0095＋0.011＋0.0125＋x＋0.005＋0.0025)×20＝1得：‎ x＝0.0075，所以直方图中x的值是0.0075. ------------- 3分 ‎(2)月平均用电量的众数是＝230. ------------- 5分 因为(0.002＋0.0095＋0.011)×20＝0.45<0.5，所以月平均用电量的中位数在[220,240)内，‎ 设中位数为a，‎ 由(0.002＋0.0095＋0.011)×20＋0.0125×(a－220)＝0.5‎ 得：a＝224，所以月平均用电量的中位数是224. ------------ 8分 ‎(3)月平均用电量为[220,240]的用户有0.0125×20×100＝25户，‎ 月平均用电量为[240,260)的用户有0. 0075×20×100＝15户，‎ 月平均用电量为[260,280)的用户有0. 005×20×100＝10户，‎ 月平均用电量为[280,300]的用户有0.0025×20×100＝5户， -------------10分 抽取比例＝＝，所以月平均用电量在[220,240)的用户中应抽取25×＝5户．-- 12分 ‎21.（本题满分12分）已知函数，．‎ ‎（1）求函数图像在点处的切线方程；‎ ‎（2）若不等式对于任意的均成立，求实数的取值范围．‎ ‎21.（1）………………4分 ‎（2）………………12分 ‎22.（本大题满分12分）如图，椭圆的离心率为，其左焦点到点的距离为，不过原点的直线与椭圆相交于两点，且线段被直线平分.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）求面积取最大值时直线的方程.‎ 22. ‎（1） …………………………4分 ‎（2） …………………………12分