重庆市北碚区2019-2020学年高二11月联合性测试数学试题

重庆市北碚区2019-2020学年高二11月联合性测试数学试题

‎2019-2020学年度上期北碚区高中11月联合性测试 高二数学 试题 ‎(时间：120分钟　分值：150分)‎ 一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)‎ ‎1．设P是椭圆＋＝1上一点，F1、F2是椭圆的焦点，若|PF1|等于4，则|PF2|等于(　　)‎ A．22 B．‎21 C．20 D．13‎ ‎2．双曲线方程为x2－2y2＝1，则它的右焦点坐标为(　　) ‎ A. B. C. D．(，0)‎ ‎3．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的虚轴长是实轴长的2倍，则该双曲线的一条渐近线方程为(　　)‎ A．y＝x B．y＝4x C．y＝x D．y＝2x ‎4．F1、F2是椭圆＋＝1的两个焦点， A为椭圆上一点，且∠AF‎1F2＝45°，则△AF‎1F2的面积为(　　)‎ A．7 B. C. D. ‎5．双曲线－＝1的渐近线与圆(x－4)2＋y2＝r2(r>0)相切，则r的值为(　　)‎ A．4 B．‎3 C．2 D. ‎6．若抛物线x2＝2py的焦点与椭圆＋＝1的下焦点重合，则p的值为(　　)‎ A．4 B．‎2 C．－4 D．－2‎ ‎7．已知M(x0，y0)是双曲线C：－y2＝1上的一点，F1，F2是C的两个焦点，若·<0，则y0的取值范围是(　　)‎ A. B. C. D. ‎8．过双曲线x2－＝1的右焦点F作直线l交双曲线于A，B两点，若|AB|＝4，则这样的直线l有(　　)‎ A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 ‎9．已知双曲线－＝1的渐近线方程为y＝±x，则此双曲线的离心率是(　　)‎ A. B. C. D. ‎10．已知椭圆＋＝1(a>b>0)与双曲线－＝1(m>0，n>0)有相同的焦点(－c,0)和(c,0)，若c是a、m的等比中项，n2是‎2m2‎与c2的等差中项，则椭圆的离心率是(　　)‎ A. B. C. D. ‎11．若点O和点F分别为椭圆＋＝1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则·的最大值为(　　)‎ A．2 B．‎3 ‎ C．6 D．8‎ ‎12．已知抛物线y2＝x，点A，B在该抛物线上且位于x轴的两侧，·＝2(其中O为坐标原点)，则△ABO与△AFO面积之和的最小值是(　　)‎ A．2 B．‎3 C. D. 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)‎ ‎13．已知过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交该抛物线于A、B两点，|AF|＝2，则|BF|＝________.‎ ‎14．已知双曲线－＝1(a，b>0)的离心率等于2，它的焦点到渐近线的距离等于1，则该双曲线的方程为________________．‎ ‎15．已知直线l：x－y－m＝0经过抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点，l与C交于A、B两点．若|AB|＝6，则p的值为________．‎ ‎16．已知P(1,1)为椭圆＋＝1内一定点，经过P引一条弦，使此弦被P点平分，则此弦所在的直线方程为________________．‎ 三、解答题(本大题共6小题，共70分)‎ ‎17．(10分)中心在原点，焦点在x轴上的一个椭圆与一双曲线有共同的焦点F1，F2，且|F‎1F2|＝2，椭圆的长半轴与双曲线的半实轴之差为4，离心率之比为3∶7，求这两条曲线的方程．‎ ‎18．(12分)已知直线y＝x－4被抛物线y2＝2mx(m≠0)截得的弦长为6 ‎，求抛物线的标准方程．‎ ‎19．(12分)已知椭圆C的左，右焦点坐标分别是(－，0)，(，0)，离心率是，直线y＝t与椭圆C交于不同的两点M，N，以线段MN为直径作圆P，圆心为P.‎ ‎(1)求椭圆C的方程；‎ ‎(2)若圆P与x轴相切，求圆心P的坐标．‎ ‎20.(12分)如图线段AB过x轴正半轴上一定点M(m,0)，端点A，B到x轴距离之积为‎2m，以x轴为对称轴，过A，O，B三点作抛物线．‎ ‎(1)求抛物线方程；‎ ‎(2)若·＝－1，求m的值．‎ ‎21．(12分)设椭圆方程为x2＋＝1，过点M(0,1)的直线l交椭圆于点A，B，O是坐标原点，点P满足＝(＋)，点N的坐标为，当l绕点M旋转时，求：‎ ‎(1)动点P的轨迹方程；‎ ‎(2)||的最小值与最大值．‎ ‎22．(12分)已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率等于，它的一个顶点恰好在抛物线x2＝8y的准线上．‎ ‎(1)求椭圆C的标准方程；‎ ‎(2)如图，点P(2，)，Q(2，－)在椭圆上，A，B是椭圆上位于直线PQ两侧的动点，当A，B运动时，满足∠APQ＝∠BPQ，试问直线AB的斜率是否为定值，请说明理由．‎ ‎2019-2020学年度上期北碚区高中11月联合性测试 高二数学 答案 ‎1．A　[由椭圆的定义知，‎ ‎|PF1|＋|PF2|＝26，‎ 又∵|PF1|＝4，∴|PF2|＝26－4＝22.]‎ ‎2．C　[将双曲线方程化为标准方程为x2－＝1，‎ ‎∴a2＝1，b2＝，∴c2＝a2＋b2＝， ‎ ‎∴c＝， 故右焦点坐标为.]‎ ‎3．D　[根据题意，有b＝‎2a，‎ 则＝2，‎ 故其中一条渐近线方程为y＝2x，‎ 故选D.]‎ ‎4．B　[|F‎1F2|＝2，|AF1|＋|AF2|＝6，‎ ‎|AF2|＝6－|AF1|.‎ ‎|AF2|2＝|AF1|2＋|F‎1F2|2－2|AF1|·|F‎1F2|cos 45°‎ ‎＝|AF1|2－4|AF1|＋8＝(6－|AF1|)2‎ ‎∴|AF1|＝.‎ S＝××2×＝.]‎ ‎5．D　[因为双曲线的渐近线为y＝±x，‎ 即x±y＝0，‎ 已知圆的圆心为(4,0)，利用直线与圆相切，‎ 得到d＝＝＝r，‎ 故r＝，故选D.]‎ ‎6．D　[椭圆＋＝1的下焦点为 ‎(0，－1)，即为抛物线x2＝2py的焦点，‎ ‎∴＝－1，∴p＝－2.]‎ ‎7．A　[由题意知a＝，b＝1，c＝，‎ ‎∴F1(－，0)，F2(，0)，‎ ‎∴＝(－－x0，－y0)，‎ ‎＝(－x0，－y0)．‎ ‎∵·<0，‎ ‎∴(－－x0)(－x0)＋y<0，‎ 即x－3＋y<0.‎ ‎∵点M(x0，y0)在双曲线上，‎ ‎∴－y＝1，即x＝2＋2y，‎ ‎∴2＋2y－3＋y<0，∴－0，‎ n<0，‎ 则＝(m2，m)，＝(n2，n)，·＝m2n2＋mn＝2，解得mn＝1(舍)或mn＝－2.‎ ‎∴lAB：(m2－n2)(y－n)＝(m－n)·‎ ‎(x－n2)，‎ 即(m＋n)(y－n)＝x－n2，‎ 令y＝0，解得x＝－mn＝2，‎ ‎∴C(2,0)，点C为直线AB与x轴的交点．‎ S△AOB＝S△AOC＋S△BOC＝×2×m＋×2×(－n)＝m－n，S△AOF＝××m＝m，则S△AOB＋S△AOF＝m－n＋m＝m－n＝m＋≥‎ ‎2＝3，当且仅当m＝，即m＝时等号成立．故△ABO与△AFO面积之和的最小值为3.]‎ ‎13．2‎ 解析　设点A，B的横坐标分别是x1，x2，则依题意有焦点F(1,0)，|AF|＝x1＋1＝2，∴x1＝1，直线AF的方程是x＝1，故|BF|＝|AF|＝2.‎ ‎14．3x2－y2＝1‎ 解析　由题意可得e＝＝2，则c＝‎2a，设其一焦点为F(c,0)，渐近线方程为bx±ay＝0，‎ 那么d＝＝＝b＝1，‎ 而c2＝‎4a2＝a2＋b2，‎ 解得a2＝，‎ 那么所求的双曲线方程为3x2－y2＝1.‎ ‎15. 解析　因为直线l过抛物线的焦点，‎ 所以m＝，‎ 由 得x2－3px＋＝0，‎ 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，‎ 则x1＋x2＝3p，‎ 故|AB|＝x1＋x2＋p＝4p＝6，‎ ‎∴p＝.‎ ‎16．x＋2y－3＝0‎ 解析　方法一　易知此弦所在直线的斜率存在，‎ 所以设其方程为y－1＝k(x－1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)．‎ 由 消去y得，(2k2＋1)x2－4k(k－1)x＋2(k2－2k－1)＝0，‎ ‎∴x1＋x2＝，‎ 又∵x1＋x2＝2，∴＝2，‎ 解得k＝－.‎ 故此弦所在的直线方程为 y－1＝－(x－1)，‎ 即x＋2y－3＝0.‎ 方法二　易知此弦所在直线的斜率存在，所以设斜率为k，‎ A(x1，y1)、B(x2，y2)，则＋＝1，①‎ ＋＝1，②‎ ‎①－②得＋＝0，‎ ‎∵x1＋x2＝2，y1＋y2＝2，‎ ‎∴＋y1－y2＝0，‎ ‎∴k＝＝－.‎ ‎∴此弦所在的直线方程为 y－1＝－(x－1)，‎ 即x＋2y－3＝0.‎ ‎17．解　设椭圆的方程为＋＝1，双曲线的方程为－＝1，半焦距c＝，‎ 由已知得：a1－a2＝4，∶＝3∶7，解得：a1＝7，a2＝3，‎ 所以：b＝36，b＝4，所以两条曲线的方程分别为： ＋＝1，－＝1.‎ ‎18．解　设直线与抛物线的交点为(x1，y1)，(x2，y2)．‎ 由 得x2－2(4＋m)x＋16＝0，‎ 所以x1＋x2＝2(4＋m)，x1x2＝16，‎ 所以弦长为 ‎＝ ‎＝2.‎ 由2＝6，解得m＝1或m＝－9.‎ 经检验，m＝1或m＝－9均符合题意．‎ 所以所求抛物线的标准方程为y2＝2x或y2＝－18x.‎ ‎19．解　(1)因为＝，且c＝，‎ 所以a＝，b＝＝1，‎ 所以椭圆C的方程为＋y2＝1.‎ ‎(2)由题意知P(0，t)(－1＜t＜1)．‎ 由得x＝±，‎ 所以圆P的半径为.‎ 当圆P与x轴相切时，|t|＝，解得t＝±，‎ 所以点P的坐标是.‎ ‎20．解　(1)设直线AB为y＝k(x－m)，‎ 抛物线方程为y2＝2px.‎ 由消去x，‎ 得ky2－2py－2pkm＝0.‎ ‎∴y1·y2＝－2pm.‎ 又∵y1·y2＝－‎2m，∴p＝1，‎ ‎∴抛物线方程为y2＝2x.‎ ‎(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，‎ 则＝(x1，y1)，＝(x2，y2)．‎ 则·＝x1x2＋y1y2＝＋y1y2＝m2－‎2m.‎ 又·＝－1，∴m2－‎2m＝－1，‎ 解得m＝1.‎ ‎21．解　(1)直线l过点M(0,1)，设其斜率为k，则l的方程为y＝kx＋1.‎ 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题设可得点A、B的坐标是方程组的解．‎ 将①代入②并化简得(4＋k2)x2＋2kx－3＝0，所以 于是＝(＋)‎ ‎＝＝，‎ 设点P的坐标为(x，y)，‎ 则消去参数k得4x2＋y2－y＝0，③‎ 当k不存在时，A、B中点为坐标原点(0,0)，也满足方程③，‎ 所以点P的轨迹方程为4x2＋y2－y＝0.‎ ‎(2)由点P的轨迹方程知x2≤，‎ 即－≤x≤.‎ 所以||2＝2＋2‎ ‎＝2＋y2－y＋＝2＋－4x2‎ ‎＝－32＋，‎ 故当x＝时，||取得最小值，最小值为.‎ 当x＝－时，||取得最大值，最大值为.‎ ‎22．解　(1)设椭圆C的标准方程为＋＝1 (a>b>0)，‎ ‎∵椭圆的一个顶点恰好在抛物线x2＝8y的准线y＝－2上，‎ ‎∴b＝2，‎ 又＝，a2＝b2＋c2，‎ ‎∴a＝4，c＝2，‎ ‎∴椭圆C的标准方程为＋＝1.‎ ‎(2)为定值．理由如下：设A(x1，y1)，‎ B(x2，y2)，‎ ‎∵∠APQ＝∠BPQ，∴直线PA，PB的斜率互为相反数，‎ 可设直线PA的斜率为k，则直线PB的斜率为－k，‎ 直线PA的方程为y－＝k(x－2)，‎ 联立 消去y，得(1＋4k2)x2＋8k(－2k)x＋4(－2k)2－16＝0，‎ ‎∴x1＋2＝，‎ 同理可得x2＋2＝ ‎＝，‎ ‎∴x1＋x2＝，‎ x1－x2＝，‎ ‎∴kAB＝ ‎＝＝，即直线AB的斜率为定值.‎