数学理·山东省淄博市淄川一中2017届高三上学期第一次月考数学理试卷 Word版含解析

数学理·山东省淄博市淄川一中2017届高三上学期第一次月考数学理试卷 Word版含解析

‎2016-2017学年山东省淄博市淄川一中高三（上）第一次月考数学试卷 （理科）‎ ‎　‎ 一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．每小题只有一个选项符合题意）‎ ‎1．已知集合A={x∈Z||x﹣1|＜3}，B={x|x2+2x﹣3≥0}，则A∩CRB=（　　）‎ A．（﹣2，1） B．（1，4） C．{2，3} D．{﹣1，0}‎ ‎2．函数y=的定义域为（　　）‎ A．（﹣∞，2） B．（2，+∞） C．（2，3）∪（3，+∞） D．（2，4）∪（4，+∞）‎ ‎3．函数f（x）=log3x+x﹣3的零点一定在区间（　　）‎ A．（0，1） B．（1，2） C．（2，3） D．（3，4）‎ ‎4．函数y=xcosx+sinx的图象大致为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎5．下列各式中错误的是（　　）‎ A．0.83＞0.73 B．log0..50.4＞log0..50.6‎ C．0.75﹣0.1＜0.750.1 D．lg1.6＞lg1.4‎ ‎6．下列说法正确的是（　　）‎ A．若a∈R，则“＜1”是“a＞1”的必要不充分条件 B．“p∧q为真命题”是“p∨q为真命题”的必要不充分条件 C．若命题p：“∀x∈R，sinx+cosx≤”，则￢p是真命题 D．命题“x0∈R，使得x02+2x0+3＜0”的否定是“∀x∈R，x2+2x+3＞0”‎ ‎7．函数向左平移个单位后是奇函数，则函数f（x）在上的最小值为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎8．若函数f（x）=是奇函数，则使f（x）＞3成立的x的取值范围为（　　）‎ A．（﹣∞，﹣1） B．（﹣1，0） C．（0，1） D．（1，+∞）‎ ‎9．设函数f（x）=，若f（f（））=4，则b=（　　）‎ A．1 B． C． D．‎ ‎10．已知定义在R上的偶函数f（x）满足f（4﹣x）=f（x），且当x∈（﹣1，3]时，f（x）=则g（x）=f（x）﹣1g|x|的零点个数是（　　）‎ A．9 B．10 C．18 D．20‎ ‎　‎ 二、填空题（本大题共5个小题，每小题5分，共25分）‎ ‎11．已知sin（π﹣α）=log8，且α∈（﹣，0），则tan（2π﹣α）的值为　　．‎ ‎12．已知函数是R上的增函数，则实数a的取值范围是　　．‎ ‎13．在△ABC中，B=120°，AB=，A的角平分线AD=，则AC=　　．‎ ‎14．设f（x）是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f（x）=x2，若对任意x∈[a，a+2]，不等式f（x+a）≥f（3x+1）恒成立，则实数a的取值范围是　　．‎ ‎15．设f（x）是定义在R上的偶函数，且对于∀x∈R恒有f（x+1）=f（x﹣1），已知当X∈[0，1]时，f（x）=（）1﹣x，则 ‎（1）f（x）的周期是2； ‎ ‎（2）f（x）在（1，2）上递减，在（2，3）上递增；‎ ‎（3）f（x）的最大值是1，最小值是0； ‎ ‎（4）当x∈（3，4）时，f（x）=（）x﹣3‎ 其中正确的命题的序号是　　．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分．‎ ‎16．（12分）设集合A={x||x﹣a|＜2}，B={x|＜1}，若A∩B=A，求 实数a的取值范围．‎ ‎17．（12分）已知P：2x2﹣9x+a＜0，q：且￢p是￢q的充分条件，求实数a的取值范围．‎ ‎18．（12分）已知函数f（x）=sin2x﹣sin2（x﹣），x∈R．‎ ‎（1）求f（x）的最小正周期；‎ ‎（2）求f（x）在区间[﹣，]上的最大值和最小值．‎ ‎19．（12分）已知函数f（x）=log2（a为常数）是奇函数．‎ ‎（Ⅰ）求a的值与函数 f（x）的定义域；‎ ‎（Ⅱ）若当x∈（1，+∞） 时，f（x）+log2（x﹣1）＞m恒成立．求实数m的取值范围．‎ ‎20．（13分）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，=，且a+c=2．‎ ‎（1）求角B；‎ ‎（2）求边长b的最小值．‎ ‎21．（14分）已知函数g（x）=ax2﹣2ax+b+1（a＞0）在区间[2，3]上有最大值4和最小值1．设f（x）=．‎ ‎（1）求a、b的值；‎ ‎（2）若不等式f（2x）﹣k•2x≥0在x∈[﹣1，1]上有解，求实数k的取值范围．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年山东省淄博市淄川一中高三（上）第一次月考数学试卷 （理科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．每小题只有一个选项符合题意）‎ ‎1．（2016•太原三模）已知集合A={x∈Z||x﹣1|＜3}，B={x|x2+2x﹣3≥0}，则A∩CRB=（　　）‎ A．（﹣2，1） B．（1，4） C．{2，3} D．{﹣1，0}‎ ‎【考点】交、并、补集的混合运算．‎ ‎【专题】计算题；集合思想；定义法；集合．‎ ‎【分析】求出A与B中不等式的解集确定出A与B，根据全集R求出B的补集，找出A与B补集的交集即可．‎ ‎【解答】解：由A中不等式解得：﹣2＜x＜4，即B={﹣1，0，1，2，3}，‎ 由B中不等式变形得：（x+3）（x﹣1）≥0，‎ 解得：x≤﹣3，或x≥1，即B=（﹣∞，﹣3]∪[1，+∞），‎ ‎∴CRB=（﹣3，1），则A∩（CRB）={﹣1，0}．‎ 故选：D．‎ ‎【点评】此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．‎ ‎　‎ ‎2．函数y=的定义域为（　　）‎ A．（﹣∞，2） B．（2，+∞） C．（2，3）∪（3，+∞） D．（2，4）∪（4，+∞）‎ ‎【考点】函数的定义域及其求法．‎ ‎【专题】函数的性质及应用．‎ ‎【分析】根据“让解析式有意义”的原则，对数的真数大于0，分母不等于0，建立不等式，解之即可．‎ ‎【解答】解：要使原函数有意义，则，‎ 解得：2＜x＜3，或x＞3‎ 所以原函数的定义域为（2，3）∪（3，+∞）．‎ 故选C．‎ ‎【点评】本题主要考查了函数的定义域及其求法，求定义域常用的方法就是根据“让解析式有意义”的原则，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎3．（2015秋•保山校级期末）函数f（x）=log3x+x﹣3的零点一定在区间（　　）‎ A．（0，1） B．（1，2） C．（2，3） D．（3，4）‎ ‎【考点】函数零点的判定定理．‎ ‎【专题】计算题．‎ ‎【分析】确定函数的定义域为（0，+∞）与单调性，再利用零点存在定理，即可得到结论．‎ ‎【解答】解：函数的定义域为（0，+∞）‎ 求导函数，可得＞0，所以函数在（0，+∞）上单调增 ‎∵f（2）=log32+2﹣3＜0，f（3）=log33+3﹣3＞0‎ ‎∴函数f（x）=log3x+x﹣3的零点一定在区间（2，3）‎ 故选C．‎ ‎【点评】本题考查函数的单调性，考查零点存在定理，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎4．（2016•亳州校级模拟）函数y=xcosx+sinx的图象大致为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】函数的图象．‎ ‎【专题】三角函数的图像与性质．‎ ‎【分析】给出的函数是奇函数，奇函数图象关于原点中心对称，由此排除B，然后利用区特值排除A和C，则答案可求．‎ ‎【解答】解：由于函数y=xcosx+sinx为奇函数，‎ 故它的图象关于原点对称，所以排除选项B，‎ 由当x=时，y=1＞0，‎ 当x=π时，y=π×cosπ+sinπ=﹣π＜0．‎ 由此可排除选项A和选项C．‎ 故正确的选项为D．‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题主要考查了函数的图象，考查了函数的性质，考查了函数的值，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎5．下列各式中错误的是（　　）‎ A．0.83＞0.73 B．log0..50.4＞log0..50.6‎ C．0.75﹣0.1＜0.750.1 D．lg1.6＞lg1.4‎ ‎【考点】指数函数的单调性与特殊点；对数值大小的比较；对数函数的图象与性质．‎ ‎【专题】计算题；函数的性质及应用．‎ ‎【分析】通过构造函数，利用函数的单调性直接判断选项即可．‎ ‎【解答】解：对于A，构造幂函数y=x3，函数是增函数，所以A正确；‎ 对于B，对数函数y=log0.5x，函数是减函数，所以B正确；‎ 对于C，指数函数y=0.75x是减函数，所以C错误；‎ 对于D，对数函数y=lgx，函数是增函数，所以D正确；‎ 故选C．‎ ‎【点评】本题考查指数函数与对数函数的单调性的应用，基本知识的考查．‎ ‎　‎ ‎6．下列说法正确的是（　　）‎ A．若a∈R，则“＜1”是“a＞1”的必要不充分条件 B．“p∧q为真命题”是“p∨q为真命题”的必要不充分条件 C．若命题p：“∀x∈R，sinx+cosx≤”，则￢p是真命题 D．命题“x0∈R，使得x02+2x0+3＜0”的否定是“∀x∈R，x2+2x+3＞0”‎ ‎【考点】命题的真假判断与应用．‎ ‎【专题】简易逻辑．‎ ‎【分析】利用充要条件的定义，可判断A，B，判断原命题的真假，进而根据命题的否定与原命题真假性相反，可判断C，根据存在性（特称）命题的否定方法，可判断D．‎ ‎【解答】解：若“＜1”成立，则“a＞1”或“a＜0”，故“＜1”是“a＞1”的不充分条件，‎ 若“a＞1”成立，则“＜1”成立，故“＜1”是“a＞1”的必要条件，‎ 综上所述，“＜1”是“a＞1”的必要不充分条件，故A正确；‎ 若“p∧q为真命题”，则“p，q均为真命题”，则“p∨q为真命题”成立，‎ 若“p∨q为真命题”则“p，q存在至少一个真命题”，则“p∧q为真命题”不一定成立，‎ 综上所述，“p∧q为真命题”是“p∨q为真命题”的充分不必要条件，故B错误；‎ 命题p：“∀x∈R，sinx+cosx=sin（x+）≤”为真命题，则￢p是假命题，故C错误；‎ 命题“x0∈R，使得x02+2x0+3＜0”的否定是“∀x∈R，x2+2x+3≥0”，故D错误；‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题以命题的真假判断为载体，考查了充要条件，命题的否定等知识点，是简单逻辑的简单综合应用，难度中档．‎ ‎　‎ ‎7．（2014•浙江校级一模）函数向左平移个单位后是奇函数，则函数f（x）在上的最小值为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．‎ ‎【专题】计算题；三角函数的图像与性质．‎ ‎【分析】根据图象变换规律，把函数y=sin（2x+φ）的图象向左平移个单位得到函数y=sin（2（x++φ））的图象，要使所得到的图象对应的函数为奇函数，求得φ的值，然后函数f（x）在上的最小值．‎ ‎【解答】解：把函数y=sin（2x+φ）的图象向左平移个单位得到函数y=sin（2x++φ）的图象，‎ 因为函数y=sin（2x++φ）为奇函数，故+φ=kπ，因为，故φ的最小值是﹣．‎ 所以函数为y=sin（2x﹣）．x∈，所以2x﹣∈[﹣，]，‎ x=0时，函数取得最小值为．‎ 故选A．‎ ‎【点评】本题考查了三角函数的图象变换以及三角函数的奇偶性，三角函数的值域的应用，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎8．（2015•山东）若函数f（x）=是奇函数，则使f（x）＞3成立的x的取值范围为（　　）‎ A．（﹣∞，﹣1） B．（﹣1，0） C．（0，1） D．（1，+∞）‎ ‎【考点】函数奇偶性的性质；函数单调性的性质．‎ ‎【专题】计算题；不等式的解法及应用．‎ ‎【分析】由f（x）为奇函数，根据奇函数的定义可求a，代入即可求解不等式．‎ ‎【解答】解：∵f（x）=是奇函数，‎ ‎∴f（﹣x）=﹣f（x）‎ 即 整理可得，‎ ‎∴1﹣a•2x=a﹣2x ‎∴a=1，‎ ‎∴f（x）=‎ ‎∵f（x））=＞3‎ ‎∴﹣3=＞0，‎ 整理可得，，‎ ‎∴1＜2x＜2‎ 解可得，0＜x＜1‎ 故选：C ‎【点评】本题主要考查了奇函数的定义的应用及分式不等式的求解，属于基础试题．‎ ‎　‎ ‎9．（2015•山东）设函数f（x）=，若f（f（））=4，则b=（　　）‎ A．1 B． C． D．‎ ‎【考点】函数的值；分段函数的应用．‎ ‎【专题】开放型；函数的性质及应用．‎ ‎【分析】直接利用分段函数以及函数的零点，求解即可．‎ ‎【解答】解：函数f（x）=，若f（f（））=4，‎ 可得f（）=4，‎ 若，即b≤，可得，解得b=．‎ 若，即b＞，可得，解得b=＜（舍去）．‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查函数的零点与方程根的关系，函数值的求法，考查分段函数的应用．‎ ‎　‎ ‎10．（2014秋•杭州期末）已知定义在R上的偶函数f（x）满足f（4﹣x）=f（x），且当x∈（﹣1，3]时，f（x）=则g（x）=f（x）﹣1g|x|的零点个数是（　　）‎ A．9 B．10 C．18 D．20‎ ‎【考点】函数零点的判定定理．‎ ‎【专题】函数的性质及应用．‎ ‎【分析】先根据函数的周期性画出函数y=f（x）的图象，以及y=|1gx|的图象，结合图象当x＞10时，y=lg10＞1此时与函数y=f（x）无交点，即可判定函数函数g（x）=f（x）﹣1g|x|的零点个数 ‎【解答】解：解：R上的偶函数f（x）满足f（4﹣x）=f（x），‎ ‎∴函数f（x）为周期为4的周期函数，‎ 根据周期性画出函数y=f（x）的图象，y=log6x的图象 根据y=lg|x|在（1，+∞）上单调递增函数，当x=10时lg10=1，‎ ‎∴当x＞10时y=lgx此时与函数y=f（x）无交点，‎ 结合图象可知有9个交点，‎ 则函数g（x）=f（x）﹣lg|x|的零点个数为18，‎ 故选：C ‎【点评】本题考查函数的零点，求解本题，关键是研究出函数f（x）性质，作出其图象，将函数g（x）=f（x）﹣1g|x|的零点个数的问题转化为两个函数交点个数问题是本题中的一个亮点，此一转化使得本题的求解变得较容易．‎ ‎　‎ 二、填空题（本大题共5个小题，每小题5分，共25分）‎ ‎11．（2016秋•钦州月考）已知sin（π﹣α）=log8，且α∈（﹣，0），则tan（2π﹣α）的值为　　．‎ ‎【考点】两角和与差的正切函数．‎ ‎【专题】三角函数的求值．‎ ‎【分析】由条件求得sinα 的值，再根据 α∈（﹣，0），求得cosα 的值，从而求得tanα= 的值，可得tan（2π﹣α）=﹣tanα的值．‎ ‎【解答】解：∵sin（π﹣α）=log8，‎ ‎∴sinα=﹣log84=﹣．‎ 又 α∈（﹣，0），∴cosα=，‎ ‎∴tanα==﹣，tan（2π﹣α）=﹣tanα=，‎ 故答案为：．‎ ‎【点评】本题主要考查诱导公式的应用、同角三角函数的基本关系，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎12．（2015春•延庆县期末）已知函数是R上的增函数，则实数a的取值范围是　4≤a＜8　．‎ ‎【考点】分段函数的应用．‎ ‎【专题】计算题．‎ ‎【分析】利用函数单调性的定义，结合指数函数，一次函数的单调性，即可得到实数a的取值范围．‎ ‎【解答】解：由题意，，解得4≤a＜8‎ 故答案为：4≤a＜8‎ ‎【点评】本题考查函数的单调性，解题的关键是掌握函数单调性的定义，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎13．（2015•重庆）在△ABC中，B=120°，AB=，A的角平分线AD=，则AC=　　．‎ ‎【考点】余弦定理的应用．‎ ‎【专题】解三角形．‎ ‎【分析】利用已知条件求出A，C，然后利用正弦定理求出AC即可．‎ ‎【解答】解：由题意以及正弦定理可知：，即，∠ADB=45°，‎ A=180°﹣120°﹣45°，可得A=30°，则C=30°，三角形ABC是等腰三角形，‎ AC=2=．‎ 故答案为：．‎ ‎【点评】本题考查正弦定理以及余弦定理的应用，三角形的解法，考查计算能力．‎ ‎　‎ ‎14．（2014•泸州模拟）设f（x）是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f（x）=x2，若对任意x∈[a，a+2]，不等式f（x+a）≥f（3x+1）恒成立，则实数a的取值范围是　（﹣∞，﹣5]　．‎ ‎【考点】函数奇偶性的性质；函数单调性的性质．‎ ‎【专题】函数的性质及应用．‎ ‎【分析】利用函数奇偶性和单调性之间的关系，解不等式即可．‎ ‎【解答】解：∵当x≥0时，f（x）=x2，‎ ‎∴此时函数f（x）单调递增，‎ ‎∵f（x）是定义在R上的奇函数，‎ ‎∴函数f（x）在R上单调递增，‎ 若对任意x∈[a，a+2]，不等式f（x+a）≥f（3x+1）恒成立，‎ 则x+a≥3x+1恒成立，‎ 即a≥2x+1恒成立，‎ ‎∵x∈[a，a+2]，‎ ‎∴（2x+1）max=2（a+2）+1=2a+5，‎ 即a≥2a+5，‎ 解得a≤﹣5，‎ 即实数a的取值范围是（﹣∞，﹣5]；‎ 故答案为：（﹣∞，﹣5]；‎ ‎【点评】本题主要考查函数奇偶性和单调性的应用，以及不等式恒成立问题，综合考查函数的性质．‎ ‎　‎ ‎15．（2015春•临沂校级期中）设f（x）是定义在R上的偶函数，且对于∀x∈R恒有f（x+1）=f（x﹣1），已知当X∈[0，1]时，f（x）=（）1﹣x，则 ‎（1）f（x）的周期是2； ‎ ‎（2）f（x）在（1，2）上递减，在（2，3）上递增；‎ ‎（3）f（x）的最大值是1，最小值是0； ‎ ‎（4）当x∈（3，4）时，f（x）=（）x﹣3‎ 其中正确的命题的序号是　（1）（2）（4）　．‎ ‎【考点】命题的真假判断与应用．‎ ‎【专题】综合题；函数的性质及应用．‎ ‎【分析】（1）依题意，f（x+2）=f[（x+1）﹣1]=f（x），可判断（1）；‎ ‎（2）利用x∈[0，1]时，f（x）=（）1﹣x=2x﹣1，可判断f（x）在区间[0，1]上为增函数，利用其周期性与偶函数的性质可判断（2）；‎ ‎（3）利用函数的周期性、奇偶性及单调性可判断（3）；‎ ‎（4）当x∈（3，4）时，x﹣4∈（﹣1，0），4﹣x∈（0，1），从而可得f（4﹣x）=（）1﹣（4﹣x）=，又f（x）是周期为2的偶函数，可判断（4）．‎ ‎【解答】解：（1）∵对任意的x∈R恒有f（x+1）=f（x﹣1），‎ ‎∴f（x+2）=f[（x+1）﹣1]=f（x），即2是f（x）的周期，（1）正确；‎ ‎（2）∵x∈[0，1]时，f（x）=（）1﹣x=2x﹣1为增函数，又f（x）是定义在R上的偶函数，‎ ‎∴f（x）在区间[﹣1，0]上单调递减，又其周期T=2，‎ ‎∴f（x）在（1，2）上递减，在（2，3）上递增，（2）正确；‎ ‎（3）由（2）x∈[0，1]时，f（x）=（）1﹣x=2x﹣1为增函数，f（x）在区间[﹣1，0]上单调递减，且其周期为2可知，‎ f（x）max=f（1）=21﹣1=20=1，f（x）min=f（0）=20﹣1=，故（3）错误；‎ ‎（4）当x∈（3，4）时，x﹣4∈（﹣1，0），4﹣x∈（0，1），‎ ‎∴f（4﹣x）=（）1﹣（4﹣x）=，又f（x）是周期为2的偶函数，‎ ‎∴f（4﹣x）=f（x）=，（4）正确．‎ 综上所述，正确的命题的序号是（1）（2）（4），‎ 故答案为：（1）（2）（4）．‎ ‎【点评】本题考查命题的真假判断与应用，综合考查抽象函数的周期性、奇偶性、单调性即最值的综合应用，属于难题．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分．‎ ‎16．（12分）（2011•南山区校级模拟）设集合A={x||x﹣a|＜2}，B={x|＜1}，若A∩B=A，求 实数a的取值范围．‎ ‎【考点】集合关系中的参数取值问题．‎ ‎【专题】计算题．‎ ‎【分析】解绝对值不等式可求出集合A，解分式不等式可以求出集合B，由A∩B=A可得A⊆B，结合集合包含关系定义，可构造关于a的不等式组，解得实数a的取值范围．‎ ‎【解答】解：若|x﹣a|＜2，则﹣2＜x﹣a＜2，即a﹣2＜x＜a+2‎ 故A={x||x﹣a|＜2}={x|a﹣2＜x＜a+2}．…（3分）‎ 若，则，即，即﹣2＜x＜3‎ ‎．…（7分）‎ 因为A∩B=A，即A⊆B，‎ 所以．‎ 解得0≤a≤1，…（11分）‎ 故实数a的取值范围为[0，1]…（12分）‎ ‎【点评】本题考查的知识点是集合关系中的参数取值问题，其中解绝对值不等式和分式不等式求出集合A，B是解答本题的关键．‎ ‎　‎ ‎17．（12分）（2012•颍上县校级三模）已知P：2x2﹣9x+a＜0，q：且￢p是￢q的充分条件，求实数a的取值范围．‎ ‎【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；命题的否定．‎ ‎【专题】计算题．‎ ‎【分析】由q：，知q：2＜x＜3，由¬p是¬q的充分条件，知q⇒p，故设f（x）=2x2﹣9x+a，则，由此能求出实数a的取值范围．‎ ‎【解答】解：∵q：，‎ ‎∴q：2＜x＜3，‎ ‎∵¬p是¬q的充分条件，‎ ‎∴q⇒p，‎ ‎∵P：2x2﹣9x+a＜0，‎ 设f（x）=2x2﹣9x+a，‎ ‎∴，‎ 解得a≤9．‎ ‎【点评】本题考查必要条件、充分条件、充要条件的性质和应用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．‎ ‎　‎ ‎18．（12分）（2015秋•河西区期末）已知函数f（x）=sin2x﹣sin2（x﹣），x∈R．‎ ‎（1）求f（x）的最小正周期；‎ ‎（2）求f（x）在区间[﹣，]上的最大值和最小值．‎ ‎【考点】复合三角函数的单调性；三角函数的周期性及其求法．‎ ‎【专题】三角函数的图像与性质．‎ ‎【分析】（1）利用二倍角的余弦降幂化积，则函数的最小正周期可求；‎ ‎（2）由x的范围求得相位的范围，进一步求得函数的最值．‎ ‎【解答】解：（1）∵f（x）=sin2x﹣sin2（x﹣）‎ ‎==‎ ‎=‎ ‎=‎ ‎=．‎ ‎∴f（x）的最小正周期T=；‎ ‎（2）∵x∈[﹣，]，∴2x∈[]，‎ 则2x﹣∈[]，‎ ‎∴[]．‎ 故f（x）在区间[﹣，]上的最大值和最小值分别为．‎ ‎【点评】本题考查y=Asin（ωx+φ）型函数的图象和性质，考查三角函数值域的求法，运用辅助角公式化简是解答该题的关键，是基础题．‎ ‎　‎ ‎19．（12分）（2015秋•廊坊期末）已知函数f（x）=log2（a为常数）是奇函数．‎ ‎（Ⅰ）求a的值与函数 f（x）的定义域；‎ ‎（Ⅱ）若当x∈（1，+∞） 时，f（x）+log2（x﹣1）＞m恒成立．求实数m的取值范围．‎ ‎【考点】函数恒成立问题；函数的定义域及其求法．‎ ‎【专题】函数的性质及应用；不等式的解法及应用．‎ ‎【分析】（Ⅰ）直接由奇函数的定义列式求解a的值，然后由对数式的真数大于0求解x的取值集合得答案；‎ ‎（Ⅱ）化简f（x）+log（x﹣1）为log2（1+x），由x的范围求其值域得答案．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）∵知函数f（x）=log2是奇函数，‎ ‎∴f（﹣x）=﹣f（x），‎ ‎∴，‎ 即，‎ ‎∴a=1．‎ 令，解得：x＜﹣1或x＞1．‎ ‎∴函数的定义域为：{x|x＜﹣1或x＞1}；‎ ‎（Ⅱ）f（x）+log2（x﹣1）=log2（1+x），‎ 当x＞1时，x+1＞2，‎ ‎∴log2（1+x）＞log22=1，‎ ‎∵x∈（1，+∞），f（x）+log2（x﹣1）＞m恒成立，‎ ‎∴m≤1，‎ m的取值范围是（﹣∞，1]．‎ ‎【点评】本题考查了函数奇偶性的性质，考查了利用函数的单调性求解不等式，体现了数学转化思想方法，是中档题．‎ ‎　‎ ‎20．（13分）（2016•山西模拟）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，=，且a+c=2．‎ ‎（1）求角B；‎ ‎（2）求边长b的最小值．‎ ‎【考点】余弦定理的应用；正弦定理．‎ ‎【专题】计算题；规律型；转化思想；解三角形．‎ ‎【分析】（1）利用正弦定理化简表达式，求角B；个两角和与差的三角函数化简求解即可．‎ ‎（2）利用余弦定理求边长b的最小值．推出b的表达式，利用基本不等式求解即可．‎ ‎【解答】解：（1）在△ABC中，由已知，‎ 即cosCsinB=（2sinA﹣sinC）cosB，‎ sin（B+C）=2sinAcosB，sinA=2sinAcosB，…4分 ‎△ABC 中，sinA≠0，‎ 故． …6分．‎ ‎（2）a+c=2，‎ 由（1），因此b2=a2+c2﹣2accosB=a2+c2﹣ac …9分 由已知b2=（a+c）2﹣3ac=4﹣3ac …10分 ‎ …11分 故b 的最小值为1．…12分 ‎【点评】本题考查正弦定理以及余弦定理的应用，两角和与差的三角函数，考查转化思想以及计算能力．‎ ‎　‎ ‎21．（14分）（2014•东港区校级模拟）已知函数g（x）=ax2﹣2ax+b+1（a＞0）在区间[2，3]上有最大值4和最小值1．设f（x）=．‎ ‎（1）求a、b的值；‎ ‎（2）若不等式f（2x）﹣k•2x≥0在x∈[﹣1，1]上有解，求实数k的取值范围．‎ ‎【考点】二次函数在闭区间上的最值；函数的零点与方程根的关系．‎ ‎【专题】函数的性质及应用．‎ ‎【分析】（1）由函数g（x）=a（x﹣1）2+1+b﹣a，a＞0，所以g（x）在区间[2，3]上是增函数，故 ，‎ 由此解得a、b的值．‎ ‎（2）不等式可化为 2x+﹣2≥k•2x，故有 k≤t2﹣2t+1，t∈[，2]，求出h（t）=t2﹣2t+1的最大值，‎ 从而求得k的取值范围．‎ ‎【解答】解：（1）函数g（x）=ax2﹣2ax+b+1=a（x﹣1）2+1+b﹣a，‎ 因为a＞0，所以g（x）在区间[2，3]上是增函数，故 ，解得． …．（6分）‎ ‎（2）由已知可得f（x）=x+﹣2，所以，不等式f（2x）﹣k•2x≥0可化为 2x+﹣2≥k•2x，‎ 可化为 1+﹣2•≥k，令t=，则 k≤t2﹣2t+1．‎ 因 x∈[﹣1，1]，故 t∈[，2]．故k≤t2﹣2t+1在t∈[，2]上能成立．‎ 记h（t）=t2﹣2t+1，因为 t∈[，2]，故 h（t）max =h（2）=1，‎ 所以k的取值范围是（﹣∞，1]． …（14分）‎ ‎【点评】本题主要考查求二次函数在闭区间上的最值，函数的零点与方程根的关系，函数的恒成立问题，属于中档题．‎