2018-2019学年江西省南昌市第二中学高二上学期期末考试数学（文）试题（解析版）

2018-2019学年江西省南昌市第二中学高二上学期期末考试数学（文）试题（解析版）

‎2018-2019学年江西省南昌市第二中学高二上学期期末考试数学（文）试题 一、单选题 ‎1．若复数满足，则的实部为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】【详解】‎ 解：由题意可知： ，‎ 则的实部为 .‎ 本题选择D选项.‎ ‎2．若函数，则（ ）．‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】由函数的求导公式求导即可得出结果.‎ ‎【详解】‎ 因为，所以，‎ 故选C ‎【点睛】‎ 本题主要考查函数的求导，只需熟记基本初等函数的求导公式即可求解.‎ ‎3．直线y＝kx＋b与曲线相切于点 ，则b的值为(　　)‎ A．－15 B．－7 C．－3 D．9‎ ‎【答案】A ‎【解析】由曲线过点，先求出，再对函数求导，求出曲线在点的切线方程，对照直线y＝kx＋b，即可求出结果.‎ ‎【详解】‎ 因为曲线过点，所以，所以，所以，所以，所以曲线在点处的切线斜率为，因此，曲线在点处的切线方程为,即,所以,‎ 故选A ‎【点睛】‎ 本题主要考查导数的几何意义，函数在某点处的导数即为在该点的切线斜率，属于基础题型.‎ ‎4．下列说法正确的是 (　　)‎ A．“若，则，或”的否定是“若则，或 ”‎ B．a,b是两个命题，如果a是b的充分条件，那么是的必要条件．‎ C．命题“，使 得”的否定是：“，均有 ”‎ D．命题“ 若，则”的否命题为真命题.‎ ‎【答案】B ‎【解析】由命题的否定，判断A的正误；由充要条件的定义和逆否命题判断B的正误，由特称命题的否定判断C的正误；由命题的否命题判断D的正误.‎ ‎【详解】‎ 因为命题的否定只否定结论，所以“若，则 ，或”的否 定 是 “若则且”，故A错；‎ 因为a 是 b的 充 分 条 件，所以由a能推出b，所以能推出，即是 的 必 要 条 件，故B正确；‎ 命题“，使 得”的 否 定 是：“，均有 ,故C错；‎ 命 题“ 若，则”的否命题为：若，则，所以否命题为假命题，故D错;‎ 故选B ‎【点睛】‎ 本题主要考查命题真假的判定，熟记相关知识点，可轻松作答，属于基础题型.‎ ‎5．已知，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】由函数的解析式可得：，则，‎ 函数的解析式为：，.‎ 本题选择A选项.‎ ‎6．设抛物线的焦点为，不过焦点的直线与抛物线交于两点，与轴交于点（异于坐标原点），则与的面积之比为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】画出图像如下图所示，由图可知， .显然直线的斜率存在，设直线方程为，联立，消去得，故. ， .‎ ‎7．已知定义在R上的函数f（x）满足f（4）=f（﹣2）=1，f′（x）为f（x）的导函数，且导函数y=f′（x）的图象如图所示．则不等式f（x）＜1的解集是（ ）‎ A．（﹣2，0）‎ B．（﹣2，4）‎ C．（0，4）‎ D．（﹣∞，﹣2）∪（4，+∞）‎ ‎【答案】B ‎【解析】试题分析：由函数y=f′（x）的图象，确定函数的单调性和单调区间，然后函数的单调性即可求不等式的解集．‎ 解：由导函数y=f′（x）的图象可知，当x≥0时，f'（x）≥0，此时函数f（x）得到递增，‎ 当x≤0时，f'（x）≤0，此时函数f（x）得到递减，‎ 当x=0时，函数f（x）取得极小值，同时也是最小值，‎ ‎∵f（4）=f（﹣2）=1，‎ ‎∴不等式f（x）＜1的解为﹣2＜x＜4，‎ 即不等式f（x）＜1的解集为（﹣2，4），‎ 故选：B．‎ ‎【考点】函数的单调性与导数的关系．‎ ‎8．设，当时，恒成立，则实数m的取值范围是（ ）‎ A．(0,1) B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】因为且，所以函数是奇函数，且是单调递增函数，所以不等式可化为，即，又因为，所以，则，应选答案D。‎ ‎9．直线与双曲线（a＞0，b＞0）的左支、右支分别交于A，B两点，F为右焦点，若AB⊥BF，则该双曲线的离心率为（　　）‎ A． B． C． D．2‎ ‎【答案】B ‎【解析】联立，得xB，由F为右焦点，AB⊥BF，得直线BF：y（x﹣c），联立，得xB，从而，由此能求出该双曲线的离心率．‎ ‎【详解】‎ 直线与双曲线（a＞0，b＞0）的左支、右支分别交于A，B两点，‎ 联立，得xB，‎ ‎∵F为右焦点，AB⊥BF，∴F（c，0），直线BF：y（x﹣c），‎ 联立，得xB，‎ ‎∴，整理，得：，‎ 由e＞1，解得该双曲线的离心率e．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查双曲线的离心率的求法，考查直线、双曲线等基础知识，考查运用求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．‎ ‎10．设函数是定义在上的可导函数，其导函数为，且有，则不等式的解集为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据条件，构造函数，利用函数的单调性和导数之间的关系，将不等式进行转化即可得到结果.‎ ‎【详解】‎ 由，即，‎ 令，则当时，，即函数在上是减函数，‎ ‎，，，‎ 因为在上是减函数，‎ 所以由得，，即，‎ 故选C ‎【点睛】‎ 本题主要考查利用导数研究函数的单调性，常需要构造函数，通过研究新函数的单调性，来求解，属于中档试题.‎ ‎11．已知函数，若与的图象上分别存在点M，N，使得MN关于直线对称，则实数k的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】设，则,推导出，由此利用导数性质能求出实数k的取值范围.‎ ‎【详解】‎ 因为函数的图象上分别存在点M，N，使得MN关于直线对称，所以设，则,‎ 所以，所以，，由得，‎ 因为，所以时，，是减函数；‎ 当时，，是增函数，‎ 所以时，；当时，，‎ 当时，；‎ 所以，，‎ 所以实数的取值范围是,‎ 所以选B.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查导数在函数中的应用，通常需要构造函数，由导函数确定研究构造的函数的单调性，从而可求出结果.‎ ‎12．已知当时，关于的方程有唯一实数解，则值所在的范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】因为，所以，令，则，再令 因为关于的方程有唯一实数解，所以，选B.‎ 点睛：涉及函数的零点问题、方程解的个数问题、函数图像交点个数问题，一般先通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等，再借助函数的大致图象判断零点、方程根、交点的情况，归根到底还是研究函数的性质，如单调性、极值，然后通过数形结合的思想找到解题的思路.‎ 二、填空题 ‎13．定义运算则函数的图象在点处的切线方程是__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题意先写出函数的解析式，然后对求导，求出切线的斜率，进而可求出切线方程.‎ ‎【详解】‎ 由题意可得，‎ 所以，所以在点处的切线斜率为，‎ 所以切线方程为，整理得，‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查求函数在某点的切线方程，只需熟记导数的几何意义，函数在某点处的导数即为该点的切线斜率，属于基础题型.‎ ‎14．复数z1=1-2i,|z2|=3,则|z2-z1|的最大值是___________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由写出对应点的坐标，设对应点的坐标为，由得关系式，再由，求解即可.‎ ‎【详解】‎ 因为，所以其对应点的坐标为，‎ 设对应点的坐标为，由得，即 所以可看出，点与圆上任意一点的距离，所以其最大值为.‎ 故答案为 ‎【点睛】‎ 本题主考查复数的几何意义，只需将看成两复数对应点的距离即可求解，属于基础题型.‎ ‎15．语文中有回文句，如：“上海自来水来自海上”，倒过来读完全一样。数学中也有类似现象，如：88，454，7337，43534等，无论从左往右读，还是从右往左读，都是同一个数，称这样的数为“回文数”！‎ 二位的回文数有11，22，33，44，55，66，77，88，99，共9个；‎ 三位的回文数有101，111，121，131，…，969，979，989，999，共90个；‎ 四位的回文数有1001，1111，1221，…，9669，9779，9889，9999，共90个；‎ 由此推测：11位的回文数总共有_________个．‎ ‎【答案】900000‎ ‎【解析】由回文数特点可知奇数与后相邻偶数的个数一样多，再由排列组合知5位的回文数共900个，可归纳出11位的回文数总数。‎ ‎【详解】‎ 由回文数特点可知，由于数字要对称，所以三位数变四位数只需插入中间那个相同数字，所以回文数的个数一样多。由排列组合，5位回数只需要管3位，由于对称只需排好前3位即可。第3位共有9种可能，1至2位分2数相同，2个数不同，总共可能情况为。‎ 由归纳猜想，一位二位是9个，三位四位是90，以此类推五位六位是900，七位八位是9000，九位十位是90000，十一位是900000.所以填900000.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查学生的归纳推理能力，归纳推理思想在解决问题时，从特殊情况入手，通过观察、分析、概括，猜想出一般性结论，然后予以证明，这一数学思想方法在解决探索性问题、存在性问题或与正整数有关的命题时有着广泛的应用．其思维模式是“观察—归纳—猜想—证明”，解题的关键在于正确的归纳猜想．‎ ‎16．已知函数，如果当时，若函数的图象恒在直线的下方，则的取值范围是________ .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】先由因为函数的图像横在直线的下方，且两函数都过原点，可知当直线为函数的切线时，切点为，进而可求出切线的方程，结合函数图像，即可判断结果.‎ ‎【详解】‎ 因为函数的图像横在直线的下方，且两函数都过原点，所以当直线为函数 的切线时，切点为，‎ 由得，所以切线斜率为，‎ 所以可得切线方程为，结合图像可得.‎ 故答案为 ‎【点睛】‎ 本题主要考查利用导数研究曲线上某点切线方程的问题，常用数形结合的方法，结合导数的几何意义来解决，属于中档试题.‎ 三、解答题 ‎17．已知方程表示双曲线；在内恒成立，若是真命题，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】先假设命题分别为真，分别求出对应的k的范围，再由是真命题，确定至少有一个为真，从而可求出结果.‎ ‎【详解】‎ 因为方程表示双曲线，所以，所以，‎ 又在内恒成立，所以，解得，‎ 因为是真命题，所以至少有一个为真，所以或 即实数的取值范围是.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查根据复合命题的真假求参数的范围，需要先根据命题为真求出参数范围，再由条件判断命题的真假，进而可求出参数的范围，属于基础题型.‎ ‎18．已知曲线的极坐标方程为，倾斜角为的直线过点.‎ ‎（1）求曲线的直角坐标方程和直线的参数方程；‎ ‎（2）设,是过点且关于直线对称的两条直线，与交于两点，与交于, 两点. 求证：.‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）见解析 ‎【解析】(1)由极坐标方程与直角坐标方程的互换公式，可直接得到直角坐标方程；由直线的倾斜角和定点可直接写出参数方程；‎ ‎(2)将直线的参数方程代入抛物线方程，结合韦达定理可直接写出，进而可求出结果.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由可得，所以即为曲线E的直角坐标方程；‎ 因为直线倾斜角为，且过点，所以其参数方程为：‎ ‎ (t为参数) ‎ ‎（2）,关于直线对称，‎ ‎,的倾斜角互补，设的倾斜角为，则的倾斜角为,‎ 把直线(t为参数)代入,‎ 并整理得：‎ 根据韦达定理，，即. ‎ 同理即.‎ ‎∴,即.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查参数方程和极坐标方程，熟记公式即可，属于基础题型.‎ ‎19．设函数.‎ ‎（1）求函数的极小值;‎ ‎（2）若关于的方程在区间上有唯一实数解，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】(1)先由函数解析式得到的定义域，再对函数求导，判断出函数的单调性，从而可得出函数的极小值；‎ ‎(2)先由(1)可知函数在上的单调性，从而确定其在上的单调性，再由方程有唯一解即可求出结果.‎ ‎【详解】‎ ‎(1)由题意可知，的定义域为，‎ ‎，令，则或，‎ 当或时，,‎ 当时，，‎ 所以函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，在上单调递增，‎ 所以的极小值为.‎ ‎(2)由(1)得在上单调递增，要使方程在上有唯一实数解，只需满足,且，,‎ 所以，解得,‎ 综上所述，实数的取值范围为.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查导数在函数中的应用，需要先利用导数的方法确定函数的单调性，进而确定极值，最值等，属于中档试题.‎ ‎20．已知函数 在处取到极值2.‎ ‎（1）求的解析式；‎ ‎（2）若a

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