数学卷·2018届江西省九江市七校联考高二上学期第一次段考数学试卷（解析版）

数学卷·2018届江西省九江市七校联考高二上学期第一次段考数学试卷（解析版）

‎2016-2017学年江西省九江市七校联考高二（上）第一次段考数学试卷 ‎　‎ 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．数列的一个通项公式是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎2．若a，b，c∈R，且a＞b，则下列不等式一定成立的是（　　）‎ A．a+c≥b﹣c B．ac＞bc C．＞0 D．（a﹣b）c2≥0‎ ‎3．在△ABC中，已知2asinA+csinC=bsinB，则∠B为（　　）‎ A．钝角 B．锐角 C．直角 D．不能 ‎4．求和： +++…+=（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎5．在△ABC中，∠A=60°，a=，b=4，满足条件的△ABC（　　）‎ A．无解 B．有解 C．有两解 D．不能确定 ‎6．在正项数列{an}中，a1=2，且点（，）在直线x﹣y=0上，则前n项和Sn等于（　　）‎ A．2n﹣1 B．2n+1﹣2 C． D．‎ ‎7．在△ABC中，若b=2asinB，则A等于（　　）‎ A．30°或60° B．45°或60° C．120°或60° D．30°或150°‎ ‎8．关于x的不等式ax2+bx+2＞0的解集为（﹣，），则不等式≥6的解为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎9．等比数列{an}的各项均为正数，且a5a6+a4a7=18，则log3a1+log3a2+…log3a10=（　　）‎ A．12 B．10 C．8 D．2+log35‎ ‎10．若当x∈（﹣∞，﹣1]时，不等式（m2﹣m）4x﹣2x﹣1＜0恒成立，则实数m的取值范围是（　　）‎ A．（﹣2，3） B．（﹣3，3） C．（﹣2，2） D．（﹣3，4）‎ ‎11．等差数列{an}的前5项的和为30，前10项的和为100，则它的前15的和为（　　）‎ A．30 B．170 C．210 D．260‎ ‎12．已知正项数列{an}的前n项的乘积等于Tn=（n∈N*），bn=log2an，则数列{bn}的前n项和Sn中最大值是（　　）‎ A．S6 B．S5 C．S4 D．S3‎ ‎　‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13．f（x）=ax2+ax﹣1在R上满足f（x）＜0，则a的取值范围是　　．‎ ‎14．等比数列{an}中，Sn表示前n顶和，a3=2S2+1，a4=2S3+1，则公比q为　　．‎ ‎15．等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn、Tn，若=，则=　　．‎ ‎16．如图，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点．从A点测得 M点的仰角∠MAN=60°，C点的仰角∠CAB=45°以及∠MAC=75°；从C点测得∠MCA=60°．已知山高BC=100m，则山高MN=　　m．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）‎ ‎17．解不等式：‎ ‎（1）（x+1）2（x﹣1）（x﹣2）3≤0；‎ ‎（2）＜0．‎ ‎18．已知数列{an}中，a1=1，前n项和 ‎（1）求a2，a3；‎ ‎（2）求{an}的通项公式．‎ ‎19．设△ABC的内角A，B，C的内角对边分别为a，b，c，满足（a+b+c）（a﹣b+c）=ac．‎ ‎（Ⅰ）求B．‎ ‎（Ⅱ）若sinAsinC=，求C．‎ ‎20．已知首项是1的两个数列{an}，{bn}（bn≠0，n∈N*）满足anbn+1﹣an+1bn+2bn+1bn=0．‎ ‎（1）令cn=，求数列{cn}的通项公式；‎ ‎（2）若bn=3n﹣1，求数列{an}的前n项和Sn．‎ ‎21．如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=，BC=1，P为△ABC内一点，∠BPC=90°．‎ ‎（1）若PB=，求PA；‎ ‎（2）若∠APB=150°，求tan∠PBA．‎ ‎22．设数列{an}的前n项和为Sn．已知a1=1， =an+1﹣n2﹣n﹣，n∈N*．‎ ‎（1）求a2的值；‎ ‎（2）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（3）证明：对一切正整数n有++…+＜．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年江西省九江市七校联考高二（上）第一次段考数学试卷 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．数列的一个通项公式是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】数列的概念及简单表示法．‎ ‎【分析】根据所给的数列每一项的分子都是1，分母等于2n，每一项的符号为（﹣1）n，由此写出此数列的一个通项公式．‎ ‎【解答】解：所给的数列每一项的分子都是1，分母等于2n，每一项的符号为（﹣1）n，‎ 故此数列的一个通项公式是．‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎2．若a，b，c∈R，且a＞b，则下列不等式一定成立的是（　　）‎ A．a+c≥b﹣c B．ac＞bc C．＞0 D．（a﹣b）c2≥0‎ ‎【考点】两角和与差的正弦函数；正弦定理．‎ ‎【分析】A、令a=﹣1，b=﹣2，c=﹣3，计算出a+c与b﹣c的值，显然不成立；‎ B、当c=0时，显然不成立；‎ C、当c=0时，显然不成立；‎ D、由a大于b，得到a﹣b大于0，而c2为非负数，即可判断此选项一定成立．‎ ‎【解答】解：A、当a=﹣1，b=﹣2，c=﹣3时，a+c=﹣4，b﹣c=1，显然不成立，本选项不一定成立；‎ B、c=0时，ac=bc，本选项不一定成立；‎ C、c=0时， =0，本选项不一定成立；‎ D、∵a﹣b＞0，∴（a﹣b）2＞0，‎ 又c2≥0，∴（a﹣b）2c≥0，本选项一定成立，‎ 故选D ‎　‎ ‎3．在△ABC中，已知2asinA+csinC=bsinB，则∠B为（　　）‎ A．钝角 B．锐角 C．直角 D．不能 ‎【考点】正弦定理．‎ ‎【分析】根据正弦定理和余弦定理判断即可．‎ ‎【解答】解：∵2asinA+csinC=bsinB，‎ ‎∴2a2+c2=b2，‎ ‎∴cosB==﹣＜0，‎ 故B是钝角，‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎4．求和： +++…+=（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】数列的求和．‎ ‎【分析】因为，所以可由裂项相消法求和．‎ ‎【解答】解：∵，‎ ‎∴…‎ ‎=（1）+（）+（）+…+（）‎ ‎=1=‎ 故选A ‎　‎ ‎5．在△ABC中，∠A=60°，a=，b=4，满足条件的△ABC（　　）‎ A．无解 B．有解 C．有两解 D．不能确定 ‎【考点】正弦定理的应用；解三角形．‎ ‎【分析】利用正弦定理和已知的两边，一角求得sinB的值大于1推断出sinB不符合题意，三角形无解．‎ ‎【解答】解：由正弦定理可知=‎ ‎∴sinB=•b=×4=＞1，不符合题意．‎ 故方程无解．‎ 故选A ‎　‎ ‎6．在正项数列{an}中，a1=2，且点（，）在直线x﹣y=0上，则前n项和Sn等于（　　）‎ A．2n﹣1 B．2n+1﹣2 C． D．‎ ‎【考点】数列的求和．‎ ‎【分析】把点的坐标代入直线方程，求出an与an+1的关系，判断数列的特征，即可求解前n项和．‎ ‎【解答】解：因为点（，）在直线x﹣y=0上，‎ 所以﹣×=0，即an=2an﹣1，‎ 所以数列{an}是首项为2，公比为2的等比数列．‎ 它的前n项和为：Sn==2n+1﹣2．‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎7．在△ABC中，若b=2asinB，则A等于（　　）‎ A．30°或60° B．45°或60° C．120°或60° D．30°或150°‎ ‎【考点】正弦定理的应用．‎ ‎【分析】结合已知及正弦定理可求sinA，进而可根据特殊角的三角形函数值可求A ‎【解答】解：∵b=2asinB，‎ 由正弦定理可得，sinB=2sinAsinB ‎∵sinB≠0‎ ‎∴sinA=‎ ‎∴A=30°或150°‎ 故选D ‎　‎ ‎8．关于x的不等式ax2+bx+2＞0的解集为（﹣，），则不等式≥6的解为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】其他不等式的解法．‎ ‎【分析】根据一元二次方程与一元二不等式的关系求出a，b的值，带入再求解不等式≥6的解．‎ ‎【解答】解：不等式ax2+bx+2＞0的解集为（﹣，），‎ 可得：一元二次方程ax2+bx+2=0的根：，，‎ 由韦达定理：可得：，‎ 解得：a=﹣12，b=﹣2．‎ ‎∴不等式≥6化简得：等价于（4﹣3x）（x﹣2）≤0，且x﹣2≠0，‎ 解得：．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎9．等比数列{an}的各项均为正数，且a5a6+a4a7=18，则log3a1+log3a2+…log3a10=（　　）‎ A．12 B．10 C．8 D．2+log35‎ ‎【考点】等比数列的性质；对数的运算性质．‎ ‎【分析】先根据等比中项的性质可知a5a6=a4a7，进而根据a5a6+a4a7=18，求得a5a6的值，最后根据等比数列的性质求得log3a1+log3a2+…log3a10=log3（a5a6）5答案可得．‎ ‎【解答】解：∵a5a6=a4a7，‎ ‎∴a5a6+a4a7=2a5a6=18‎ ‎∴a5a6=9‎ ‎∴log3a1+log3a2+…log3a10=log3（a5a6）5=5log39=10‎ 故选B ‎　‎ ‎10．若当x∈（﹣∞，﹣1]时，不等式（m2﹣m）4x﹣2x﹣1＜0恒成立，则实数m的取值范围是（　　）‎ A．（﹣2，3） B．（﹣3，3） C．（﹣2，2） D．（﹣3，4）‎ ‎【考点】函数恒成立问题．‎ ‎【分析】分离参数得m﹣m2＞﹣（）x﹣（）x，令g（x）=﹣（）x﹣（）x，设t=（）x，（t≥2），则函数变为y=﹣t2﹣t，其对称轴为t=﹣，由此能求出实数m的取值范围．‎ ‎【解答】解：∵当x∈（﹣∞，﹣1]时，不等式（m2﹣m）4x﹣2x﹣1＜0恒成立，‎ ‎∴分离参数得m﹣m2＞﹣（）x﹣（）x，令g（x）=﹣（）x﹣（）x，‎ 设t=（）x，（t≥2），则函数变为y=﹣t2﹣t，其对称轴为t=﹣‎ ‎∴y=﹣t2﹣t在[2，+∞）上是减函数 ‎∴t=2时，函数有最大值﹣6，‎ ‎∴m﹣m2＞﹣6，解得﹣2＜m＜3，‎ 故实数m的取值范围是（﹣2，3）．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎11．等差数列{an}的前5项的和为30，前10项的和为100，则它的前15的和为（　　）‎ A．30 B．170 C．210 D．260‎ ‎【考点】等差数列的前n项和．‎ ‎【分析】由等差数列的性质可得S5，S10﹣S5，S15﹣S10成等差数列，代入数据解之可得．‎ ‎【解答】解：由题意可得前5项的和S5=30，‎ 第二个5项和S10﹣S5=100﹣30=70，‎ 又S5，S10﹣S5，S15﹣S10成等差数列，‎ 故2（S10﹣S5）=S5+（S15﹣S10），‎ 代入数据可得2×70=30+S15﹣100，‎ 解之可得S15=210‎ 故选C ‎　‎ ‎12．已知正项数列{an}的前n项的乘积等于Tn=（n∈N*），bn=log2an，则数列{bn}的前n项和Sn中最大值是（　　）‎ A．S6 B．S5 C．S4 D．S3‎ ‎【考点】数列的求和．‎ ‎【分析】由已知，探求{an}的性质，再去研究数列{bn}的性质，继而解决Sn中最大值．‎ ‎【解答】解：由已知当n=1时，a1=T1=，当n≥2时，an==，n=1时也适合上式，‎ 数列{an}的通项公式为an=∴bn=log2an=14﹣4n，数列{bn}是以10为首项，以﹣4为公差的等差数列．‎ ‎=﹣2n2+12n=﹣2[（n﹣3）2﹣9]，当n=3时取得最大值．‎ 故选D ‎　‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13．f（x）=ax2+ax﹣1在R上满足f（x）＜0，则a的取值范围是　﹣4＜a≤0　．‎ ‎【考点】二次函数的性质．‎ ‎【分析】当a=0时，得到f（x）的值为﹣1小于0，f（x）小于0成立；当a不为0时，f（x）为二次函数，要使f（x）在R上满足f（x）＜0恒成立，则其图象必须为开口向下，且与x轴没有交点的抛物线，即可列出关于a的不等式，求出不等式的解集得到a的范围，综上，得到满足题意的a的范围．‎ ‎【解答】解：当a=0时，f（x）=﹣1＜0成立；‎ 当a≠0时，f（x）为二次函数，‎ ‎∵在R上满足f（x）＜0，‎ ‎∴二次函数的图象开口向下，且与x轴没有交点，‎ 即a＜0，△=a2+4a＜0，‎ 解得：﹣4＜a＜0，‎ 综上，a的取值范围是﹣4＜a≤0．‎ 故答案为：﹣4＜a≤0‎ ‎　‎ ‎14．等比数列{an}中，Sn表示前n顶和，a3=2S2+1，a4=2S3+1，则公比q为　3　．‎ ‎【考点】等比关系的确定．‎ ‎【分析】把已知条件a3=2S2+1，a4=2S3+1相减整理可得，a4=3a3，利用等比数列的通项公式可求得答案．‎ ‎【解答】解：∵a3=2S2+1，a4=2S3+1‎ 两式相减可得，a4﹣a3=2（S3﹣S2）=2a3‎ 整理可得，a4=3a3‎ 利用等比数列的通项公式可得，a1q3=3a1q2，‎ a1≠0，q≠0所以，q=3‎ ‎ 故答案为：3‎ ‎　‎ ‎15．等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn、Tn，若=，则=　　．‎ ‎【考点】等差数列的性质．‎ ‎【分析】本题考查的知识点是等差数列的性质及等差数列的前n项和，由等差数列中S2n﹣1=（2n﹣1）•an，我们可得，，则=，代入若=，即可得到答案．‎ ‎【解答】解：∵在等差数列中S2n﹣1=（2n﹣1）•an，‎ ‎∴，，‎ 则=，‎ 又∵=，‎ ‎∴=‎ 即=‎ 故答案为：‎ ‎　‎ ‎16．如图，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点．从A点测得 M点的仰角∠MAN=60°，C点的仰角∠CAB=45°以及∠MAC=75°；从C点测得∠MCA=60°．已知山高BC=100m，则山高MN=　150　m．‎ ‎【考点】解三角形的实际应用．‎ ‎【分析】由题意，可先求出AC的值，从而由正弦定理可求AM的值，在RT△MNA中，AM=100m，∠MAN=60°，从而可求得MN的值．‎ ‎【解答】解：在RT△ABC中，∠CAB=45°，BC=100m，所以AC=100m．‎ 在△AMC中，∠MAC=75°，∠MCA=60°，从而∠AMC=45°，‎ 由正弦定理得，，因此AM=100m．‎ 在RT△MNA中，AM=100m，∠MAN=60°，由 得MN=100×=150m．‎ 故答案为：150．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）‎ ‎17．解不等式：‎ ‎（1）（x+1）2（x﹣1）（x﹣2）3≤0；‎ ‎（2）＜0．‎ ‎【考点】其他不等式的解法．‎ ‎【分析】（1）对于不等式 （x+1）2（x﹣1）（x﹣2）3≤0，用穿根法求得它的解集．‎ ‎（2）对于不等式＜0，用穿根法求得它的解集．‎ ‎【解答】解：（1）对于不等式 （x+1）2（x﹣1）（x﹣2）3≤0，用穿根法求得它的解集为{x|1≤x≤2或x=﹣1}．‎ ‎（2）对于不等式＜0，用穿根法求得它的解集为）{x|﹣1＜x＜1或1＜x＜2或x＜﹣4}．‎ ‎　‎ ‎18．已知数列{an}中，a1=1，前n项和 ‎（1）求a2，a3；‎ ‎（2）求{an}的通项公式．‎ ‎【考点】数列递推式．‎ ‎【分析】（1）直接利用已知，求出a2，a3；‎ ‎（2）利用已知关系式，推出数列相邻两项的关系式，利用累积法，求出数列的通项公式即可．‎ ‎【解答】解：（1）数列{an}中，a1=1，前n项和，‎ 可知，得3（a1+a2）=4a2，‎ 解得a2=3a1=3，由，‎ 得3（a1+a2+a3）=5a3，‎ 解得a3==6．‎ ‎（2）由题意知a1=1，‎ 当n＞1时，有an=sn﹣sn﹣1=，‎ 整理得，‎ 于是a1=1，‎ a2=a1，‎ a3=a2，‎ ‎…，‎ an﹣1=an﹣2，‎ ‎，‎ 将以上n个式子两端分别相乘，‎ 整理得：．‎ 综上{an}的通项公式为 ‎　‎ ‎19．设△ABC的内角A，B，C的内角对边分别为a，b，c，满足（a+b+c）（a﹣b+c）=ac．‎ ‎（Ⅰ）求B．‎ ‎（Ⅱ）若sinAsinC=，求C．‎ ‎【考点】余弦定理；两角和与差的正弦函数．‎ ‎【分析】（I）已知等式左边利用多项式乘多项式法则计算，整理后得到关系式，利用余弦定理表示出cosB，将关系式代入求出cosB的值，由B为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出B的度数；‎ ‎（II）由（I）得到A+C的度数，利用两角和与差的余弦函数公式化简cos（A﹣C），变形后将cos（A+C）及2sinAsinC的值代入求出cos（A﹣C）的值，利用特殊角的三角函数值求出A﹣C的值，与A+C的值联立即可求出C的度数．‎ ‎【解答】解：（I）∵（a+b+c）（a﹣b+c）=（a+c）2﹣b2=ac，‎ ‎∴a2+c2﹣b2=﹣ac，‎ ‎∴cosB==﹣，‎ 又B为三角形的内角，‎ 则B=120°；‎ ‎（II）由（I）得：A+C=60°，∵sinAsinC=，cos（A+C）=，‎ ‎∴cos（A﹣C）=cosAcosC+sinAsinC=cosAcosC﹣sinAsinC+2sinAsinC=cos（A+C）+2sinAsinC=+2×=，‎ ‎∴A﹣C=30°或A﹣C=﹣30°，‎ 则C=15°或C=45°．‎ ‎　‎ ‎20．已知首项是1的两个数列{an}，{bn}（bn≠0，n∈N*）满足anbn+1﹣an+1bn+2bn+1bn=0．‎ ‎（1）令cn=，求数列{cn}的通项公式；‎ ‎（2）若bn=3n﹣1，求数列{an}的前n项和Sn．‎ ‎【考点】数列递推式；数列的求和．‎ ‎【分析】（1）由anbn+1﹣an+1bn+2bn+1bn=0，cn=，可得数列{cn}是以1为首项，2为公差的等差数列，即可求数列{cn}的通项公式；‎ ‎（2）用错位相减法来求和．‎ ‎【解答】解：（1）∵anbn+1﹣an+1bn+2bn+1bn=0，cn=，‎ ‎∴cn﹣cn+1+2=0，‎ ‎∴cn+1﹣cn=2，‎ ‎∵首项是1的两个数列{an}，{bn}，‎ ‎∴数列{cn}是以1为首项，2为公差的等差数列，‎ ‎∴cn=2n﹣1；‎ ‎（2）∵bn=3n﹣1，cn=，‎ ‎∴an=（2n﹣1）•3n﹣1，‎ ‎∴Sn=1×30+3×31+…+（2n﹣1）×3n﹣1，‎ ‎∴3Sn=1×3+3×32+…+（2n﹣1）×3n，‎ ‎∴﹣2Sn=1+2•（31+…+3n﹣1）﹣（2n﹣1）•3n，‎ ‎∴Sn=（n﹣1）3n+1．‎ ‎　‎ ‎21．如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=，BC=1，P为△ABC内一点，∠BPC=90°．‎ ‎（1）若PB=，求PA；‎ ‎（2）若∠APB=150°，求tan∠PBA．‎ ‎【考点】余弦定理；正弦定理．‎ ‎【分析】（I）在Rt△PBC，利用边角关系即可得到∠PBC=60°，得到∠PBA=30°．在△PBA中，利用余弦定理即可求得PA．‎ ‎（II）设∠PBA=α，在Rt△PBC中，可得PB=sinα．在△PBA中，由正弦定理得，即，化简即可求出．‎ ‎【解答】解：（I）在Rt△PBC中， =，∴∠PBC=60°，∴∠PBA=30°．‎ 在△PBA中，由余弦定理得PA2=PB2+AB2﹣2PB•ABcos30°==．‎ ‎∴PA=．‎ ‎（II）设∠PBA=α，在Rt△PBC中，PB=BCcos（90°﹣α）=sinα．‎ 在△PBA中，由正弦定理得，即，‎ 化为．∴．‎ ‎　‎ ‎22．设数列{an}的前n项和为Sn．已知a1=1， =an+1﹣n2﹣n﹣，n∈N*．‎ ‎（1）求a2的值；‎ ‎（2）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（3）证明：对一切正整数n有++…+＜．‎ ‎【考点】数列的求和；数列递推式．‎ ‎【分析】（1）利用=an+1﹣n2﹣n﹣，代入计算，即可求a2的值；‎ ‎（2）再写一式，两式相减，即可求数列{an}的通项公式；‎ ‎（3）分类讨论，证明当n≥3时，n2＞（n﹣1）•（n+1），可得＜，利用裂项法求和，可得结论．‎ ‎【解答】（1）解：∵ =an+1﹣n2﹣n﹣，n∈N．‎ ‎∴当n=1时，2a1=2S1=a2﹣﹣1﹣=a2﹣2．‎ 又a1=1，∴a2=4．‎ ‎（2）解：∵ =an+1﹣n2﹣n﹣，n∈N．‎ ‎∴2Sn=nan+1﹣n3﹣n2﹣n ‎=nan+1﹣，①‎ ‎∴当n≥2时，2Sn﹣1=（n﹣1）an﹣，②‎ 由①﹣②，得2Sn﹣2Sn﹣1=nan+1﹣（n﹣1）an﹣n（n+1），‎ ‎∵2an=2Sn﹣2Sn﹣1，∴2an=nan+1﹣（n﹣1）an﹣n（n+1），‎ ‎∴﹣=1，∴数列{an}是以首项为1，公差为1的等差数列．‎ ‎∴=1+1×（n﹣1）=n，∴an=n2（n≥2），‎ 当n=1时，上式显然成立．∴an=n2，n∈N*．‎ ‎（3）证明：由（2）知，an=n2，n∈N*，‎ ‎①当n=1时， =1＜，∴原不等式成立．‎ ‎②当n=2时， +=1+＜，∴原不等式成立．‎ ‎③当n≥3时，∵n2＞（n﹣1）•（n+1），‎ ‎∴＜，‎ ‎∴++…+＜1+++…++‎ ‎=1+（﹣+﹣+﹣+…+﹣+﹣）‎ ‎=1+（﹣﹣）＜，‎ ‎∴当n≥3时，∴原不等式亦成立．‎ 综上，对一切正整数n，有++…+＜．‎ ‎　‎