2021高考数学一轮复习课后限时集训37基本不等式文北师大版2
课后限时集训37
基本不等式
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一、选择题
1.下列命题中正确的是( )
A.函数y=x+的最小值为2
B.函数y=的最小值为2
C.函数y=2-3x-(x>0)的最小值为2-4
D.函数y=2-3x-(x>0)的最大值为2-4
D [由x>0知3x+≥4,当且仅当3x=,即x=时等号成立,则2-3x-≤2-4,因此函数y=2-3x-(x>0)的最大值为2-4,故选D.]
2.若log2x+log2y=1,则2x+y的最小值为( )
A.1 B.2
C.2 D.4
D [由log2x+log2y=1得,x>0,y>0且xy=2.
∴2x+y≥2=4,当且仅当2x=y,即x=1,y=2时等号成立,故选D.]
3.已知a>0,b>0,a+b=2,则y=+的最小值是( )
A. B.4
C. D.5
C [由a>0,b>0,a+b=2知+=(a+b)=≥,当且仅当=,即b=2a=时等号成立,故选C.]
4.若a>b>1,P=,Q=(lg a+lg b),R=lg,则( )
A.R
b>1,∴lg a>lg b>0,
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(lg a+lg b)>,即Q>P.
∵>,∴lg>lg=(lg a+lg b)=Q,即R>Q,∴P0,
∴+≥2=4,
当且仅当=,即x=-时取等号.
于是y≤-4+=-,故函数的最大值为-.
(2)∵00,
∴y==·≤·=,当且仅当x=2-x,即x=1时取等号,
∴当x=1时,函数y=的最大值为.
10.已知x>0,y>0,且2x+8y-xy=0,求:
(1)xy的最小值;
(2)x+y的最小值.
[解](1)由2x+8y-xy=0,得+=1,
又x>0,y>0,
则1=+≥2 =,得xy≥64,
当且仅当x=16,y=4时,等号成立.
所以xy的最小值为64.
(2)由2x+8y-xy=0,得+=1,
则x+y=·(x+y)=10++
≥10+2 =18.
当且仅当x=12且y=6时等号成立,
所以x+y的最小值为18.
1.(2019·上海高考改编)若x,y∈R+,且+2y=3,则的最大值为( )
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A. B. C. D.
D [由x,y∈R+得3=+2y≥2,
∴≤,即≤,
当且仅当=2y=,即x=,y=时等号成立,故选D.]
2.若实数a,b满足+=,则ab的最小值为( )
A. B.2
C.2 D.4
C [由题意知a>0,b>0,则+≥2=,
当且仅当=,即b=2a时等号成立.
∴≥,即ab≥2,故选C.]
3.(2019·江苏高考)在平面直角坐标系xOy中,P是曲线y=x+(x>0)上的一个动点,则点P到直线x+y=0的距离的最小值是________.
4 [设P,x0>0.
则点P到直线x+y=0的距离d=
=≥4,
当且仅当x0=,即x0=时等号成立.]
4.某人准备在一块占地面积为1 800平方米的矩形地块中间建三个矩形温室大棚,大棚周围均是宽为1米的小路(如图所示),大棚占地面积为S平方米,其中a∶b=1∶2.
(1)试用x,y表示S;
(2)若要使S的值最大,则x,y的值各为多少?
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[解](1)由题意可得xy=1 800,b=2a,
则y=a+b+3=3a+3,
所以S=(x-2)a+(x-3)b=(3x-8)a
=(3x-8)=1 808-3x-y(x>3,y>3).
(2)S=1 808-3x-×=1 808-
≤1 808-2=1 808-240=1 568,
当且仅当3x=,即x=40时等号成立,S取得最大值,此时y==45,
所以当x=40,y=45时,S取得最大值.
1.(2017·天津高考)若a,b∈R,ab>0,则的最小值为________.
4 [∵a,b∈R,ab>0,∴≥=4ab+≥2=4,
当且仅当即时取得等号.
故的最小值为4.]
2.为了加强“平安校园”建设,有效遏制涉校案件的发生,保障师生安全,某校决定在学校门口利用一侧原有墙体,建造一间墙高为3米,底面为24平方米,且背面靠墙的长方体形状的校园警务室.由于此警务室的后背靠墙,无需建造费用,甲工程队给出的报价为:屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元,左右两面新建墙体报价为每平方米300元,屋顶和地面以及其他报价共计14 400元.设屋子的左右两面墙的长度均为x米(3≤x≤6).
(1)当左右两面墙的长度为多少时,甲工程队报价最低?并求出最低报价;
(2)现有乙工程队也要参与此警务室的建造竞标,其给出的整体报价为元(a>0),若无论左右两面墙的长度为多少米,乙工程队都能竞标成功,试求a的取值范围.
[解](1)设甲工程队的总造价为y元,
则y=3+14 400=1 800+14 400(3≤x≤6),1 800+14 400≥1 800×2×+14 400=28 800.
当且仅当x=,即x=4时等号成立.
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即当左右两侧墙的长度为4米时,甲工程队的报价最低为28 800元.
(2)由题意可得,1 800+14 400>,对任意的x∈[3,6]恒成立.
即>,从而>a恒成立,
令x+1=t,==t++6,t∈[4,7]
又y=t++6在t∈[4,7]为单调增函数,故ymin=12.25.
所以0<a<12.25.
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