2017-2018学年安徽省亳州市高二上学期期末质量检测数学（理）试题 Word版

2017-2018学年安徽省亳州市高二上学期期末质量检测数学（理）试题 Word版

亳州市2017-2018学年度第一学期期末高二质量检测 数学试卷（理）‎ 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.椭圆的焦距为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2.已知是等差数列的第项，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎3.已知向量，且与互相垂直，则实数的值是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎4.已知实数满足，则的最大值为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎5.在中，已知，则（ ）‎ A． B． C. 或 D．‎ ‎6.“”是“”的（ ）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C.充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎7.若坐标原点到抛物线的准线的距离为，则（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎8.若，且，则下列不等式成立的是（ ）‎ A． B． C. ‎ ‎ D．‎ ‎9.已知，则直线与平面交点的坐标是（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎10.如图，过抛物线的焦点的直线交抛物线于点，交其准线于点，若点是的中点，且，则线段的长为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎11.设，则的最小值是（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎12.已知数列满足递推关系，（其中为正常数，）且.若等式成立，则正整数的所有可能取值之和为（ ）‎ A． B． C. D．‎ 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13.命题“”的否定为 ．‎ ‎14.在平行六面体中，为与的交点.若，则向量可以用表示 ．‎ ‎15.若等比数列的前项和恒成立，则该数列的公比 的取值范围是 ．‎ ‎16.已知双曲线的右焦点为，若直线上存在点，使得，其中为坐标原点，则双曲线的离心率的最小值为 ．‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17. 已知，求：‎ ‎（1）；‎ ‎（2）与所成角的余弦值.‎ ‎18. 在等差数列中，，公差，记数列的前项和为.‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）设数列的前项和为，若成等比数列，求.‎ ‎19. 已知命题恒成立；命题方程表示双曲线.‎ ‎（1）若命题为真命题，求实数的取值范围；‎ ‎（2）若命题“”为真命题，“”为假命题，求实数的取值范围.‎ ‎20. 在中，角对边分别为，且.‎ ‎（1）求角的大小；‎ ‎（2）若的外接圆半径为，试求该三角形面积的最大值.‎ ‎21. 如图所示，正三棱柱的底面边长为是侧棱的中点.‎ ‎（1）证明：平面平面；‎ ‎（2）若平面与平面所成锐二面角的大小为，求四棱锥的体积.‎ ‎22. 在平面直角坐标系中，的两个顶点的坐标分别为，三个内角满足.‎ ‎（1）若顶点的轨迹为，求曲线的方程；‎ ‎（2）若点为曲线上的一点，过点作曲线的切线交圆于不同的两点（其中在的右侧），求四边形面积的最大值.‎ 试卷答案 一、选择题 ‎1-5:BDDAC 6-10:ADCDB 11、12：CB 二、填空题 ‎13. ， 14. 15. ‎ ‎16. 2‎ 三、解答题 ‎17. 解：（1）因为a∥b，所以＝＝，解得x＝2,y＝－4，这时a＝(2,4,1)，b＝(－2,－4,－1)．又因为b⊥c，所以b·c＝0，即－6＋8－z＝0，解得z＝2，于是c＝(3，－2,2)．‎ ‎（2）由（1）得a＋c＝(5,2,3)，b＋c＝(1，－6,1)，设(a＋c)与(b＋c)所成角为θ，因此cosθ＝＝－.‎ ‎18. 解：（1）∵，∴，∴，∴，‎ ‎∴，.‎ ‎（2）若成等比数列，则，‎ 即，∴‎ ‎∵，‎ ‎∴.‎ ‎19. 解：（1），∵，∴，故命题为真命题时，．‎ ‎（2）若命题为真命题，则，所以，‎ 因为命题为真命题，则至少有一个真命题，为假命题，‎ 则至少有一个假命题，所以一个为真命题，一个为假命题.‎ 当命题为真命题，命题为假命题时，，则，或；‎ 当命题为假命题，命题为真命题时，， 舍去．‎ 综上，，或.‎ ‎20. 解：（1）‎ ‎ ‎ 又 ‎.‎ （2） ‎，‎ ‎ 又，‎ ‎，‎ ‎ ，‎ 即 ‎21. 解：（1）如图①，取的中点，的中点，连接，易知 又，∴四边形为平行四边形，∴.‎ 又三棱柱是正三棱柱，∴为正三角形，∴.‎ ‎∵平面，,而，∴平面.‎ 又，∴平面.而平面，所以平面平面.‎ ‎（2）（方法一）建立如图①所示的空间直角坐标系，设，则，得.‎ 设为平面的一个法向量.由得 即.显然平面的一个法向量为，‎ ‎ 所以，‎ 即.所以.‎ ‎（方法二）如图②，延长与交于点,连接.‎ ‎∵,为的中点，∴也是的中点, 又∵是的中点,∴.‎ ‎∵平面,∴平面.∴为平面与平面所成二面角的平面角.所以,∴. ‎ ‎ ∵作B1M A1C1与A1C1交于点M，∵正三棱柱ABC-A1B1C1‎ ‎ ∴B1M AA1C1 D，∴B1M是高，所以 ‎ ‎22. 解：（1）设△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c， 由正弦定理.∵，∴.‎ ‎∵ ∴ 即.由椭圆定义知，B点轨迹是以C，A为焦点，长半轴长为2，半焦距为，短半轴长为，中心在原点的椭圆（除去左、右顶点）.‎ ‎∴B点的轨迹方程为. ‎ ‎（2）易知直线的斜率存在，设，‎ ‎，‎ ‎，即，‎ 因为,设点到直线的距离为，‎ 则，，‎ ‎，‎ 由，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎. ‎ 而，，易知，，‎ ‎，时取到，.‎ ‎ ‎ 亳州市2017-2018学年度第一学期期末高二质量检测理科数学参考答案 ‎1 ‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ B D D A C A D C D B C B ‎13．， 14． ‎ ‎15． 16．2 ‎ ‎17.解：（1）因为a∥b，所以＝＝，解得x＝2,y＝－4，这时a＝(2,4,1)，b＝(－2,－4,－1)．又因为b⊥c，所以b·c＝0，即－6＋8－z＝0，解得z＝2，于是c＝(3，－2,2)． ……5分 ‎（2）由（1）得a＋c＝(5,2,3)，b＋c＝(1，－6,1)，设(a＋c)与(b＋c)所成角为θ，因此cosθ＝＝－. ……10分 ‎18.解：（1）∵，∴，∴，∴，‎ ‎∴，. ……6分 ‎（2）若成等比数列，则，‎ 即，∴‎ ‎∵，‎ ‎∴. ……12分 ‎19.解：（1），∵，∴，故命题为真命题时，． ……5分 ‎（2）若命题为真命题，则，所以， ……7分 因为命题为真命题，则至少有一个真命题，为假命题，‎ 则至少有一个假命题，所以一个为真命题，一个为假命题. ……9分 当命题为真命题，命题为假命题时，，则，或；‎ 当命题为假命题，命题为真命题时，， 舍去．‎ 综上，，或. ……12分 ‎20. 解：（1）‎ ‎ ‎ （2） ‎， ……8分 ‎ 又，‎ ‎， ……10分 ‎ ，‎ 即 ……12分 ‎21.解：（1）如图①，取的中点，的中点，连接，易知 又，∴四边形为平行四边形，∴.‎ 又三棱柱是正三棱柱，∴为正三角形，∴.‎ ‎∵平面，,而，∴平面.‎ 又，∴平面.而平面，所以平面平面.‎ ‎……6分 ‎（2）（方法一）建立如图①所示的空间直角坐标系，设，则，得.‎ 设为平面的一个法向量.由得 即.显然平面的一个法向量为，‎ ‎ 所以，‎ 即.所以. ……12分 ‎（方法二）如图②，延长与交于点,连接.‎ ‎∵,为的中点，∴也是的中点, 又∵是的中点,∴.‎ ‎∵平面,∴平面.∴为平面与平面所成二面角的平面角.所以,∴. ‎ ‎ ∵作B1M A1C1与A1C1交于点M，∵正三棱柱ABC-A1B1C1‎ ‎ ∴B1M AA1C1 D，∴B1M是高，所以 ‎ ‎……12分 ‎22.解：（1）设△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c， 由正弦定理.∵，∴.‎ ‎∵ ∴ 即.由椭圆定义知，B点轨迹是以C，A为焦点，长半轴长为2，半焦距为，短半轴长为，中心在原点的椭圆（除去左、右顶点）.‎ ‎∴B点的轨迹方程为. ………5分 ‎（2）易知直线的斜率存在，设，‎ ‎，‎ ‎，即，‎ 因为,设点到直线的距离为，‎ 则，，‎ ‎， ……8分 由，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎. ……10分 而，，易知，，‎ ‎，时取到，. ……12分 ‎ ‎