吉林省长春市榆树市2019-2020学年高二上学期期末考试数学（文）试题

吉林省长春市榆树市2019-2020学年高二上学期期末考试数学（文）试题

数学试题（文科）‎ 说明：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.‎ ‎2．作答时务必将答案写在答题卡上，写在本试卷和草稿纸上无效.‎ ‎3．全卷150分，考试时间为120分钟.‎ 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的）‎ ‎1.不等式的解集为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先移项，再结合十字相乘法即可求解 ‎【详解】‎ 故选：D ‎【点睛】本题考查一元二次不等式的解法，属于基础题 ‎2.若是假命题，则（ ）‎ A. 是真命题，是假命题 B. 均为假命题 C. 至少有一个是假命题 D. 至少有一个是真命题 ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：当、都是真命题是真命题，其逆否命题为：是假命题、至少有一个是假命题，可得C正确.‎ 考点： 命题真假的判断.‎ ‎3.函数+e的导函数是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 结合导数公式求解即可 ‎【详解】由，‎ 故选：C ‎【点睛】本题考查导数公式的应用，需注意常数的导数为0，属于基础题 ‎4.下列条件中,使“”成立的充分不必要条件是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 分析】‎ 根据题意，先解出不等式组具体取值范围，再由充分不必要条件判断即可 ‎【详解】，成立的充分不必要条件应该满足取值范围小于的范围，观察可知，A相符合 故选：A ‎【点睛】本题考查不等式组的解法，命题成立的充分不必要条件的判断，属于基础题 ‎5.命题“对任意,都有”的否定为（ ）‎ A. 对任意,都有 B. 不存在,使得 C. 存在,使得 D. 存在,使得 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对全称命题否定，应将全称改存在，再否定结论 ‎【详解】命题“对任意,都有”的否定为：“存在,使得”‎ 故选：D ‎【点睛】本题考查命题的否定，属于基础题 ‎6.在中，角，，所对的边分别是，，，且，，，则（ ）‎ A. B. C. 或 D. 或 ‎【答案】B ‎【解析】‎ 分析：利用正弦定理和三角形边角大小关系，即可求得答案.‎ 详解：，，， ,‎ ‎ 又由正弦定理，得 ‎ ‎ 故选B.‎ 点睛：本题考查了正弦定理和三角形的边角大小关系，考查推理能力与计算能力.‎ ‎7.等比数列的公比,则等于（ ）‎ A. B. -3 C. D. 3‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 通过观察，可将分母的每个数提出一个公比，再进行求解 ‎【详解】‎ 故选：C ‎【点睛】本题考等比数列性质的应用，属于基础题 ‎8.椭圆的离心率为，则双曲线的离心率为（ ）‎ A. 2 B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据椭圆离心率求得的值，再根据双曲线离心率公式，求得双曲线的离心率.‎ ‎【详解】根据椭圆离心率有，故，所以双曲线的离心率为，故选D.‎ ‎【点睛】本小题主要考查椭圆离心率、双曲线离心率有关计算，属于基础题.‎ ‎9.数列的前项和为，若，则等于（ ）‎ A. 1 B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 化简，利用裂项相消法可得结果.‎ ‎【详解】因为，‎ 所以，故选B．‎ ‎【点睛】裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧：(1)；（2） ； （3）；（4）；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误.‎ ‎10.在△ABC中，如果，那么cosC等于 （ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 解：由正弦定理可得；sinA：sinB：sinC=a：b：c=2：3：4‎ 可设a=2k，b=3k，c=4k（k＞0）由余弦定理可得，CosC=,选D ‎11.已知正实数满足，则的最小值（ ）‎ A. 2 B. 3 C. 4 D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【详解】‎ ‎，‎ 当且仅当，即，时的最小值为3.‎ 故选B.‎ 点睛：本题主要考查基本不等式.在用基本不等式求最值时，应具备三个条件：一正二定三相等.①一正：关系式中，各项均为正数；②二定：关系式中，含变量的各项的和或积必须有一个为定值；③三相等：含变量的各项均相等，取得最值.‎ ‎12.已知函数在上可导且满足，则下列一定成立的为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由表达式可判断原函数应为以构造函数，再结合导数特征即可求解 ‎【详解】构造函数，则，在为增函数，则，即，‎ 故选：A ‎【点睛】本题考查由导数形式判断原函数形式，由函数增减性判断不等式是否成立，属于中档题 二、填空题(本大题共4小题每小题5分，共20分)‎ ‎13.已知，则取最小值是___．‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意，由基本不等式的性质可得22，即可得答案．‎ ‎【详解】根据题意，x＞0，则22，‎ 当且仅当x＝1时等号成立，‎ 即最小值是2；‎ 故答案为2．‎ ‎【点睛】本题考查基本不等式的性质以及应用，关键是掌握基本不等式的形式．‎ ‎14.已知点P在拋物线上,且点P到y轴的距离6,则点P到焦点的距离为________.‎ ‎【答案】10‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出焦点坐标，再结合抛物线第一定义即可求解 ‎【详解】‎ 如图，由可得焦点坐标为，则抛物线准线为，，则 故答案为：10‎ ‎【点睛】本题考查抛物线的基本性质，属于基础题 ‎15.函数在其极值点处的切线方程为____________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎，令，此时 函数在其极值点处的切线方程为 考点：：导数的几何意义.‎ ‎16.对于曲线C：，给出下面四个命题：‎ ‎①曲线C不可能表示椭圆；‎ ‎②当14；‎ ‎④若曲线C是焦点在x轴上的椭圆，则；‎ 其中正确命题的序号为 ．‎ ‎【答案】③④‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】试题分析：若曲线表示椭圆需满足：，所以①②错误；若曲线是焦点在轴上的椭圆，则需满足，所以④正确；若曲线表示双曲线，则需满足，所以③正确，故答案为③④．‎ 考点：椭圆、双曲线的标准方程．‎ ‎【易错点晴】本题主要考查的是椭圆、双曲线的标准方程，属于易错题．解题时要注意椭圆中焦点在轴方程为，焦点在轴方程为，该题中要注意成为椭圆时的条件，曲线表示双曲线，则需满足．‎ 三、解答题(共70分解答题写文字说明、证明过程或演算步骤.)‎ ‎17.已知分别是的三个内角所对的边.若面积求的值；‎ ‎【答案】，‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由正弦定理的面积公式可先求出，再结合余弦定理可求出 ‎【详解】，所以，所以b=1‎ 中，由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosA=3,‎ 所以a=‎ ‎【点睛】本题考查正弦定理面积公式的应用，余弦定理解三角形，属于基础题 ‎18.设等差数列满足 ‎(1)求的通项公式；‎ ‎(2)求的前n项和及使得最小的序号n的值.‎ ‎【答案】（1）（2）；当或6时，取得最小值-30‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由求出公差和首项，即可求解；‎ ‎（2）列出前n项和公式，结合二次函数特点即可求解 ‎【详解】（1）解：∵等差数列满足．‎ ‎∴①‎ ‎．②‎ 由①②得，‎ ‎∴‎ ‎（2）解：的前n项和，由于取不到，∴当或6时，取得最小值-30‎ ‎【点睛】本题考查等差数列通项公式，前n项和公式的求解，属于基础题 ‎19.某企业生产甲、乙两种产品均需用两种原料.已知生产1吨每种产品需原料及每天原料的可用限额如表所示：‎ ‎（1）设该企业每天生产甲、乙两种产品分别为吨，试写出关于的线性约束条件并画出可行域；‎ ‎（2）如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，试求该企业每天可获得的最大利润.‎ ‎【答案】（1）见解析; （2）18.‎ ‎【解析】‎ ‎（1）由题意可列，其表示如图阴影部分区域：‎ ‎（2）设该企业每天可获得的利润为万元，则.‎ 当直线过点时，取得最大值，‎ 所以.‎ 即该企业每天可获得最大利润18万元.‎ ‎20.在数列中，，，‎ ‎(1)设，证明：数列是等差数列；‎ ‎(2)求数列的前项和.‎ ‎【答案】（1）略（2）‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）题中条件，而要证明的是数列是等差数列，因此需将条件中所给的的递推公式转化为的递推公式：，从而，，进而得证；（2）由（1）可得，，因此数列的通项公式可以看成一个等差数列与等比数列的乘积，故可考虑采用错位相减法求其前项和，即有：①，①得：②，‎ ‎②-①得.‎ 试题解析：（1）∵，，又∵，∴，‎ ‎，∴则是为首项为公差的等差数列；‎ 由（1）得，∴，‎ ‎∴①，‎ ‎①得：②，‎ ‎②-①得.‎ 考点：1.数列的通项公式；2.错位相减法求数列的和.‎ ‎21.已知函数．‎ ‎（Ⅰ）求函数在上的最小值；‎ ‎（Ⅱ）若存在使不等式成立，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（Ⅰ）0；（Ⅱ）‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（Ⅰ），令得，易知函数在上单调递增，而，所以函数在上最小值为；（Ⅱ）由题意知，分离参数得，构造函数，不等式成立问题转化为求函数h（x）的最大值，易证函数先减后增，通过计算可知，所以，当时，的最大值为，故．‎ 试题解析：（Ⅰ）由，可得，‎ 当时，单调递减；当时，单调递增．‎ 所以函数在上单调递增． 又，‎ 所以函数在上的最小值为．‎ ‎（Ⅱ）由题意知，则．‎ 若存在使不等式成立，‎ 只需小于或等于的最大值．‎ 设，则．‎ 当时，单调递减；当时，单调递增．‎ 由，，，‎ 可得．所以，当时，的最大值为．‎ 故．‎ 考点：1.导数与单调性；2.导数与最值；3.不等式恒成立问题 ‎22.已知椭圆的离心率为，点在上 ‎（1）求的方程 ‎（2）直线不过原点且不平行于坐标轴，与有两个交点，线段的中点为.证明：直线的斜率与直线的斜率的乘积为定值.‎ ‎【答案】（1） （2）‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（Ⅰ）由求得,由此可得C的方程.（II）把直线方程与椭圆方程联立得,所以于是.‎ 试题解析：‎ 解：（Ⅰ）由题意有解得,所以椭圆C的方程为.‎ ‎（Ⅱ）设直线,,把代入得 故于是直线OM的斜率即,所以直线OM的斜率与直线l的斜率乘积为定值.‎ 考点：本题主要考查椭圆方程、直线与椭圆及计算能力、逻辑推理能力.‎ ‎ ‎