2017-2018学年辽宁省阜新二高高一下学期期末考试数学试卷

2017-2018学年辽宁省阜新二高高一下学期期末考试数学试卷

‎ 2017-2018学年辽宁省阜新二高高一下学期期末考试数学试卷 时间：120分钟 总分：150分 ‎ 一、选择题（本大题共12个小题，每题5分，共60分）‎ ‎1．若集合A＝{(1,2)，(3,4)}，则集合A的真子集的个数是(　　)‎ ‎ A．16　　 　　B．8　　 　　C．4　　 　　D．3‎ ‎2．函数的定义域为(　　)‎ A．[1,10] B．[1,2)∪(2,10] C．(1,10] D．(1,2)∪(2,10]‎ ‎3．已知函数f(x)＝若f(a)＋f(1)＝0，则实数a的值等于(　　)‎ A．－3 B．－1 C．1 D．3‎ ‎4．为等差数列的前项和，，则 (　　) ‎ A． B． C． D．‎ ‎5．已知两个非零向量满足，则下面结论正确的是(　　)‎ A． B． C． D．‎ ‎6．已知tan(α－π)＝，且α∈，则sin＝(　　)‎ A. B．－ C. D．－ ‎7．将函数y＝2sin(2x＋)的图象向右平移个周期后，所得图象对应的函数为(　　)‎ A．y＝2sin(2x＋) B．y＝2sin(2x＋) C．y＝2sin(2x－) D．y＝2sin(2x－)‎ ‎8．函数y＝的部分图象大致为(　　)‎ ‎9. 边长为的三角形的最大角与最小角的和是（ ）‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎10. 半径为的半圆卷成一个圆锥，则它的体积为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎11.已知向量，，若向量与的夹角为，则直线与圆的位置关系是 A．相离 B．相交 C．相切 D．不能确定 ‎12．在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足(a－b)(sinA＋sinB)＝(c－b)sinC.若a＝，则b2＋c2的取值范围是(　　)‎ A．(3,6] B．(3,5) C．(5,6] D．[5,6]‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13．已知角A为△ABC的内角，且sinA＋cosA＝，则tanA的值为________‎ ‎14．在中，，AD是边BC上的高，则的值等于 ‎ ‎15．若等差数列，其和为，若，且则 ‎ ‎16．函数f(x)＝msinωx(其中ω>0，m>0)在区间上单调递增，则ω的取值范围是______.‎ 三、解答题（本大题共6个小题，共70分.解答时应写出文字说明,证明过程和演算过程）‎ ‎17．（本题10分）‎ 已知数列{an}满足a1＝1，且nan＋1－(n＋1)an＝2n2＋2n.‎ ‎(1)求a2，a3；‎ ‎(2)证明数列{}是等差数列，并求{an}的通项公式．‎ ‎18．（本题12分）‎ 已知α，β均为锐角，且sinα＝，tan(α－β)＝－.‎ ‎(1)求sin(α－β)的值．‎ ‎(2)求cosβ的值．‎ ‎19．（本题12分）‎ 已知等比数列{an}满足：a1=2，a2•a4=a6‎ ‎（1）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（2）记数列bn= ，求该数列{bn}的前n项和Sn。‎ ‎20．（本题12分）‎ 设函数f(x)＝sin(ωx－)＋sin(ωx－)，其中0<ω<3.已知f()＝0.‎ ‎(1)求ω；‎ ‎(2)将函数y＝f(x)的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，再将得到的图象向左平移个单位，得到函数y＝g(x)的图象，求g(x)在[－，]上的最小值．‎ ‎21．（本题12分）‎ 已知数列{an}的首项a1＝，an＋1＝，n∈N*.‎ ‎(1)求证：数列为等比数列；‎ ‎(2)记Sn＝＋＋…＋，若Sn<100，求n的最大值．‎ ‎22．（本题12分）‎ 已知a，b，c分别是△ABC中角A，B，C的对边，acsinA＋4sinC＝4csinA.‎ ‎(1)求a的值．‎ ‎(2)圆O为△ABC的外接圆(O在△ABC内部)，△OBC的面积为，b＋c＝4，判断△ABC的形状，并说明理由．‎ ‎ ‎ ‎ 阜蒙县第二高中2017-2018学年度第二学期期末考试 ‎ 高一数学试卷参考答案 ‎1---5 DDABB 6—10BDACB 11—12CC ‎13. 14. 4 15.3 16. ‎17．(1)由已知，得a2－2a1＝4，‎ 则a2＝2a1＋4，又a1＝1，所以a2＝6 2分 由2a3－3a2＝12，得2a3＝12＋3a2，所以a3＝15 4分 ‎(2)由已知nan＋1－(n＋1)an＝2n(n＋1) ‎ 得＝2，即－＝2 6分 所以数列{}是首项＝1，公差d＝2的等差数列 8分 则＝1＋2(n－1)＝2n－1，所以an＝2n2－n 10分 ‎18．(1)因为α，β∈，从而－<α－β<.又因为tan(α－β)＝－<0，‎ 所以－<α－β<0 2分 利用同角三角函数的基本关系可得sin2(α－β)＋cos2(α－β)＝1，且＝－，‎ 解得sin(α－β)＝－ 6分 ‎(2)由(1)可得，cos(α－β)＝.‎ 因为α为锐角，sinα＝，所以cosα＝ 8分 所以cosβ＝cos[α－(α－β)]＝cosαcos(α－β)＋sinαsin(α－β) 10分 ‎＝×＋×＝ 12分 ‎19． 解：（1）设等比数列的公比为，‎ 由得，，‎ 解得， 则 6分 ‎（2）由（1）得，， 8分 ‎∴ 10分 则 ‎ 12分 ‎20． (1)因为f(x)＝sin＋sin，所以f(x)＝sinωx－cosωx－cosωx＝sinωx－cosωx＝＝sin 3分 由题设知f＝0，所以－＝kπ，k∈Z.‎ 故ω＝6k＋2，k∈Z.又0<ω<3，所以ω＝2 6分 ‎(2)由(1)得f(x)＝sin，所以g(x)＝sin＝sin 8分 因为x∈，所以x－∈ 当x－＝－，即x＝－时，g(x)取得最小值－ 12分 ‎21． (1)证明：∵＝＋，∴－2＝－＝.又－2＝－≠0.‎ ‎∴数列是首项为－，公比为的等比数列 6分 ‎(2)由(1)可得－2＝－×n－1，∴＝2－n 8分 ‎∴Sn＝＋＋…＋＝2n－ ‎＝2n－＝2n－＋ 10分 若Sn<100，则2n－＋<100，∴nmax＝50 12分 ‎22． (1)由正弦定理可知，sinA＝，sinC＝，则acsinA＋4sinC＝4csinA⇔a2c＋4c＝4ac，因为c≠0，所以a2c＋4c＝4ac⇔a2＋4＝4a⇔(a－2)2＝0，可得a＝2 4分 ‎(2)设BC的中点为D，则OD⊥BC，‎ 所以S△OBC＝BC·OD.又因为S△OBC＝，BC＝2，所以OD＝ 6分 在Rt△BOD中，tan∠BOD＝＝＝＝，又0°<∠BOD<180°，‎ 所以∠BOD＝60° 8分 所以∠BOC＝2∠BOD＝120°，因为O在△ABC内部，‎ 所以∠A＝∠BOC＝60° 10分 由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA.所以4＝b2＋c2－bc＝(b＋c)2－3bc，‎ 又b＋c＝4，所以bc＝4，所以b＝c＝2，所以△ABC为等边三角形 12分