安徽省枞阳县浮山中学2019-2020学年高二上学期期中考试数学（理）试题

安徽省枞阳县浮山中学2019-2020学年高二上学期期中考试数学（理）试题

‎2019-2020学年安徽省铜陵市枞阳县浮山中学高二（上）期中数学试卷（理科）‎ 一、选择题（本大题共12小题）‎ 1. 若A，B表示点，a表示直线，表示平面，则下列叙述中正确的是 A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 2. 已知直线l的方向向量，平面的法向量，若1，，0，，则直线l与平面的位置关系是 A. 垂直 B. 平行 C. 相交但不垂直 D. 直线l在平面内或直线l与平面平行 3. 化简方程为不含根式的形式是      ‎ A. B. C. D. ‎ 4. 已知圆，直线l：若圆上有2个点到直线l的距离等于则以下b可能的取值是 A. 1 B. C. 2 D. ‎ 5. 已知圆和两点，若圆C上存在点P，使得，则m的最大值为   ‎ A. 7 B. ‎6 ‎C. 5 D. 4‎ 6. 若对圆上任意一点，的取值与x，y无关，则实数a的取值范围是 A. B. C. 或 D. ‎ 7. 已知直线l：和点在直线上求一点Q，使过P、Q的直线与L以及x轴在第一象限内所围成的三角形的面积最小．则Q坐标为 A. B. C. D. ‎ 8. 设是双曲线的一个焦点，，是C的两个顶点，C上存在一点P，使得与以为直径的圆相切于Q，且Q是线段的中点，则C的渐近线方程为 A. B. C. D. ‎ 9. 已知双曲线C：的离心率为2，左右焦点分别为，，点A在双曲线C上，若的周长为‎10a，则的面积为 A. B. C. D. ‎ 10. 设椭圆的离心率为，右焦点为，方程的两个实根分别为和，则点    ‎ A. 必在圆外 B. 必在圆上 C. 必在圆内 D. 以上三种情形都有可能 11. 已知，Q是椭圆上的动点，M是线段PQ上的点，且满足，则动点M的轨迹方程是 A. B. C. D. ‎ 12. 已知双曲线左焦点为F，P为双曲线右支上一点，若FP的中点在以为半径的圆上，则P的横坐标为 A. B. ‎4 ‎C. D. 6‎ 二、填空题（本大题共4小题）‎ 13. 已知双曲线的一条渐近线方程为，且与椭圆有公共焦点．则曲线C的方程为______．‎ 14. ‎，分别是双曲线的左、右焦点，过的直线l与双曲线分别交于点A，B，若为等边三角形，则双曲线的渐近线方程为______．‎ 1. 已知O为坐标原点，平行四边形ABCD内接于椭圆：，点E，F分别为AB，AD的中点，且OE，OF的斜率之积为，则椭圆的离心率为______．‎ 2. 如图，在三棱锥中，为等边三角形，为等腰直角三角形，，平面平面ABC，D为AB的中点，则异面直线AC与PD所成角的余弦值为______． ‎ 三、解答题（本大题共6小题）‎ 3. 已知一动圆与圆外切，且与圆内切． 求动圆圆心P的轨迹方程C； 过点能否作一条直线l与C交于A，B两点，且点Q是线段AB的中点，若存在，求出直线l方程；若不存在，说明理由． ‎ 4. 如图，已知四边形ABCD与四边形BDEF均为菱形，，且 ‎ 求证：平面BDEF；‎ 求二面角的余弦值． ‎ 5. 已知椭圆C：的焦距为2，左右焦点分别为，，以原点O为圆心，以椭圆C的半短轴长为半径的圆与直线相切． Ⅰ求椭圆C的方程； Ⅱ设不过原点的直线l：与椭圆C交于A，B两点． 若直线与的斜率分别为，，且，求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标； 若直线l的斜率是直线OA，OB斜率的等比中项，求面积的取值范围．‎ ‎ ‎ 1. 已知抛物线，过动点P作抛物线的两条切线，切点分别为A，B，且． Ⅰ求点P的轨迹方程； Ⅱ试问直线AB是否恒过定点？若恒过定点，请求出定点坐标；若不恒过定点，请说明理由． ‎ 2. 已知椭圆，若在，，四个点中有3个在M上． 求椭圆M的方程； 若点A与点B是椭圆M上关于原点对称的两个点，且，求的取值范围． ‎ 3. 已知椭圆C的两个顶点分别为，，焦点在x轴上，离心率为． Ⅰ求椭圆C的方程； Ⅱ点D为x轴上一点，过D作x轴的垂线交椭圆C于不同的两点M，N，过D作AM的垂线交BN于点求证：与的面积之比为4：5． ‎ 答案和解析 ‎1.【答案】D ‎ ‎【解析】解：点与面的关系用符号，而不是，所以答案A错误；直线与平面的关系用表示，则表示错误； 点A不在直线a上，但只要A，B都在平面内，也存在，答案C错误；而，，则，所以答案D正确． 故选：D． 本题要正确应用点，线，面之间的关系和符号表示，利用公理一判断即可． 立体几何图形语言、符号语言、文字语言之间三者之间相互转化，对公理一要准确理解到位． 2.【答案】D ‎ ‎【解析】解：， ， 直线l在平面内或直线l与平面平行． 故选：D． 由，即可判断出直线l与平面的位置关系． 本题考查了平面法向量的应用、直线与平面的位置关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 3.【答案】C ‎ ‎【解析】【分析】 本题考查圆锥曲线的定义，考查方程的几何意义，考查椭圆的标准方程，是个简单题． 方程，它的几何意义是动点到定点与到定点的距离之和为10，从而轨迹为椭圆，故可求． 【解答】 解：方程， 它的几何意义是动点到定点与到定点的距离之和为， 从而轨迹为椭圆，焦点在y轴上， 且，，， 其标准方程为： 故选：C． 4.【答案】C ‎ ‎【解析】解：圆的圆心坐标为，半径． 要使圆上有2个点到直线l的距离等于1， 则圆心到直线l：的距离d满足， 即，即， 解得， 结合选项可得b可能的取值是2． 故选：C ‎． 由题意可得圆心到直线l：的距离d满足根据点到直线的距离公式求出d，再解绝对值不等式求得实数b的取值范围，结合选项得答案． 本题主要考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式，绝对值不等式的解法，是基础题． 5.【答案】B ‎ ‎【解析】【分析】本题考查圆与圆的位置关系的应用，两点距离公式的应用，属于一般题． 由，可得点P在以AB为直径的圆上，又点P在圆C上，则两圆有交点，由两圆的位置关系列关系式求得m的取值范围即可． 【解答】 解：圆C：的圆心，半径为1， 圆心C到的距离为5， 圆C上的点到点O的距离的最大值为6． 再由可得，以AB为直径的圆和圆C有交点， 可得，故有， 故选：B． 6.【答案】D ‎ ‎【解析】【分析】 本题考查了直线和圆的位置关系，以及点到直线的距离公式，属于中档题． 由题意可得可以看作点P到直线m：与直线l：距离之和的5倍， ，根据点到直线的距离公式解得即可． 【解答】 解：设 ， 故可以看作点P到直线m：与直线l：距离之和的5倍， 取值与x，y无关， 这个距离之和与P无关， 如图所示：当圆在两直线之间时，P点与直线m，l的距离之和均为m，l的距离， 此时与x，y的值无关， 当直线m与圆相切时，， 化简得， 解得或舍去， ． 故选：D． ‎ ‎7.【答案】C ‎ ‎【解析】解：设，则直线PQ：， 令，则，即直线PQ与x轴交点的坐标为，根据题意，， 所以直线PQ与L以及x轴在第一象限内所围成的三角形的面积： ， 当且仅当取等， 此时， 故选：C． 设出点Q的坐标利用图形之间的关系表示出所求的三角形的面积．通过建立的函数类型选择合适的方法求出面积的最小值即可． 本题是函数与直线问题的小综合题，首先要建立起三角形面积与动点坐标之间的函数关系，根据函数的类型进行适当变形利用基本不等式求解所求的最值，体现了转化与化归的思想． 8.【答案】C ‎ ‎【解析】解：由于O为的中点，Q为线段的中点， 则由中位线定理可得，， 由与以线段为直径的圆相切于点Q， 则，， 由双曲线的定义可得，， 即有， 由，由勾股定理可得， 即，则，即． 的渐近线方程为． 故选：C． 运用中位线定理，可得，，再由双曲线的定义，以及直线和圆相切的性质，运用勾股定理得到，则C的渐近线方程可求． 本题考查双曲线的定义和性质，考查双曲线渐近线方程的求法，考查直线和圆相切的条件，以及中位线定理和勾股定理的运用，考查运算能力，是中档题． 9.【答案】B ‎ ‎【解析】解：双曲线C：的离心率为2，左，右焦点分别为，，点A在双曲线C上．若的周长为‎10a， 不妨A在双曲线右支， 可得：，，， 解得，， 所以的面积：． 故选：B． 利用双曲线的离心率以及定义结合的周长为‎10a，求出、；然后推出结果． 本题考查双曲线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力． 10.【答案】C ‎ ‎【解析】【分析】 本题考查椭圆的基本性质，考查点与圆的位置关系，注意解题方法的积累，属于中档题． 通过可得，利用韦达定理可得、，根据完全平方公式、点与圆的位置关系计算即得结论． 【解答】 解：，， ，是方程的两个实根， 由韦达定理：，， ， 点必在圆内． 故选：C． 11.【答案】B ‎ ‎【解析】解：椭圆即，设动点，，则有   ． ，，，，代入化简可得 ， 故选：B． 设动点，，则有  ，由，得到，，代入化简可得结果． 本题考查用代入法求点的轨迹方程，得到，是解题的关键． 12.【答案】C ‎ ‎【解析】解：双曲线的，，，，左焦点为， P为双曲线右支上一点，设，， 设双曲线的右焦点为， 若FP的中点M在以为半径的圆上， 连接，OM，由三角形的中位线定理可得， 双曲线的右准线方程为即， 由双曲线的第二定义可得， 解得． 故选：C． 求得双曲线的a，b，c和e，设，，设双曲线的右焦点为，连接，OM，由三角形的中位线定理可得，求得双曲线的右准线方程，结合双曲线的第二定义，解方程可得所求横坐标． 本题考查双曲线的定义、方程和性质，考查三角形的中位线定理，运用定义法解题是解决圆锥曲线问题的常用方法，属于中档题． 13.【答案】 ‎ ‎【解析】解：双曲线的渐近线方程为， 由一条渐近线方程为，可得， 椭圆的焦点为，， 可得， 由可得，， 即双曲线的方程为， 故答案为：． 由双曲线的渐近线方程可得，，求得椭圆的焦点，可得，，解方程可得a，b，进而得到双曲线的方程． 本题考查椭圆和双曲线的方程和性质，考查方程思想和运算能力，属于基础题． ‎ ‎14.【答案】 ‎ ‎【解析】解：根据双曲线的定义，可得， 是等边三角形，即， ， 又， ， 中，，，， ， 即， 解得， ， 双曲线的渐近线的渐近线方程为， 故答案为： 根据双曲线的定义算出中，，，由是等边三角形得，利用余弦定理算出，可得a，b的关系，即可得到双曲线渐近线方程． 本题主要考查双曲线的定义和简单几何性质等知识，根据条件求出a，b的关系是解决本题的关键． 15.【答案】 ‎ ‎【解析】解：设，则， 由对称性可得：，则， 可得，． 相减可得： ，AD斜率之积为． ，F分别为AB，AD的中点，且OE，OF的斜率之积为，则OE，OF的斜率之积等于AB，AD斜率之积． ，则椭圆的离心率为， 故答案为：． 设，则，由对称性可得：，则，由可得，，相减可得：AB，AD斜率之积为由E，F分别为AB，AD的中点，可得OE，OF的斜率之积等于AB，AD斜率之积．即，即可求得椭圆的离心率． 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、斜率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 16.【答案】 ‎ ‎【解析】解：取AC的中点O，连结OP，OB， ，， 平面平面ABC，平面平面， 平面ABC， 又，， 以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 是等腰直角三角形，，为直角三角形， 0，，0，，0，，， 0，，， ． 异面直线AC与PD 所成角的余弦值为． 故答案为：． 取AC的中点O，连结OP，OB，以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线AC与PD所成角的余弦值． 本题考查异线直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算与求解能力，考查化归与转化思想，是中档题． 17.【答案】解：设动圆圆心半径为r， 根据题意得：， 所以， 则动圆圆心P轨迹为双曲线右支， ，，， 其方程为； 设，， ， ， 得， ， ， ， ， 所以， 所以存在这样的直线，且AB：． ‎ ‎【解析】直接利用条件列出关系式，结合双曲线的定义，求出圆心P的轨迹方程； 利用点差法，就可求出斜率，然后写出直线方程． 考查曲线轨迹方程的求法，圆的几何性质的应用，利用点差法求出直线的斜率，考查计算能力．本题是中档题， 18.【答案】证明：设AC、BD交于点O，连结OF、DF， 四边形ABCD与四边形BDEF均为菱形，，且， ，，， 四边形ABCD与四边形BDEF均为菱形， ， ，平面BDEF． ，，平面ABCD， 以OA为x轴，OB为y轴，OF为z轴，建立空间直角坐标系， 设，则0，，0，，1，，0，， ，1，， ， 设平面ABF的法向量y，， 则，取，得， 设平面BCF的法向量y，， 则，取，得， 设二面角的平面角为， 则． 又为钝角， 二面角的余弦值为． ‎ ‎【解析】本题考查线面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查二面角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题． 设AC、BD交于点O，连结OF、DF，推导出，，，由此能证明平面BDEF． 以OA为x轴，OB为y轴，OF为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角的余弦值． 19.【答案】解：Ⅰ由题意可得，即， 由直线与圆相切， 可得，解得， 即有椭圆的方程为； Ⅱ证明：设，， 将直线代入椭圆， 可得， 即有， ，， 由， 即有， 代入韦达定理，可得， 化简可得， 则直线的方程为，即， 故直线l恒过定点； 由直线l的斜率是直线OA，OB斜率的等比中项， 即有，即为 ， 可得， 解得， 代入， 可得，且． 由O到直线的距离为， 弦长AB为， 则面积为， 当且仅当，即时，取得最大值． 则面积的取值范围为 ‎ ‎【解析】Ⅰ由题意可得，由直线和圆相切的条件：，可得，进而得到a，即有椭圆方程； Ⅱ设，，将直线方程代入椭圆方程，运用判别式大于0，以及韦达定理，结合直线的斜率公式，可得，进而得到直线恒过定点； 由直线l的斜率是直线OA，OB斜率的等比中项，即有，运用韦达定理，可得k，再由点到直线的距离公式和弦长公式，运用三角形的面积公式，结合基本不等式可得面积的最大值，即有面积的取值范围． 本题考查椭圆的方程的求法，注意运用直线与圆相切的条件：，考查直线恒过定点的求法，注意运用联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理和直线的斜率公式，考查三角形的面积的范围，注意运用等比数列的中项的性质和韦达定理及弦长公式，以及点到直线的距离公式，考查化简整理的运算能力，属于中档题． 20.【答案】解：Ⅰ设，则直线PA：，代入抛物线方程：， 因为直线与抛物线相切，所以，分 同理，有，分 所以，分别为方程：的两个不同的实数根，分 ‎ ‎，所以，所以点P的轨迹方程为分 Ⅱ设，， 由，，所以抛物线在A，B点的切线方程分别为，，分 又都过点，所以分 所以直线AB的方程为，分 所以直线AB恒过定点分 ‎ ‎【解析】Ⅰ直线PA：，代入抛物线方程，得出，同理，有，，分别为方程：的两个不同的实数根，利用韦达定理求点P的轨迹方程； Ⅱ求出直线AB的方程，即可得出结论． 本题考查直线与抛物线的位置关系，圆锥曲线方程的综合应用，函数的导数以及切线方程的应用，难度比较大的压轴题目． 21.【答案】解：椭圆，若在，，四个点中有3个在M上．只有，三个点在椭圆上，所以，，可得， 所以椭圆方程为：． 点A与点B是椭圆M上关于原点对称的两个点，设，则，， ，． 的取值范围：． ‎ ‎【解析】判断椭圆上的3个点，利用已知条件求出椭圆方程． 设出A的坐标，然后转化求解向量的数量积即可． 本题考查直线与椭圆的位置关系的应用，椭圆的简单性质的应用，是中档题． 22.【答案】解：Ⅰ由椭圆的焦点在x轴上，设椭圆方程：， 则，，则， ， 椭圆C的方程； Ⅱ证明：设，，，，， 则直线AM的斜率，直线DE的斜率， 直线DE的方程：， 直线BN的斜率，直线BN的方程， ，解得：， 过E做轴，∽， 则， 则， ：与的面积之比为4：5． ‎ ‎【解析】Ⅰ由题意设椭圆方程，由，根据椭圆的离心率公式，即可求得c，则，即可求得椭圆的方程； Ⅱ由题意分别求得DE和BN的斜率及方程，联立即可求得E点坐标，根据三角形的相似关系，即可求得，因此可得与的面积之比为4：5． 本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，直线与椭圆的位置关系，直线的斜率公式，相似三角形的应用，考查数形结合思想，属于中档题． ‎