2021版高考数学一轮复习核心素养测评三十九等比数列理北师大版

2021版高考数学一轮复习核心素养测评三十九等比数列理北师大版

核心素养测评三十九 等比数列 ‎(30分钟　60分)‎ 一、选择题(每小题5分,共25分)‎ ‎1.已知数列a,a(1-a),a(1-a)2,…是等比数列,则实数a满足的条件是 (　　)‎ A.{a|a≠1} B.{a|a≠0或a≠1}‎ C.{a|a≠0} D.{a|a≠0且a≠1}‎ ‎【解析】选D.由等比数列定义可知a≠0且1-a≠0,即a≠0且a≠1.‎ ‎【变式备选】‎ 数列{an}满足:an+1=λan-1(n∈N*,λ∈R且λ≠0),若数列{an-1}是等比数列,则λ的值等于 (　　)‎ A.1　　　B.-1　　　C.　　　D.2‎ ‎【解析】选D.由an+1=λan-1,得an+1-1=λan-2=λ(an-).由于数列{an-1}是等比数列,所以=1,得λ=2.‎ ‎2.公元前5世纪,古希腊哲学家芝诺发表了著名的阿基里斯悖论.他提出让乌龟在阿基里斯前面1 000米处开始,和阿基里斯赛跑,并且假定阿基里斯的速度是乌龟的10倍.当比赛开始后,若阿基里斯跑了1000米,此时乌龟便领先他100米;当阿基里斯跑完下一个100米时,乌龟仍然领先他10米;当阿基里斯跑完下一个10米时,乌龟仍然领先他1米……所以阿基里斯永远追不上乌龟.按照这样的规律,若阿基里斯和乌龟的距离恰好为10-2米时,乌龟爬行的总距离(单位:米)为 ‎(　　)‎ A. B.‎ C. D. ‎ ‎【解析】选B.由题意知,乌龟每次爬行的距离(单位:米)构成等比数列,且首项a1=100,公比q=,易知a5=10-2,则乌龟爬行的总距离(单位:米)为S5=‎ - 13 -‎ ‎==.‎ ‎3.已知各项不为0的等差数列{an}满足a6-+a8=0,数列{bn}是等比数列,且b7=a7,则b2·b8·b11= (　　)‎ A.1 B.2 C.4 D.8‎ ‎【解析】选D.由等差数列的性质得a6+a8=2a7.由a6-+a8=0可得a7=2,所以b7=a7=2.由等比数列的性质得b2b8b11=b2b7b12==23=8.‎ ‎【变式备选】‎ 已知方程(x2-mx+2)(x2-nx+2)=0的四个根组成以为首项的等比数列,则等于 ‎(　　)‎ A.　　　　　　　　B.或 C. D.以上都不对 ‎【解析】选B.设a,b,c,d是方程(x2-mx+2)(x2-nx+2)=0的四个根,不妨设a0.则由三角形三边不等关系知:‎ 当q>1时.a+aq>a·q2,即q2-q-1<0‎ 所以a,则q2+q-1>0,‎ 所以q>或q<-,‎ 所以0,其前n项和为Sn,且S5=62,a4,a5的等差中项为3a3. ‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式.‎ ‎(2)设bn=,求数列{bn}的前n项和Tn.‎ ‎【解析】(1)因为a4+a5=6a3,所以a1q3+a1q4=6a1q2,‎ 即q2+q-6=0,‎ 解得q=2或q=-3(舍去).‎ 所以S5==31a1=62,a1=2,‎ 所以an=2·2n-1=2n.‎ ‎(2)因为bn==‎ ‎=,‎ 所以Tn=b1+b2+…+bn ‎=‎ ‎=‎ - 13 -‎ ‎==-.‎ ‎(15分钟　35分)‎ ‎1.(5分)中国古代数学名著《九章算术》中有这样一个问题:今有牛、马、羊食人苗,苗主责之粟五斗.羊主曰:“我羊食半马.”马主曰:“我马食半牛.”今欲衰偿之,问各出几何?此问题的译文是:今有牛、马、羊吃了别人的禾苗,禾苗主人要求赔偿5斗粟.羊主人说:“我的羊所吃的禾苗只有马的一半.”马主人说:“我的马所吃的禾苗只有牛的一半.”打算按此比率偿还,他们各应偿还多少?已知牛、马、羊的主人各应偿还粟a升,b升,c升,1斗为10升,则下列判断正确的是 (　　)‎ A.a,b,c成公比为2的等比数列,且a=‎ B.a,b,c成公比为2的等比数列,且c=‎ C.a,b,c成公比为的等比数列,且a=‎ D.a,b,c成公比为的等比数列,且c=‎ ‎【解析】选D.由题意可得,a,b,c成公比为的等比数列,b=a,c=b,三者之和为50升,故4c+2c+c=50,解得c=.‎ ‎【变式备选】‎ 已知等比数列{an}的公比q=2,前100项和为S100=90,则其偶数项a2+a4+…+a100为 ‎(　　)‎ A.15　　　B.30　　　C.45　　　D.60‎ ‎【解析】选D.S100=a1+a2+…+a100=90,设S=a1+a3+…+a99,则2S=a2+a4+…+a100,‎ 所以S+2S=90,S=30,故a2+a4+…+a100=2S=60.‎ ‎2.(5分)在等比数列{an}中,a2,a16是方程x2-6x+2=0的根,则= (　　)‎ - 13 -‎ A.- B.-‎ C. D.-或 ‎【解析】选D.由题意可得a2a16=2,又由等比数列的性质可知a2a16==2,所以a9=±,所以==a9=±.‎ ‎【变式备选】‎ 在等比数列{an}中,a3,a15是方程x2-6x+8=0的根,则= (　　)‎ A.2　　　B.2　　　C.1　　　D.-2‎ ‎【解析】选A.由题知,a3+a15=6>0,a3a15=8>0,则a3>0,a15>0,由等比数列的性质知a1a17=a3a15=8=⇒a9=±2.设等比数列{an}的公比为q,则a9=a3q6>0,故a9=2,故==2.‎ ‎3.(5分)(2019·全国卷Ⅰ)记Sn为等比数列{an}的前n项和.若a1=1,S3=,则S4=________________. ‎ ‎【解析】设等比数列的公比为q,由已知 S3=a1+a1q+a1q2=1+q+q2=,即q2+q+=0,‎ 解得q=-,所以S4===.‎ 答案:‎ ‎【变式备选】‎ - 13 -‎ 设{an}是公比为q的等比数列,Sn是它的前n项和,若{Sn}是等差数列,则q为________________. ‎ ‎【解析】若q=1,则Sn=na1,所以{Sn}是等差数列;‎ 若q≠1,则当{Sn}是等差数列时,一定有2S2=S1+S3,‎ 所以2·=a1+,‎ 即q3-2q2+q=0,故q(q-1)2=0,‎ 所以q=0或q=1,‎ 而q≠0,q≠1,所以此时不成立.‎ 综上可知,q=1.‎ 答案:1‎ ‎4.(10分)已知数列{an}是各项均为正数的等比数列,若a1=1,a2a4=16. ‎ ‎(1)设bn=log2an,求数列{bn}的通项公式.‎ ‎(2)求数列{an·bn}的前n项和Sn.‎ ‎【解析】(1)因为a1=1,a2·a4=16,‎ 由等比数列的性质可得,a2·a4==16且an>0,‎ 所以a3=4,‎ 所以q2==4,所以q=2或q=-2(舍去),‎ 所以an=2n-1,‎ 因为bn=log2an=log22n-1=n-1,‎ 所以bn=n-1.‎ ‎(2)由(1)得an·bn=(n-1)·2n-1,‎ Sn=0·20+1·21+2·22+…+(n-1)·2n-1　①‎ ‎2Sn=0·21+1·22+…+(n-2)·2n-1+(n-1)·2n　②‎ ‎①-②得 ‎-Sn=2+22+23+…+2n-1-(n-1)·2n ‎=-(n-1)·2n - 13 -‎ ‎=2n(2-n)-2‎ 所以Sn=(n-2)·2n+2.‎ ‎5.(10分)已知数列{an}的前n项和为Sn,且an=(n∈N*). ‎ ‎(1)若数列{an+t}是等比数列,求t的值.‎ ‎(2)求数列{an}的通项公式.‎ ‎【解析】(1)当n=1时,由a1==得a1=1;‎ 当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2an-n-2an-1+(n-1),即an=2an-1+1,所以a2=3,a3=7.‎ 依题意得(3+t)2=(1+t)(7+t),解得t=1,当t=1时,an+1=2(an-1+1),n≥2,即{an+1}为等比数列成立,故实数t的值为1.‎ ‎(2)由(1)知当n≥2时,an+1=2(an-1+1),又因为a1+1=2,所以数列{an+1}是首项为2,公比为2的等比数列,所以an+1=2×2n-1=2n,所以an=2n-1.‎ ‎【变式备选】‎ ‎1.已知在正项数列{an}中,a1=2,点An(,)在双曲线y2-x2=1上,数列{bn}中,点(bn,Tn)在直线y=-x+1上,其中Tn是数列{bn}的前n项和.‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式.‎ ‎(2)求证:数列{bn}是等比数列.‎ ‎【解析】(1)由点An在y2-x2=1上知an+1-an=1,所以数列{an}是一个以2为首项,1为公差的等差数列,所以an=a1+(n-1)d=2+n-1=n+1.‎ ‎(2)因为点(bn,Tn)在直线y=-x+1上,‎ 所以Tn=-bn+1,①‎ 所以Tn-1=-bn-1+1(n≥2).②‎ ‎①-②得bn=-bn+bn-1(n≥2),‎ - 13 -‎ 所以bn=bn-1,所以bn=bn-1(n≥2),‎ 在①式中令n=1,得T1=b1=-b1+1,所以b1=,所以{bn}是一个以为首项,以为公比的等比数列.‎ ‎2.已知首项为的等比数列{an}的前n项和为Sn(n∈N*),且-2S2,S3,4S4成等差数列.‎ ‎ (1)求数列{an}的通项公式.‎ ‎(2)证明:Sn+≤(n∈N*).‎ ‎【解析】(1)设等比数列{an}的公比为q,‎ 因为-2S2,S3,4S4成等差数列,所以2S3=4S4-2S2,即S3=2S4-S2,即S4-S3=S2-S4,‎ 可得2a4=-a3,于是q==-.‎ 又a1=,所以等比数列{an}的通项公式为 an=×=(-1)n-1·.‎ ‎(2)由(1)知,Sn=1-,‎ Sn+=1-+‎ ‎=‎ - 13 -‎ 当n为奇数时,Sn+随n的增大而减小,‎ 所以Sn+≤S1+=.‎ 当n为偶数时,Sn+随n的增大而减小,‎ 所以Sn+≤S2+=.‎ 故对于n∈N*,有Sn+≤.‎ ‎1.“十二平均律”是通用的音律体系,明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例,为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份,依次得到十三个单音,从第二个单音起,每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于.若第一个单音的频率为f,则第八个单音的频率为 ‎ (　　)‎ A.f　　B.f　　C.f　　D.f ‎【解析】选D.这13个单音构成了一个以f为首项,为公比的等比数列,所以an=a1qn-1=f·()n-1,即a8=f.‎ ‎2.(2020·郑州模拟)设首项为1的数列{an}的前n项和为Sn,‎ 且an=若Sm>2 020,则正整数m的最小值为 ‎(　　)‎ A.15 B.16 C.17 D.18‎ ‎【解析】选C.由题意知a2k=a2k-1+1,a2k+1=2a2k+1,‎ 所以a2k+1=2(a2k-1+1)+1=2a2k-1+3,‎ - 13 -‎ 即a2k+1+3=2(a2k-1+3).‎ 又a1+3=4,所以数列是以4为首项,2为公比的等比数列,‎ 所以a2k-1=4·2k-1-3,a2k=4·2k-1-2,‎ 所以S奇=a1+a3+…+a2k-1=-3k=2k+2-4-3k,‎ S偶=a2+a4+…+a2k=2k+2-4-2k,‎ 所以S2k=S奇+S偶=2k+3-8-5k.‎ 当k=8时,S16=2 000<2 020.‎ 又a17=1021,所以S17=3 021>2 020,故正整数m的最小值为17.‎ - 13 -‎