【数学】2020届一轮复习人教A版演绎推理学案

【数学】2020届一轮复习人教A版演绎推理学案

‎2.1.2　演绎推理 ‎　1.理解演绎推理的意义.　2.掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理.‎ ‎3.了解合情推理和演绎推理之间的区别和联系.‎ ‎1.演绎推理 含义 从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论的推理 特点 由一般到特殊的推理 ‎2.三段论 一般模式 常用格式 大前提 已知的一般原理 M是P 小前提 所研究的特殊情况 S是M 结论 根据一般原理，对特殊情况 做出的判断 S是P ‎1.演绎推理的特点 ‎（1）演绎推理的前提是一般性原理，演绎推理所得的结论是蕴涵于前提之中的个别、特殊事实.‎ ‎（2）在演绎推理中，前提与结论之间存在必然的联系，只要前提是真实的，推理的形式是正确的，那么结论也必定是正确的.‎ ‎2.为了方便，在运用“三段论”推理时，常常采用省略大前提的表达方式.对于复杂的论证，总是采用一连串的“三段论”，把前一个“三段论”的结论作为下一个“三段论”的前提.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ‎ ‎3.“三段论”推理的结论正确与否，取决于两个前提以及推理形式是否正确.在大前提、小前提及推理形式都正确的情况下，得到的结论一定正确.‎ ‎ 判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”）‎ ‎（1）“三段论”就是演绎推理.（　　）‎ ‎（2）演绎推理的结论一定是正确的.（　　）‎ ‎（3）演绎推理是由特殊到一般再到特殊的推理.（　　）‎ ‎（4）演绎推理得到的结论的正误与大前提、小前提和推理形式有关.（　　）‎ 答案：（1）×　（2）×　（3）×　（4）√‎ ‎ “所有金属都能导电，铁是金属，所以铁能导电”这种推理属于（　　）‎ A.演绎推理　　　　　　　　 B.类比推理 C.合情推理 D.归纳推理 解析：选A.“所有金属都能导电”及“铁是金属”均为前提条件，得出“铁能导电”的结论，满足演绎推理的定义.‎ ‎ “因为四边形ABCD是矩形，所以四边形ABCD的对角线相等”，该推理的大前提是（　　）‎ A.矩形都是四边形 B.四边形的对角线都相等 C.矩形的对角线相等 D.对角线都相等的四边形是矩形 解析：选C.该推理是省略大前提的演绎推理，因为相关的内容是“矩形”“对角线相等”，所以易得该推理的大前提是矩形的对角线相等.‎ ‎ 正弦函数是奇函数，f（x）＝sin x2是正弦函数，所以f（x）＝sin x2是奇函数，以上“三段论”中的　　　　是错误的.‎ 答案：小前提 探究点1　用三段论的形式表示演绎推理 ‎　将下列演绎推理写成三段论的形式.‎ ‎（1）等腰三角形的两底角相等，∠A，∠B是等腰三角形的底角，则∠A＝∠B.‎ ‎（2）通项公式为an＝2n＋3的数列{an}为等差数列.‎ ‎【解】　（1）等腰三角形的两底角相等， 大前提 ‎∠A，∠B是等腰三角形的底角， 小前提 ‎∠A＝∠B. 结论 ‎（2）数列{an}中，如果当n≥2时，an－an－1为常数，则{an}为等差数列， 大前提 通项公式为an＝2n＋3时，若n≥2，‎ 则an－an－1＝2n＋3－[2（n－1）＋3]＝2（常数），‎ 小前提 通项公式为an＝2n＋3的数列{an}为等差数列. 结论 将演绎推理写成三段论的方法 ‎（1）用三段论写推理过程时，关键是明确大、小前提.‎ ‎（2）用三段论写推理过程中，有时可省略小前提，有时甚至也可将大前提与小前提都省略.‎ ‎（3）在寻找大前提时，可找一个使结论成立的充分条件作为大前提.　 ‎ ‎　1.“所有9的倍数都是3的倍数，某奇数是9的倍数，故该奇数是3的倍数.”上述推理（　　）‎ A.小前提错　　　　　　　 B.结论错 C.正确 D.大前提错 解析：选C.在上述推理中，大前提、小前提都是正确的，推理的形式也符合三段论模式，因此结论也是正确的，这个推理是正确的.‎ ‎2.将下列演绎推理写成“三段论”的形式：‎ ‎（1）一切偶数都能被2整除，0是偶数，所以0能被2整除；‎ ‎（2）三角形的内角和是180°，等边三角形是三角形，故等边三角形的内角和是180°；‎ ‎（3）循环小数是有理数，0.332·,是循环小数，所以0.332·,是有理数.‎ 解：（1）一切偶数都能被2整除， 大前提 ‎0是偶数， 小前提 所以0能被2整除. 结论 ‎（2）三角形的内角和是180°， 大前提 等边三角形是三角形， 小前提 故等边三角形的内角和是180°. 结论 ‎（3）循环小数是有理数， 大前提 ‎0.332·,是循环小数， 小前提 所以0.332·,是有理数. 结论 探究点2　演绎推理在证明代数中的应用 ‎　已知函数f（x）＝ax＋（a＞1），求证：函数f（x）在（－1，＋∞）上为增函数.‎ ‎【证明】　如果在（－1，＋∞）上f′（x）＞0，‎ 那么函数f（x）在（－1，＋∞）上是增函数，大前提 因为a＞1，‎ 所以f′（x）＝axln a＋＞0，小前提 所以函数f（x）在（－1，＋∞）上为增函数.结论 ‎（1）数学问题的解决和证明都蕴含着演绎推理，即一连串的三段论，关键是找到每一步推理的依据——大前提、小前提，注意前一个推理的结论会作为下一个三段论的前提.‎ ‎（2）在代数证明问题中，尤其是不等关系的证明，首先找到论证不等关系的一般性原理（如基本不等式等），这是大前提，然后利用“三段论”进行推理.此时应注意不等式性质及定理成立的条件.‎ ‎　 ‎ ‎　在锐角三角形ABC中，求证sin A＋sin B＋sin C ＞cos A＋cos B＋cos C.‎ 证明：因为在锐角三角形中， A＋B＞，所以A＞－B，‎ 所以0＜－B＜A＜.又因为在内，正弦函数是单调递增函数，所以sin A＞sin＝cos B，即sin A＞cos B，①　同理，sin B＞cos C，②　sin C＞cos A.③‎ 以上①②③两端分别相加，有sin A＋sin B＋sin C＞cos A＋cos B＋cos C.‎ 探究点3　演绎推理在证明几何中的应用 ‎　如图，D，E，F分别是△ABC中BC，CA，AB边上的点，∠BFD＝∠A，DE∥BA，求证：ED＝AF，写出三段论形式的演绎推理.‎ ‎【证明】　因为同位角相等，两条直线平行， 大前提 ‎∠BFD与∠A是同位角，且∠BFD＝∠A， 小前提 所以FD∥AE. 结论 因为两组对边分别平行的四边形是平行四边形，‎ ‎ 大前提 DE∥BA，且FD∥AE， 小前提 所以四边形AFDE为平行四边形. 结论 因为平行四边形的对边相等， 大前提 ED和AF为平行四边形AFDE的对边， 小前提 所以ED＝AF. 结论 ‎ 若本例中增加条件“∠C＝∠A”，证明：∠BFD＝∠BDF.‎ 证明：因为同位角相等，两直线平行， 大前提 ‎∠BFD与∠A是同位角，且∠BFD＝∠A， 小前提 所以FD∥AE. 结论 因为两直线平行，同位角相等， 大前提 FD∥AE，且∠BDF与∠C是同位角， 小前提 所以∠BDF＝∠C. 结论 又因为∠C＝∠A，∠BFD＝∠A 小前提 所以∠BFD＝∠BDF. 结论 用三段论证明几何问题的一般步骤 ‎（1）理清楚证明命题的一般思路.‎ ‎（2）找出每一个结论得出的原因.‎ ‎（3）把每个结论的推出过程用“三段论”表示出来.‎ 即在几何证明问题中，每一步实际都含着一般性原理，‎ 都可以分析出大前提和小前提.把一般性原理应用于特殊情况，从而得到结论.　 ‎ ‎　在梯形ABCD中，AB＝DC＝DA，AC和BD是梯形的对角线.求证：CA平分∠BCD，BD平分∠ABC.‎ 证明：如图，‎ 因为等腰三角形两底角相等， 大前提 ‎△ADC是等腰三角形，∠1和∠2是两个底角，‎ ‎ 小前提 所以∠1＝∠2. 结论 因为两条平行线被第三条直线截得的内错角相等，‎ ‎ 大前提 ‎∠1和∠3是平行线AD，BC被AC截得的内错角，‎ ‎ 小前提 所以∠1＝∠3. 结论 因为等于同一个角的两个角相等， 大前提 ‎∠2＝∠1，∠3＝∠1， 小前提 所以∠2＝∠3，即CA平分∠BCD. 结论 同理可证BD平分∠ABC.‎ ‎————————————————————————————————————————————————‎ ‎1.命题“有理数是无限循环小数，整数是有理数，所以整数是无限循环小数”是假命题，推理错误的原因是（　　）‎ A.使用了“三段论”，但大前提错误 B.使用了“三段论”，但小前提错误 C.使用了归纳推理 D.使用了类比推理 解析：选A.大前提是全称命题，而小前提是特称命题.因此命题的推理过程是“由一般到特殊”，是演绎推理，且是“三段论”的形式.‎ 有理数包括有限小数，无限循环小数，以及整数，所以命题中大前提是错误的，从而导致推理错误.‎ ‎2.下列四种推理是合情推理的是（　　）‎ ‎①已知两条直线平行同旁内角互补，如果α和β是两条平行直线被第三条直线截得的同旁内角，那么α＋β＝180°；‎ ‎②由平面三角形的性质，推测空间四面体的性质；‎ ‎③数列{an}中，由an＝2n－1（n∈N*）推出a10＝19；‎ ‎④由数列1，0，1，0，…，推测出通项公式an＝＋（－1）n＋1·（n∈N*）.‎ A.①②　　　　　　　　　　 B.②④‎ C.②③ D.③④‎ 解析：选B.①③是由一般到特殊的推理，是演绎推理；‎ ‎②是由特殊（平面三角形的性质）到特殊（空间四面体的性质）的推理，是类比推理；‎ ‎④是由数列前几项猜测通项an，是由个别到一般的推理，是归纳推理.‎ 故②④是合情推理.‎ ‎3.下列三句话按“三段论”模式排列顺序为　　　　Ｗ.‎ ‎①y＝cos x（x∈R）是三角函数；‎ ‎②三角函数是周期函数；‎ ‎③y＝cos x（x∈R）是周期函数.‎ 答案：②①③‎ ‎4.已知数列{an}满足a1＝1，a2＝3，an＋2＝3an＋1－2an（n∈N*）.‎ ‎（1）证明：数列{an＋1－an}是等比数列；‎ ‎（2）求数列{an}的通项公式.‎ 解：（1）证明：因为an＋2＝3an＋1－2an，‎ 所以an＋2－an＋1＝2an＋1－2an＝2（an＋1－an），‎ 所以＝2（n∈N*）‎ 而a2－a1＝2.‎ 所以数列{an＋1－an}是以2为首项，2为公比的等比数列.‎ ‎（2）由（1）得an＋1－an＝2n（n∈N*）.‎ 所以an＝（an－an－1）＋（an－1－an－2）＋…＋（a2－a1）＋a1＝2n－1＋2n－2＋…＋2＋1＝2n－1（n∈N*）.‎ ‎　　　　　　　 ‎ 知识结构 深化拓展 ‎ [A　基础达标]‎ ‎　 　　　　　　　　　　　　‎ ‎1.下面几种推理过程是演绎推理的是（　　）‎ A.两条直线平行，同位角相等，因为∠A和∠B是两条平行直线被同一条直线所截形成的同位角，所以∠A＝∠B B.我国地质学家李四光发现中国松辽地区和中亚细亚的地质结构类似，而中亚细亚有丰富的石油，由此，他推断松辽地区也蕴藏着丰富的石油 C.由6＝3＋3，8＝3＋5，10＝3＋7，12＝5＋7，14＝7＋7，…，得出结论：一个偶数（大于4）可以写成两个素数的和 D.在数列{an}中，a1＝1，an＝（n≥2），由此归纳出数列{an}的通项公式 解析：选A.A中，由一般结论“两条直线平行，同位角相等”推出特例“∠A＝∠B”是演绎推理；B、C、D中，均是由特殊到一般或特殊的推理，是合情推理.‎ ‎2.“对于三条直线a，b，c，可由a∥b，a∥c推得b∥c”，则以下说法正确的是（　　）‎ A.三条直线a，b，c是大前提 B.a∥b是大前提 C.a∥b，a∥c是小前提 D.以上说法都不正确 解析：选C.推理的大前提是：若两条直线都平行于第三条直线，则这两条直线平行；小前提是：三条直线a，b，c，a∥b，a∥c；结论是：b∥c.‎ ‎3.“三角函数是周期函数，y＝tan x，x∈是三角函数，所以y＝tan x，x∈是周期函数.”在以上演绎推理中，下列说法正确的是（　　）‎ A.推理完全正确 B.大前提不正确 C.小前提不正确 D.推理形式不正确 解析：选C.y＝tan x，x∈只是三角函数的一部分，并不能代表一般的三角函数，所以小前提错误，导致整个推理结论错误.‎ ‎4.（2017·高考全国卷Ⅱ）甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩.老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩.看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩.根据以上信息，则（　　）‎ A.乙可以知道四人的成绩 B.丁可以知道四人的成绩 C.乙、丁可以知道对方的成绩 D.乙、丁可以知道自己的成绩 解析：选D.依题意，四人中有2位优秀，2位良好，由于甲知道乙、丙的成绩，但还是不知道自己的成绩，则乙、丙必有1位优秀，1位良好，甲、丁必有1位优秀，1位良好，因此，乙知道丙的成绩后，必然知道自己的成绩；丁知道甲的成绩后，必然知道自己的成绩，因此选择D.‎ ‎5.我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰：置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即立圆径.“开立圆术”相当于给出了已知球的体积V，求其直径d的一个近似公式d≈ ，人们还用过一些类似的近似公式，根据π＝3.141 59…判断，下列近似公式中最精确的一个是（　　）‎ A.d≈ B.d≈ C.d≈ D.d≈ 解析：选D.由V＝π，解得d＝　①，①代入选项A得π≈＝3.1；①代入选项B得π≈＝3；①代入选项C得π≈＝3.2；①代入选项D得π≈＝3.142 857.由于选项D中的值最接近π的真实值，故选D.‎ ‎6.求函数y＝的定义域时，第一步推理中大前提是有意义，即a≥0，小前提是有意义，结论是　　　　.‎ 解析：由三段论的形式可知，结论是log2x－2≥0.‎ 答案：log2x－2≥0‎ ‎7.以下推理过程省略的大前提为：　　　　　　　.‎ 因为a2＋b2≥2ab，‎ 所以2（a2＋b2）≥a2＋b2＋2ab.‎ 解析：由小前提和结论可知，是在小前提的两边同时加上了a2＋b2，故大前提为：若a≥b，则a＋c≥b＋c.‎ 答案：若a≥b，则a＋c≥b＋c ‎8.已知函数f（x）＝a－，若f（x）为奇函数，则a＝　　　　.‎ 解析：因为奇函数f（x）在x＝0处有意义，则f（0）＝0，而奇函数f（x）＝a－的定义域为R，所以f（0）＝a－＝0，所以a＝.‎ 答案： ‎9.把下列演绎推理写成三段论的形式.‎ ‎（1）一切奇数都不能被2整除，（22 017＋1）是奇数，所以（22 017＋1）不能被2整除.‎ ‎（2）因为△ABC三边的长依次为3，4，5，所以△ABC是直角三角形.‎ 解：（1）一切奇数都不能被2整除，大前提 ‎22 017＋1是奇数，小前提 ‎22 017＋1不能被2整除.结论 ‎（2）一条边的平方等于其他两条边平方和的三角形是直角三角形，大前提 ‎△ABC三边的长依次为3，4，5，‎ 且32＋42＝52，小前提 ‎△ABC是直角三角形.结论 ‎10.在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝4an－3n＋1，n∈N*.‎ ‎（1）证明：数列{an－n}是等比数列.‎ ‎（2）求数列{an}的前n项和Sn.‎ 解：（1）证明：因为an＋1＝4an－3n＋1，‎ 所以an＋1－（n＋1）＝4（an－n），n∈N*.‎ 又a1－1＝1，所以数列{an－n}是首项为1，公比为4的等比数列.‎ ‎（2）由第一问可知an－n＝4n－1，‎ 所以an＝4n－1＋n.‎ 所以数列{an}的前n项和Sn＝＋.‎ ‎[B　能力提升]‎ ‎11.袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半.甲、乙、丙是三个空盒.每次从袋中任意取出两个球，将其中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将另一个球放入乙盒，否则就放入丙盒.重复上述过程，直到袋中所有球都被放入盒中，则（　　）‎ A.乙盒中黑球不多于丙盒中黑球 B.乙盒中红球与丙盒中黑球一样多 C.乙盒中红球不多于丙盒中红球 D.乙盒中黑球与丙盒中红球一样多 解析：选B.若袋中有两个球，则红球、黑球各一个，若红球放在甲盒，则黑球放在乙盒，丙盒中没有球，此时乙盒中黑球多于丙盒中黑球，乙盒中黑球比丙盒中红球多，故可排除A、D；若袋中有四个球，则红球、黑球各两个，若取出两个红球，则一个放在甲盒，另一个放在乙盒，再取出余下的两个黑球，一个放在甲盒，一个放在丙盒，所以甲盒中一红一黑，乙盒中一个红球，丙盒中一个黑球，此时乙盒中红球比丙盒中红球多，排除C.‎ ‎12.甲、乙、丙、丁四个人参加比赛，有两人获奖.比赛结果揭晓之前，四个人作了如下猜测：‎ 甲：两名获奖者在乙、丙、丁中；‎ 乙：我没有获奖，丙获奖了；‎ 丙：甲、丁中有且只有一个获奖；‎ 丁：乙说得对.‎ 已知四个人中有且只有两个人的猜测是正确的，那么两个获奖者是　　　　Ｗ.‎ 解析：若乙和丁的猜测同时正确，则甲和丙的猜测是错误的，可得乙没有获奖，丙获奖，则甲和丁中有一个获奖，这与“丙的猜测是错误的”相矛盾；因此乙和丁的猜测同时错误，甲和丙的猜测同时正确，故乙和丁获奖.‎ 答案：乙和丁 ‎13.如图所示，在锐角三角形ABC中，AD⊥BC于点D，BE⊥AC于点E，D、E是垂足，求证：‎ ‎（1）△ABD是直角三角形；‎ ‎（2）AB的中点M到D、E的距离相等.‎ 证明：（1）因为有一个内角是直角的三角形是直角三角形， 大前提 又因为在△ABC中，AD⊥BC，即∠ADB＝90°，‎ ‎ 小前提 所以△ABD是直角三角形. 结论 ‎（2）因为直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，‎ ‎ 大前提 而M是Rt△ABD斜边AB的中点，DM是斜边上的中线， 小前提 所以DM＝AB. 结论 同理，EM＝AB.‎ 因为等于同一个量的两个量相等， 大前提 又因为DM＝AB，EM＝AB 小前提 所以DM＝EM，即M到D、E的距离相等. 结论 ‎14.（选做题）已知a，b，c是实数，函数f（x）＝ax2＋bx＋c，g（x）＝ax＋b.当－1≤x≤1时，|f（x）|≤1.‎ ‎（1）求证：|c|≤1；‎ ‎（2）当－1≤x≤1时，求证：－2≤g（x）≤2.‎ 证明：（1）因为x＝0满足－1≤x≤1的条件，‎ 所以|f（0）|≤1.‎ 而f（0）＝c，‎ 所以|c|≤1.‎ ‎（2）当a>0时，g（x）在[－1，1]上是增函数，‎ 所以g（－1）≤g（x）≤g（1）.‎ 又g（1）＝a＋b＝f（1）－c，‎ g（－1）＝－a＋b＝－f（－1）＋c，‎ 所以－f（－1）＋c≤g（x）≤f（1）－c，‎ 又－1≤f（－1）≤1，－1≤f（1）≤1，－1≤c≤1，‎ 所以－f（－1）＋c≥－2，f（1）－c≤2，‎ 所以－2≤g（x）≤2.‎ 当a<0时，可用类似的方法，‎ 证得－2≤g（x）≤2.‎ 当a＝0时，g（x）＝b，f（x）＝bx＋c，‎ g（x）＝f（1）－c，所以－2≤g（x）≤2.‎ 综上所述，－2≤g（x）≤2.‎