高一数学（人教A版）必修2能力强化提升：4-2-2 圆与圆的位置关系

高一数学（人教A版）必修2能力强化提升：4-2-2 圆与圆的位置关系

一、选择题 ‎1．圆C1：x2＋y2＋4x＋8y－5＝0与圆C2：x2＋y2＋4x＋4y－1＝0的位置关系为(　　)‎ A．相交 B．外切 C．内切 D．外离 ‎[答案]　C ‎[解析]　由已知，得C1(－2，－4)，r1＝5，C2(－2，－2)，r2＝3，则d＝|C‎1C2|＝2，∴d＝|r1－r2|.∴两圆内切．‎ ‎2．圆x2＋y2－2x－5＝0和圆x2＋y2＋2x－4y－4＝0的交点为A、B，则线段AB的垂直平分线方程为(　　)‎ A．x＋y－1＝0 B．2x－y＋1＝0‎ C．x－2y＋1＝0 D．x－y＋1＝0‎ ‎[答案]　A ‎[解析]　直线AB的方程为：4x－4y＋1＝0，因此线段AB的垂直平分线斜率为－1，过圆心(1,0)，方程为y＝－(x－1)，故选A.‎ 规律总结：两圆相交时，公共弦的垂直平分线过两圆的圆心，故连心线所在直线就是弦AB的垂直平分线．‎ ‎3．已知圆C1：(x＋1)2＋(y－3)2＝25，圆C2与圆C1关于点(2,1)对称，则圆C2的方程是(　　)‎ A．(x－3)2＋(y－5)2＝25‎ B．(x－5)2＋(y＋1)2＝25‎ C．(x－1)2＋(y－4)2＝25‎ D．(x－3)2＋(y＋2)2＝25‎ ‎[答案]　B ‎[解析]　设⊙C2上任一点P(x，y)，它关于(2,1)的对称点(4－x,2－y)在⊙C1上，∴(x－5)2＋(y＋1)2＝25.‎ ‎4．两圆x2＋y2－4x＋2y＋1＝0与x2＋y2＋4x－4y－1＝0的公切线有(　　)‎ A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 ‎[答案]　C ‎[解析]　r1＝2，r2＝3，d＝5，由于d＝r1＋r2所以两圆外切，故公切线有3条，选C.‎ ‎5．若圆(x－a)2＋(y－b)2＝b2＋1始终平分圆(x＋1)2＋(y＋1)2＝4的周长，则a、b应满足的关系式是(　　)‎ A．a2－‎2a－2b－3＝0‎ B．a2＋‎2a＋2b＋5＝0‎ C．a2＋2b2＋‎2a＋2b＋1＝0‎ D．‎3a2＋2b2＋‎2a＋2b＋1＝0‎ ‎[答案]　B ‎[解析]　利用公共弦始终经过圆(x＋1)2＋(y＋1)2＝4的圆心即可求得．两圆的公共弦所在直线方程为：(‎2a＋2)x＋(2b＋2)y－a2－1＝0，它过圆心(－1，－1)，代入得a2＋‎2a＋2b＋5＝0.‎ ‎6．两圆x2＋y2＝16与(x－4)2＋(y＋3)2＝r2(r>0)在交点处的切线互相垂直，则R＝(　　)‎ A．5 B．4‎ C．3 D．2 ‎[答案]　C ‎[解析]　设一个交点P(x0，y0)，则x＋y＝16，(x0－4)2＋(y0＋3)2＝r ‎2，∴r2＝41－8x0＋6y0，‎ ‎∵两切线互相垂直，‎ ‎∴·＝－1，∴3y0－4x0＝－16.‎ ‎∴r2＝41＋2(3y0－4x0)＝9，∴r＝3.‎ ‎7．(2012～2013·湖南长沙模拟)若圆(x－a)2＋(y－a)2＝4上，总存在不同的两点到原点的距离等于1，则实数a的取值范围是(　　)‎ A. B. C.∪ D. ‎[答案]　C ‎[解析]　圆(x－a)2＋(y－a)2＝4的圆心C(a，a)，半径r＝2，到原点的距离等于1的点的集合构成一个圆，这个圆的圆心是原点O，半径R＝1，则这两个圆相交，圆心距d＝＝|a|，则|r－R|r1＋r2＝3，‎ ‎∴圆O和圆C外离，无公共点，∴A∩B＝∅.‎ 二、填空题 ‎9．圆C1：x2＋y2－12x－2y－13＝0和圆C2：x2＋y2＋12x＋16y－25＝0的公共弦所在的直线方程是________．‎ ‎[答案]　4x＋3y－2＝0‎ ‎[解析]　两圆的方程相减得公共弦所在的直线方程为4x＋3y－2＝0.‎ ‎10．若点A(a，b)在圆x2＋y2＝4上，则圆(x－a)2＋y2＝1与圆x2＋(y－b)2＝1的位置关系是________．‎ ‎[答案]　外切 ‎[解析]　∵点A(a，b)在圆x2＋y2＝4上，‎ ‎∴a2＋b2＝4.‎ 又圆x2＋(y－b)2＝1的圆心C1(0，b)，半径r1＝1，‎ 圆(x－a)2＋y2＝1的圆心C2(a,0)，半径r2＝1，‎ 则d＝|C‎1C2|＝＝＝2，‎ ‎∴d＝r1＋r2.∴两圆外切．‎ ‎11．与直线x＋y－2＝0和圆x2＋y2－12x－12y＋54＝0都相切的半径最小的圆的标准方程是________．‎ ‎[答案]　(x－2)2＋(y－2)2＝2‎ ‎[解析]　已知圆的标准方程为(x－6)2＋(y－6)2＝18，则过圆心(6,6)且与直线x＋y－2＝0垂直的方程为x－y＝0.方程x－y ‎＝0分别与直线x＋y－2＝0和已知圆联立得交点坐标分别为(1,1)和(3,3)或(－3，－3)．由题意知所求圆在已知直线和已知圆之间，故所求圆的圆心为(2,2)，半径为，即圆的标准方程为(x－2)2＋(y－2)2＝2.‎ ‎12．已知点P在圆x2＋y2－8x－4y＋11＝0上，点Q在圆x2＋y2＋4x＋2y＋1＝0上，则|PQ|的最小值是________．‎ ‎[答案]　3－5‎ ‎[解析]　两圆的圆心和半径分别为C1(4,2)，r1＝3，C2(－2，－1)，r2＝2，‎ ‎∴d＝|C‎1C2|＝>r1＋r2＝5.∴两圆外离．‎ ‎∴|PQ|min＝|C‎1C2|－r1－r2＝3－3－2＝3－5.‎ 三、解答题 ‎13．已知圆O：x2＋y2＝25和圆C：x2＋y2－4x－2y－20＝0相交于A，B两点，求公共弦AB的长．‎ ‎[解析]　两圆方程相减得弦AB所在的直线方程为4x＋2y－5＝0.‎ 圆x2＋y2＝25的圆心到直线AB的距离d＝＝，‎ ‎∴公共弦AB的长为|AB|＝2＝2＝.‎ ‎14．求经过两圆x2＋y2＋6x－4＝0和x2＋y2＋6y－28＝0的交点且圆心在直线x－y－4＝0上的圆的方程．‎ ‎[分析]　→ ‎→→ ‎[解析]　设所求圆的方程为x2＋y2＋6x－4＋λ(x2＋y2＋6y－28)＝0(λ≠－1)，即(1＋λ)x2＋(1＋λ)y2＋6x＋6λy－28λ－4＝0，‎ 故圆心为(－，－)，‎ 将横纵坐标代入x－y－4＝0得 ‎－＋－4＝0，‎ 解之，得λ＝－7，‎ 于是所求圆的方程为(1－7)x2＋(1－7)y2＋6x－42y＋192＝0，‎ 即x2＋y2－x＋7y－32＝0.‎ 规律总结：本题也可利用以下方法求解：(1)求出公共弦所在直线方程，进而求出其垂直平方线方程，与直线x－y－4＝0联立，求出圆心坐标，然后求出半径，可得圆的方程；(2)求出两圆的交点坐标，因为交点在所求圆上，故可利用待定系数法求解．‎ ‎15．求以圆C1：x2＋y2－12x－2y－13＝0和圆C2：x2＋y2＋12x＋16y－25＝0的公共弦为直径的圆C的方程．‎ ‎[解析]　方法一：联立两圆方程 相减得公共弦所在直线方程为4x＋3y－2＝0.‎ 再由 联立得两圆交点坐标(－1,2)，(5，－6)．‎ ‎∵所求圆以公共弦为直径，‎ ‎∴圆心C是公共弦的中点(2，－2)，半径为 ＝5.‎ ‎∴圆C的方程为(x－2)2＋(y＋2)2＝25.‎ 方法二：由方法一可知公共弦所在直线方程为4x＋3y－2＝0.设所求圆的方程为x2＋y2－12x－2y－13＋λ(x2＋y2＋12x＋16y－25)＝0(λ为参数)．‎ 可求得圆心C(－，－)．‎ ‎∵圆心C在公共弦所在直线上，‎ ‎∴4·＋3·－2＝0，‎ 解得λ＝.‎ ‎∴圆C的方程为x2＋y2－4x＋4y－17＝0.‎ ‎16．(09·江苏文)在平面直角坐标系xOy中，已知圆C1：(x＋3)2＋(y－1)2＝4和圆C2：(x－4)2＋(y－5)2＝4‎ ‎(1)若直线l过点A(4,0)，且被圆C1截得的弦长为2，求直线l的方程；‎ ‎(2)设P为平面上的点，满足：存在过点P的无穷多对互相垂直的直线l1和l2，它们分别与圆C1和圆C2相交，且直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等，试求所有满足条件的点P的坐标．‎ ‎[解析]　(1)由于直线x＝4与圆C1不相交，所以直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝k(x－4)，圆C1的圆心C1(－3,1)到直线l的距离为d＝，‎ 因为直线l被圆C1截得的弦长为2，‎ ‎∴4＝()2＋d2，∴k(24k＋7)＝0，‎ 即k＝0或k＝－，‎ 所以直线l的方程为y＝0或7x＋24y－28＝0‎ ‎(2)设点P(a，b)满足条件，不妨设直线l1的方程为y－b＝k(x－a)，k≠0，则直线l2的方程为y－b＝－(x－a)，因为C1和C2的半径相等，及直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等，所以圆C1的圆心到直线l1的距离和圆C2的圆心到直线l2的距离相等，‎ 即＝ 整理得：|1＋3k＋ak－b|＝|5k＋4－a－bk|，‎ ‎∴1＋3k＋ak－b＝5k＋4－a－bk 或1＋3k＋ak－b＝－5k－4＋a＋bk，‎ 即(a＋b－2)k＝b－a＋3或(a－b＋8)k＝a＋b－5.‎ 因为k的取值有无穷多个，所以 ，或，‎ 解得或 这样点P只可能是点P1或点P2.‎ 经检验点P1和P2满足题目条件．‎