黑龙江省哈尔滨市第三中学2019-2020学年高一上学期期中考试数学试题

黑龙江省哈尔滨市第三中学2019-2020学年高一上学期期中考试数学试题

www.ks5u.com 哈三中2019—2020学年度上学期 高一学年第一模块数学考试试卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.下列函数中，在区间上为增函数的是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据基本初等函数的单调性判断出各选项中函数在区间上的单调性，可得出正确选项.‎ ‎【详解】对于A选项，函数在区间上为减函数；‎ 对于B选项，当时，，则函数在区间上为增函数；‎ 对于C选项，函数在区间上为减函数；‎ 对于D选项，二次函数在区间上为减函数.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查基本初等函数在区间上单调性的判断，熟悉一次、二次、反比例函数的单调性是解题的关键，考查推理能力，属于基础题.‎ ‎2.若函数对定义域内任意两个自变量、都有，则可以是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对各选项中的函数验证是否满足，从而可得出正确选项.‎ ‎【详解】对于A选项，，则，，则；‎ 对于B选项，，则，，则；‎ 对于C选项，，，，则；‎ 对于D选项，，，则.‎ 因此，满足.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题考查函数解析式的运算，解题的关键就是对函数解析式逐一进行验证，考查计算能力，属于中等题.‎ ‎3.（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据根式与指数幂的互化，以及指数幂的运算可得出结果.‎ ‎【详解】由题意可得.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查指数幂的运算，同时也考查了根式与分数指数幂的互化，考查计算能力，属于基础题.‎ ‎4.已知，则的定义域为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出函数的定义域为，然后解不等式可得出函数的定义域.‎ ‎【详解】对于函数，，即，解得，所以，函数的定义域为.‎ 对于函数，，解得.‎ 因此，函数的定义域为.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题考查具体函数以及复合函数定义域的求解，解题时要注意以下两个问题：定义域为自变量的取值范围、中间变量的取值范围一致，考查计算能力，属于中等题.‎ ‎5.若方程有解，则实数的取值范围为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由参变量分离法得出，求出函数的值域，问题转化为的取值范围即为函数的值域，由此可得出实数的取值范围.‎ ‎【详解】由得，则的取值范围即为函数的值域.‎ ‎，，，即函数值域为.‎ 解不等式，解得.‎ 因此，实数的取值范围是.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题考查方程有解的问题，利用参变量分离法将参数的取值范围转化为与函数值域相关的问题求解，考查化归与转化思想，属于中等题.‎ ‎6.设，，，则、、的大小关系为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 比较、、与中间值和的大小关系，可得出这三个数的大小关系.‎ ‎【详解】函数为增函数，则，即；‎ 函数为增函数，则；‎ 函数为增函数，则.‎ 因此，.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查指数幂与对数式的大小比较，一般利用中间值法结合指数函数、对数函数的单调性来比较，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.‎ ‎7.已知集合，集合、是的子集，且，．若，则满足条件的集合的个数为（ ）‎ A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意知、，则集合的个数等于非空子集的个数，然后利用公式计算出集合非空子集的个数，即可得出结果.‎ ‎【详解】由题意知、，且集合、是的子集，且，，‎ 则为集合的非空子集，因此，满足条件的集合的个数为.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查集合个数的计算，一般利用列举法将符合条件的集合列举出来，也可以转化为集合子集个数来进行计算，考查化归与转化思想的应用，属于中等题.‎ ‎8.设函数，若在上单调递增，则的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意得知在上为增函数，且函数在上为增函数，以及，由此列不等式组可求出实数的取值范围.‎ ‎【详解】由于函数在上为增函数，‎ 则函数在上为增函数，该二次函数图象开口向下，对称轴为直线，所以；‎ 函数在上为增函数，则，得.‎ 且有，解得.‎ 综上所述，.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题考查分段函数的在实数集上的单调性，一般要确保分段函数每支都保持原函数的单调性，同时也要注意间断点处函数值的大小关系，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.‎ ‎9.已知定义域为的奇函数满足，若对任意、，且，恒成立，则不等式的解集为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分析出函数在和上都是增函数，然后分和两种情况，利用函数的单调性解不等式，即可得出该不等式的解集.‎ ‎【详解】函数是定义在上的奇函数，且，则，，‎ 对任意、，且，恒成立，则函数在上为增函数，且在上也为增函数.‎ 当时，由，可得，即，解得;‎ 当时，由，可得，即，解得.‎ 因此，不等式的解集为.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题考查利用函数的奇偶性与单调性解函数不等式，将不等式转化为函数的两个函数值的大小关系是解题的关键，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.‎ ‎10.（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用换底公式将底数和真数化简，合并同类项之后再相乘可得出结果.‎ ‎【详解】由换底公式可得，原式 ‎.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题考查对数的计算，考查换底公式的应用，解题的关键就是将底数和真数利用换底公式化小，考查计算能力，属于中等题.‎ ‎11.定义在上的函数满足，，且当时，，则方程在上所有根的和为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 分析】‎ 利用题意可得出函数的图象关于直线对称，关于点对称，并且周期为，作出图象得知，函数的图象与函数在上没有交点，并且函数在上的图象关于点对称，且函数在区间上的图象也关于点对称，然后利用对称性得出两个函数交点横坐标之和.‎ ‎【详解】，即，，所以，函数是以为周期的周期函数.‎ 又，则函数的图象关于直线对称.‎ ‎，，则函数的图象关于点对称，易知函数的图象也关于点对称，如下图所示：‎ 函数的图象与函数在上没有交点，并且函数在上的图象关于点对称，且函数在区间上的图象也关于点对称，两个函数在区间上共有个公共点，且这些公共点呈现对关于点对称，因此，方程在上所有根的和为.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查方程根之和问题，一般利用数形结合思想，转化为两函数交点横坐标之和的问题，借助函数图象的对称性来求解，考查数形结合思想的应用，属于难题.‎ ‎12.已知函数，若对于任意的实数、、，均存在以、、为三边边长的三角形，则的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对实数分、、三种情况讨论，求出函数的最大值和最小值，由题意得出，由此可求出实数的取值范围.‎ ‎【详解】当时，，当且仅当时，等号成立，且，，此时，；‎ ‎①若时，函数在区间上单调递减，则，即，‎ 那么，当时，，，‎ 由题意可得，则有，解得，此时，；‎ ‎②当时，且当时，，则，，成立，此时；‎ ‎③当时，函数在区间上单调递增，则，即，则，，‎ 由题意可得，则有，解得，此时.‎ 综上所述，.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查函数最值的应用，同时也考查了分段函数的最值，解题的关键就是将题意转化为关于函数最值相关的不等式求解，考查分类讨论思想的应用，属于中等题.‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在答题卡相应的位置上．‎ ‎13.函数的定义域是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用对数的真数大于零可得出函数的定义域.‎ ‎【详解】由题意可得，解得.‎ 因此，函数的定义域是.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查对数函数定义域的求解，求解时要注意对底数和真数进行限制，列出不等式（组）求解即可，考查计算能力，属于基础题.‎ ‎14.不等式解集为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分、、三种情况去绝对值，解出不等式，即可得出该不等式的解集.‎ ‎【详解】当时，由，得，解得，此时；‎ 当时，由，得不成立，此时，；‎ 当时，由，得，解得，此时.‎ 综上所述，不等式的解集为.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查绝对值不等式的解法，一般利用分类讨论去绝对值的方法求解，考查分类讨论思想与运算求解能力，属于中等题.‎ ‎15.函数在上是减函数，则实数的取值范围是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先由在上恒成立，得出，然后分和、三种情况分类讨论，结合函数为减函数得出实数的取值范围.‎ ‎【详解】由题意可知，不等式在上恒成立，则，得.‎ 当时，，则函数在上是减函数，合乎题意；‎ 当时，，则函数在上是增函数，不合乎题意；‎ 当时，，则函数在上是减函数，合乎题意.‎ 综上所述，实数的取值范围是.‎ ‎【点睛】本题考查利用函数的单调性求参数，解题时除了对参数的取值进行分类讨论外，还应注意函数在定义域上有意义，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.‎ ‎16.设函数，若对于任意，恒成立，则的取值范围是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意得出对于任意，，转化为不等式组 对任意的恒成立，分析二次函数在区间上的单调性，转化为关于函数最值的不等式来求解，从而可得出实数的取值范围.‎ ‎【详解】由题意得出对于任意，，‎ 则不等式组对任意的恒成立.‎ 先考查二次不等式对任意的恒成立.‎ 构造函数，该二次函数图象开口向上，对称轴为直线.‎ 因为恒成立，所以，此时，函数在区间上单调递增，则，解得或；‎ 下面来考查不等式对任意的恒成立，则.‎ 构造函数.‎ ‎①当时，即当.‎ 若，则，当时，，不合乎题意；‎ 若，则，合乎题意；‎ ‎②当时，即当时，二次函数的图象开口向下，对称轴为直线.‎ 当时，即当时，函数在上单调递减，则 ‎，解得，此时，；‎ 当时，即当或时，，解得，此时，.‎ 由上可知，当时，不等式对任意的恒成立.‎ 综上所述，当时，不等式对任意的恒成立.‎ 因此，实数的取值范围是.‎ ‎【点睛】本题考查二次不等式在区间上恒成立问题，解题时要对二次函数的首项系数、对称轴与定义域的位置关系进行分类讨论，转化为与函数最值相关的不等式来求解，考查分类讨论思想的应用，属于中等题.‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎17.计算下列各式的结果：‎ ‎（1）；‎ ‎（2）.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用对数的运算律以及换底公式可计算出结果；‎ ‎（2）利用指数的运算律可计算出结果.‎ ‎【详解】（1）原式；‎ ‎（2）原式.‎ ‎【点睛】本题考查指数与对数的运算律的应用，同时考查了换底公式的应用，考查计算能力，属于基础题.‎ ‎18.已知方程有两个不相等的实数根，设的取值集合为，设关于的不等式的解集为，求及．‎ ‎【答案】或，或或.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由可得出集合，解不等式可得出集合，然后利用交集与补集的定义可得出集合及．‎ ‎【详解】由于方程有两个不相等的实数根，则，‎ 即，解得或，或.‎ 解不等式，得或或，‎ 或或，则或，‎ ‎，所以，或或.‎ ‎【点睛】本题考查集合的运算，考查一元二次方程根的个数的判断以及高次不等式的解法，考查计算能力，属于中等题.‎ ‎19.已知（且）．‎ ‎（1）求函数的解析式，并写出函数图象恒过的定点；‎ ‎（2）若，求的取值范围．‎ ‎【答案】（1），定点；（2）见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）令，可得出，然后利用换元法可求出函数的解析式，并利用指数等于零求出函数图象所过定点的坐标；‎ ‎（2）由，可得出，然后分和两种情况讨论，利用函数的单调性可解出不等式.‎ ‎【详解】（1）令，可得出，，，‎ 令，得，且，‎ 因此，函数图象恒过的定点坐标为；‎ ‎（2）由，即，可得.‎ 当时，函数是减函数，则有，解得；‎ 当时，函数是增函数，则有，解得.‎ ‎【点睛】本题考查利用换元法求函数解析式，同时也考查了指数型函数图象过定点以及指数不等式的求解，一般在解指数不等式时，需要对底数的取值范围进行分类讨论，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.‎ ‎20.已知函数的定义域为，且．‎ ‎（1）用函数的单调性定义证明函数的单调性；‎ ‎（2）若满足，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）任取，作差，因式分解并判断出的符号，利用单调性的定义可得出函数在上单调递增；‎ ‎（2）利用奇偶性的定义可证明出函数是定义在上的奇函数，由可得出，再利用函数的单调性并结合函数的定义域可解出该不等式.‎ ‎【详解】（1）任取，则，‎ ‎，，，则，，，‎ ‎，则，函数在上为增函数；‎ ‎（2）函数的定义域为，关于原点对称，‎ 且，所以，函数是奇函数，‎ 由，得，‎ 由于函数是定义在上的增函数，所以，解得.‎ 因此，实数的取值范围是.‎ ‎【点睛】本题考查利用定义法证明函数的单调性，同时也考查了利用奇偶性和单调性解函数不等式，同时也不要忽略定义域对自变量的影响，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.‎ ‎21.已知，其对称轴为，且．‎ ‎（1）求的解析式；‎ ‎（2）若对任意及任意，恒成立，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由二次函数对称轴可得出的值，再由可求出实数的值，从而可得出函数的解析式；‎ ‎（2）由题意知，对任意的及任意，不等式恒成立，可得出和均满足不等式，由此可得出不等式组对任意的恒成立，利用参变量分离法得出，分别求出函数、在区间的最小值，可解出实数的取值范围.‎ ‎【详解】（1）二次函数的对称轴为直线，得，‎ 则，又，；‎ ‎（2）由题意知，不等式对任意的及任意恒成立，构造函数，‎ 由题意可得对任意的恒成立，‎ 所以对任意的恒成立，‎ 对于函数，当时，由基本不等式得，当且仅当时，等号成立，所以在区间上的最小值为，，得；‎ 由于函数在区间上单调递增，则当时，函数取得最小值，，解得.‎ 综上所述，实数的取值范围是.‎ ‎【点睛】本题考查二次函数解析式的求解，同时也考查了二次不等式的恒成立问题，涉及主元法，在解题时充分利用参变量分离法的思想进行求解，可简化计算，考查分析问题和解决问题的能力，属于难题.‎ ‎22.已知为偶函数．‎ ‎（1）求实数的值，并写出在区间上的增减性和值域（不需要证明）；‎ ‎（2）令，其中，若对任意、，总有，求的取值范围；‎ ‎（3）令，若对任意、，总有，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（1），在上是增函数，值域为；（2）；（3）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用偶函数的定义，作差变形可求出，结合函数 的解析式写出该函数在区间上的单调性，并利用单调性得出函数在该区间上的值域；‎ ‎（2）由题意得出，且，换元，构造函数，由可得出二次函数的对称轴，分析函数在区间上的单调性，求出函数的最大值和最小值，结合不等式求出实数的取值范围；‎ ‎（3）由可得出，求出不等式右边代数式的取值范围，可得出实数的取值范围.‎ ‎【详解】（1）函数为偶函数，则，‎ 即，‎ 由题意知，对任意的，恒成立，则，，‎ ‎，该函数在区间上为增函数，且，‎ 所以，函数在区间上的值域为；‎ ‎（2）由题意知，，且，‎ 设，，则，且，‎ 设函数，则，二次函数的对称轴为直线.‎ ‎，，则函数在区间上单调递增，‎ 则，，‎ ‎，解得，‎ ‎，，因此，实数的取值范围是；‎ ‎（3），‎ ‎，‎ ‎，‎ 由，‎ 可得，‎ ‎，‎ 由于函数在上单调递增，且，，‎ ‎，，又，，‎ 所以，，因此，实数的取值范围是.‎ ‎【点睛】本题考查利用偶函数的定义求参数、指数型函数不等式的综合问题，将问题转化为二次函数问题是解题的关键，同时也考查了参变量分离法的应用，考查分析问题和解决问题的能力，属于难题.‎ ‎ ‎